張雪妮，劉俊利

(西安工程大學(xué) 理學(xué)院， 西安 710048)

傳染病的預(yù)防和控制是人們關(guān)注的一個(gè)重要問題．當(dāng)出現(xiàn)一種新疾病時(shí)，個(gè)人必須認(rèn)識(shí)到這種傳染病的傳染性、毒性和致死率。媒體對(duì)疫情的報(bào)道，可以讓公眾了解疫情的風(fēng)險(xiǎn)程度，并鼓勵(lì)公眾采取預(yù)防措施．人們提出了許多數(shù)學(xué)模型來研究媒體報(bào)道對(duì)傳染病的影響[1-3]．模型中通常有兩種方法將媒體報(bào)道的信息加入到傳染病模型中：1)在疾病的傳播率中考慮媒體報(bào)道的影響[4]；2)通過引入獨(dú)立倉室來表示媒體報(bào)道的信息量的變化[5-6]．事實(shí)表明媒體報(bào)道在傳染病傳播過程中起著非常重要的作用，2011年Tchuenche等[7]研究了媒體報(bào)道在H1N1傳播中的作用．最近，Chang[8]和Yan等[9]研究了媒體報(bào)道對(duì)新型冠狀病毒肺炎(COVID-19)傳播的影響．

不少學(xué)者對(duì)連續(xù)的傳染病模型進(jìn)行了研究，但對(duì)于許多實(shí)際需求，往往需要對(duì)連續(xù)模型進(jìn)行離散化.對(duì)連續(xù)模型進(jìn)行離散化的方法有很多，如：歐拉法、Runge-Kutta法、非標(biāo)準(zhǔn)有限差分法．目前，離散傳染病模型的研究包括閾值和基本再生數(shù)的計(jì)算[10]，疾病的持久性和滅絕性[11-12]，分支和混沌現(xiàn)象[13-14]，無病平衡點(diǎn)和地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性和全局穩(wěn)定性[15-17]等． 2015年，Liu等[16]使用歐拉向前差分法和非標(biāo)準(zhǔn)有限差分法離散了連續(xù)的SIR和SEIR模型，證明了離散模型地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性，并對(duì)比了兩種方法的離散結(jié)果．2016年，Teng等[17]利用歐拉向后差分法離散了一類具有非線性發(fā)生率的SIRS模型，證明了解的正性及有界性，并構(gòu)造Lyapunov函數(shù)研究了離散模型平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性．與連續(xù)模型相比，離散模型可以呈現(xiàn)更復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)性態(tài)．

本文先考慮了一個(gè)連續(xù)的模型，引入獨(dú)立倉室來研究媒體報(bào)道對(duì)疾病的影響，通過歐拉向后差分法得到了該連續(xù)模型所對(duì)應(yīng)的離散模型，利用線性化方法分析離散模型平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性，并構(gòu)造Lyapunov函數(shù)討論平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性．

1 模型的建立

考慮如下連續(xù)模型：

(1)

其中：S(t)，Sa(t)，I(t)分別代表t時(shí)刻無意識(shí)易感者，有意識(shí)易感者和感染者的數(shù)量，M(t)代表t時(shí)刻媒體的播報(bào)量．A表示人口的常數(shù)輸入率，β1表示易感人群的傳染率，β2表示無意識(shí)人群受媒體播報(bào)影響的疾病意識(shí)獲取率，d表示人口的自然死亡率，δ表示有意識(shí)人群疾病意識(shí)的失去率，η表示媒體播報(bào)的數(shù)量受疾病影響的生成率，θ表示疾病意識(shí)衰減率.

本文的目的是研究模型(1)所對(duì)應(yīng)的離散化模型．利用歐拉向后差分法得到模型(1)對(duì)應(yīng)的離散化模型：

(2)

其中：S(n)，Sa(n)，I(n)分別為第n個(gè)時(shí)間步長無意識(shí)易感者，有意識(shí)易感者和感染者的數(shù)量，M(n)表示第n個(gè)時(shí)間步長的媒體的播報(bào)量，h>0表示步長，其他參數(shù)與連續(xù)模型(1)中的含義一樣．

根據(jù)模型(2)的生物學(xué)意義,假定所研究模型的解滿足如下的初始條件:

S(0)>0,Sa(0)>0,I(0)>0,M(0)>0.

