晉 珺

（晉中學(xué)院數(shù)學(xué)系，山西 晉中 030619）

有限群的特征標(biāo)理論為有限群的研究提供了強有力的工具，其中特征標(biāo)表是學(xué)習(xí)有限群的特征標(biāo)理論的重要工具.從特征標(biāo)表上可以得到許多信息，例如從特征標(biāo)表可以得到群的所有正規(guī)子群，可以確定該群是否為單群，是否可解，還可以計算商群的不可約特征標(biāo)［1］，在特征標(biāo)的π-理論［2］中可以判斷群是否是π-可分的等. 本文分別通過子群上不可約特征標(biāo)在大群上的誘導(dǎo)和置換特征標(biāo)兩種方法得到S4的特征標(biāo)表.本文只考慮有限群上的復(fù)特征標(biāo)，特征標(biāo)理論的相關(guān)概念、基本性質(zhì)以及符號可參考Isaacs 的專著［1］，矩陣和群論的基礎(chǔ)知識可參考相關(guān)文獻［3～5］.

1 預(yù)備知識

本文用到的一些概念和主要結(jié)果如下：

2 主要結(jié)論

由引理1 易知，S4有5 個不可約特征標(biāo)，另外三個非線性特征標(biāo)的次數(shù)分別為2，3，3，將唯一的一個次數(shù)為2 的不可約特征標(biāo)記為x3，兩個3 次的不可約特征標(biāo)分別記為x4、x5，接下來通過兩種方法計算S4的這三個非線性不可約特征標(biāo).

方法一：通過其子群S3上不可約特征標(biāo)誘導(dǎo)到S4上來計算.

將S3的主特征標(biāo)φ1（見表2）誘導(dǎo)到S4上，我們直接利用引理5 的公式，即可得到其在S4各個共軛類代表元上的值，其結(jié)果（按照表1 中共軛類代表元順序排列）如下：

表1 S4 的共軛類以及線性特征標(biāo)表

表2 S3 的特征標(biāo)表

表3 S4 的所有不可約特征標(biāo)表