文／ 周 煉

相傳法國哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家笛卡爾有一天臥病在床，正思考著如何將幾何與代數(shù)相結(jié)合，此時(shí)一只蜘蛛在墻角來回移動(dòng)。笛卡爾突發(fā)奇想，將蜘蛛看成一個(gè)點(diǎn)，墻角的線看成數(shù)軸，坐標(biāo)系的雛形便應(yīng)運(yùn)而生，代數(shù)與幾何之間也架起了一座橋梁。那么，老師想問問同學(xué)們，當(dāng)你們遇到幾何問題時(shí)，會(huì)從代數(shù)角度去思考嗎？今天我們不妨也將“點(diǎn)”視為“蜘蛛”，看看能否打開研究幾何問題的新視角。

一、確定“蜘蛛”的位置

例1如圖1，小明手中有一張矩形紙片ABCD，AB=4，AD=9。點(diǎn)K在這張矩形紙片的邊AD上，DK=3，將紙片折疊，使AB落在CK所在直線上，折痕為HI，點(diǎn)A、B分別落在點(diǎn)A′、B′處，小明認(rèn)為B′、I、D三點(diǎn)共線，他的判斷是否正確，請(qǐng)說明理由。

圖1

【思路分析】這三只“蜘蛛”B′、I、D共線嗎？我們可以選擇其中兩個(gè)點(diǎn)求出其直線表達(dá)式，然后將第三個(gè)點(diǎn)代入驗(yàn)證即可。本題中矩形的幾何背景與相似關(guān)系為這樣的做法提供了保障。建立如圖2 所示的平面直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)B′作B′B″⊥BC，利用相似的有關(guān)知識(shí)可以求得，從而求得直線B′I的表達(dá)式為，再將點(diǎn)D（9，4）代入該直線表達(dá)式中，得，所以B′、I、D三點(diǎn)不共線。

圖2

【歸納總結(jié)】平面直角坐標(biāo)系的“定位”功能是刻畫并確定點(diǎn)的位置最有力的工具。以后，我們在遇到描述點(diǎn)的位置問題時(shí)，在條件允許的情況下就可以考慮通過建立平面直角坐標(biāo)系解決問題。

二、計(jì)算“蜘蛛”間的距離

例2如圖3，矩形ABCD中，AB=6，AD=6，點(diǎn)E在AB上，且AE=2。將該矩形沿EF折疊，使點(diǎn)B恰好落在AD邊上的點(diǎn)P處，連接PB交EF于點(diǎn)G，連接PF、DG，它們相交于點(diǎn)H，求HD的長。

圖3

【思路分析】如果要求兩只“蜘蛛”之間的距離，還可以建立平面直角坐標(biāo)系來求嗎？當(dāng)然可以。本題的幾何背景依然是易于建立平面直角坐標(biāo)系的矩形，且由于翻折變換，還形成了大量的相似三角形，這些相似三角形都是兩個(gè)內(nèi)角為30°、60°的直角三角形。我們不難發(fā)現(xiàn)，建立平面直角坐標(biāo)系后，除了點(diǎn)H，其他點(diǎn)的坐標(biāo)都可以通過相似或銳角三角形函數(shù)的知識(shí)求得。建立如圖4 所示的平面直角坐標(biāo)系，可以求得。因?yàn)辄c(diǎn)H可以視為直線DG與直線PF的交點(diǎn)，所以在求出直線PF的表達(dá)式y(tǒng)=-x+12和直線DG的表達(dá)式y(tǒng)=后，聯(lián)列方程解得便可求出點(diǎn)H的坐標(biāo)為再根據(jù)點(diǎn)H與點(diǎn)D的坐標(biāo)，運(yùn)用勾股定理求出HD的長。過點(diǎn)H作HH′⊥CD，根 據(jù) 勾 股 定 理 得

圖4

【歸納總結(jié)】要求兩點(diǎn)之間的距離，我們可以建立平面直角坐標(biāo)系，通過分析題目中的幾何關(guān)系，賦予每一個(gè)點(diǎn)精準(zhǔn)的坐標(biāo)，再利用勾股定理的相關(guān)知識(shí)便可解決問題。

三、研究“蜘蛛”的軌跡

例3如圖5，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=4。點(diǎn)G為邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)D從點(diǎn)C出發(fā)沿CA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)A停止，以GD為邊作正方形DEFG，求點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路徑的長。

圖5

【思路分析】“蜘蛛”沿著一條直線動(dòng)起來了怎么辦？如果點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條直線，那不就是我們熟悉的一次函數(shù)嗎？只要我們設(shè)出這個(gè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)并找到該動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)背后的函數(shù)表達(dá)式，那么就可以準(zhǔn)確地找到這只“蜘蛛”的運(yùn)動(dòng)軌跡。建立如圖6 所示的平面直角坐標(biāo)系，過點(diǎn)E作EE′⊥y軸，垂足為E′，設(shè)DC=t，根據(jù)全等的相關(guān)知識(shí)可得點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-t，t+2），所以點(diǎn)E在直線y=-x+2 上運(yùn)動(dòng)。“蜘蛛”運(yùn)動(dòng)路徑的長如何求呢？在找到該動(dòng)點(diǎn)所在的函數(shù)表達(dá)式后，根據(jù)條件中提供的運(yùn)動(dòng)范圍找到該動(dòng)點(diǎn)的起終點(diǎn)，由題意可知0≤t≤3。當(dāng)t=0 時(shí)，y=2，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（0，2）；當(dāng)t=3時(shí)，y=5，此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)為（-3，5）。再根據(jù)勾股定理求得點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的路徑長是

圖6

【歸納總結(jié)】研究動(dòng)點(diǎn)的軌跡是較為靈活的探究性問題，建立平面直角坐標(biāo)系后利用函數(shù)的相關(guān)知識(shí)可以量化動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程，這是一種更便捷的“代數(shù)”策略。