(3)

下面給出模型(2)解的非負(fù)性和有界性．

定理1 設(shè)(S(n),Sa(n),I(n),M(n))是模型(2)滿足初始條件(3)的解，則對(duì)任意的n>0，(S(n),Sa(n),I(n),M(n))都是正的，且最終有界．

證明：首先證明解的正性. 模型(2)可以寫為：

(4)

令a1=1+h(δ+d)，將式(4)的第二個(gè)方程帶入第一個(gè)方程中得：

S(n+1)=

(5)

將式(4)的第四個(gè)方程帶入式(5)中得：

(6)

將式(6)帶入式(4)的第三個(gè)方程中得：

當(dāng)n=1時(shí)，同理可證I(2)>0，進(jìn)而S(2)>0，M(2)>0，Sa(2)>0．最后使用歸納法得：對(duì)?n>0,(S(n),Sa(n),I(n),M(n))都是正的．

下證解是最終有界的．設(shè)N(n)=S(n)+Sa(n)+I(n)，將模型(2)的前三個(gè)方程相加得：N(n+1)=N(n)+hA-hdN(n+1)，則有：

2 平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性分析

模型(2)的基本再生數(shù)和平衡點(diǎn)都與模型(1)相同．這一節(jié)將研究模型(2)平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性．

證明：模型(2)在無病平衡點(diǎn)E0處的線性化系統(tǒng)為：

(7)

將式(7)寫為矩陣形式：

其中：

C=

矩陣C的四個(gè)特征值分別為：

λ1=1+hd>1,λ2=1+hd+hδ>1,λ3=1+hθ>1,λ4=1+hd(1-R0).

下面給出模型(2)地方病平衡點(diǎn)的局部穩(wěn)定性結(jié)論．

證明：模型(2)在地方病平衡點(diǎn)E*處的線性化系統(tǒng)為：

(8)

將式(8)寫為矩陣形式

其中：

如果-D的所有特征值λi,i=1,2,3,4，滿足|λi|>1．則D-1的所有特征值σi,i=1,2,3,4，滿足|σi|<1．下證-D的所有特征值滿足|λi|>1,(i=1,2,3,4)．

r4+B1r3+B2r2+B3r+B4=0

(9)

(d+β1I*)(δ+d)y1+y3y5>0,

θ(δ+d)(d+β1I*)(B1B2-B3)+

(θ+y1)2dy0-θ2y1y4>θy3(B1B2-B3-θ2y1)-

θ2y1y4>θy1y3(δ+d)(d+β1I*)-θ2y1y4>

θdy1y4-θ2y1y4,

3 平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性分析

ΔL(n)=L(n+1)-L(n)=I(n+1)-I(n)=

h(β1S(n+1)I(n+1)-dIn+1)≤

(10)

當(dāng)R0>1時(shí)，模型(10)的地方病平衡點(diǎn)為E*(S*,I*,M*)，其中：

定理5 當(dāng)R0>1時(shí)，若以下條件成立：

(11)

則模型(10)的地方病平衡點(diǎn)E*(S*，I*，M*)全局漸近穩(wěn)定．

這里函數(shù)g(x)=x-1-lnx≥0，?x∈R+，g(x)=0當(dāng)且僅當(dāng)x=1．因此

ΔV1(n)=V1(S(n+1))-V1(S(n))=

ΔV2(n)=V2(I(n+1))-V2(I(n))=

ΔV3(n)=V3(Mn+1)-V3(M(n))=

又因?yàn)?/p>

由式(11)知

4 數(shù)值模擬

取步長h=1.25，初值為S(0)=0.3，Sa(0)=0.3，I(0)=0.5，M(0)=0.3，取參數(shù)值為：d=0.01，δ=0.2，θ=0.06，η=0.01，A=0.002，β1=0.009，β2=0.25，此時(shí)得R0=0.18<1，在這組參數(shù)下無病平衡點(diǎn)(0.2,0,0,0)全局漸近穩(wěn)定，如圖1所示．

圖1 模型(2)無病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性Figure 1 The global stability of the disease free equilibrium of model (2)

若取d=0.01，δ=0.1，θ=0.04，η=0.08，A=0.02，β1=0.02，β2=0.25，此時(shí)R0=4>1，在這組參數(shù)下地方病平衡點(diǎn)(0.5,1.041 7, 0.458 3,0.916 7)全局漸近穩(wěn)定，如圖2所示．

圖2 模型(2)地方病平衡點(diǎn)的全局穩(wěn)定性Figure 2 The global stability of the endemic equilibrium of model (2)

5 結(jié) 語

本文研究了受媒體報(bào)道影響的離散傳染病模型，得到了模型(2)解的正性和有界性．模型(2)總存在一個(gè)無病平衡點(diǎn)，當(dāng)基本再生數(shù)大于1時(shí)，除無病平衡點(diǎn)外模型(2)還存在一個(gè)地方病平衡點(diǎn)．理論分析表明，當(dāng)基本再生數(shù)R0<1時(shí)，模型(2)的無病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定；當(dāng)R0>1時(shí)，在一定條件下模型(2)的地方病平衡點(diǎn)是局部漸近穩(wěn)定的，另外當(dāng)δ=0時(shí)，若(11)式成立則模型(10)的地方病平衡點(diǎn)全局漸近穩(wěn)定．?dāng)?shù)值仿真證明了理論結(jié)果的正確性．