王曉惠，潘曉春，沈旭偉

（中國能源建設(shè)集團(tuán)江蘇省電力設(shè)計院有限公司，江蘇 南京 211102）

根據(jù)現(xiàn)行《港口與航道水文規(guī)范》，海港工程極端高水位、極端低水位、設(shè)計波高及波周期等要素的分析計算可分別采用極值Ⅰ型、Pearson-Ⅲ型概率分布模型，也可以根據(jù)實測資料擬合最佳的原則，在兩個分布模型之間擇優(yōu)選取[1]。此外，包括海港工程在內(nèi)的結(jié)構(gòu)抗風(fēng)設(shè)計風(fēng)速統(tǒng)計，也常采用兩個分布模型進(jìn)行分析計算[2]。

我國設(shè)計洪水計算推薦采用Pearson-Ⅲ型概率分布模型，并以設(shè)計值的均方誤差作為安全修正值來估算抽樣誤差，通過設(shè)計值加上對應(yīng)頻率安全修正值，以確保計算成果的可靠[3]。安全修正值由安全修正值系數(shù)B 值、樣本標(biāo)準(zhǔn)差及樣本容量綜合確定，同時與概率分布模型的參數(shù)估計方法密切相關(guān)[4-10]。目前關(guān)于Pearson-Ⅲ型概率分布模型的安全修正值系數(shù)B 值已有較多的研究[4-10]，有代表性的成果已被我國規(guī)范采用[3]，并應(yīng)用到工程實踐中。然而，現(xiàn)行相關(guān)技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)[1-2]在推薦采用極值Ⅰ型分布模型進(jìn)行頻率分析計算時，僅進(jìn)行不同頻率設(shè)計值的點估計，未要求對設(shè)計值進(jìn)行區(qū)間估計，忽略了樣本抽樣誤差對設(shè)計值的影響，這對海洋水文實測資料短缺海區(qū)的海港工程設(shè)計極端高低水位和設(shè)計波要素可能帶來可觀的誤差。

目前對極值Ⅰ型分布模型的抽樣誤差的研究較少，未見關(guān)于該分布設(shè)計安全修正值及系數(shù)的相關(guān)研究，本文通過統(tǒng)計試驗（即Monte Carlo Method）推求基于Gumbel 參數(shù)估計方法的極值Ⅰ型分布模型的安全修正值系數(shù)B 值、B′值諾模圖，并與Pearson-Ⅲ型概率分布模型的B 值諾模圖進(jìn)行比較驗證，供工程實踐尤其資料短缺的海港工程設(shè)計中參考使用。

1 理論與方法

1.1 設(shè)計值抽樣誤差的一般表達(dá)

潮位、波浪等海洋水文極值系列是未知的無限總體，而實測資料系列只能是有限樣本，用有限樣本估計總體參數(shù)必然存在不可避免的抽樣誤差，即由樣本的特征推算和估計總體的特征而引起的誤差。

用各種估計方法可對隨機(jī)變量系列X 估得不同頻率P 時的變數(shù)xP值，并繪出頻率曲線。根據(jù)抽樣原理，從頻率曲線上讀得的值是點估計值，在其兩側(cè)有一定的波動范圍。如圖1 所示，相應(yīng)A 點對應(yīng)的設(shè)計值xP隱含一個條件分布，其密度函數(shù)為f（xP|P）。此時，設(shè)在頻率曲線上讀得的估計值為xP，即A 點的縱坐標(biāo)值，這是該條件分布的均值、中值、眾值或別的特征值。

圖1 頻率分析設(shè)計值xP 的條件密度分布圖[4]

1.2 統(tǒng)計試驗推求B 值諾模圖

極值Ⅰ型分布模型表達(dá)式如下。

式中，λP，n為極值Ⅰ型分布離均系數(shù)，其值可按式（12）計算或查JTS 145—2015《港口與航道水文規(guī)范》[1]附錄表D.0.2。可見，JTS 145—2015 與GB 50009—2012 中的極值Ⅰ型分布的參數(shù)估計式的表達(dá)形式不同，但本質(zhì)一致。

1.2.2 統(tǒng)計試驗設(shè)計

現(xiàn)行技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)推薦采用Gumbel 法進(jìn)行極值Ⅰ型分布參數(shù)估計，為便于研究成果的實踐應(yīng)用，下文基于該法估計參數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計試驗，研究樣本設(shè)計成果的抽樣誤差，進(jìn)而計算B 值。統(tǒng)計試驗具體步驟如下。

步驟1：樣本序列的生成。為了保證計算結(jié)果的一致性和有效性，E（X）= 1，CV=（0.1，0.15，0.20），運用蒙特卡洛方法生成容量n=5、10、15、20、30、50、70 和100 的序列，每組生成N=500個隨機(jī)序列作為1 個計算小組。

步驟2：統(tǒng)計參數(shù)的確定。按照上述式（8）、式（9）計算每組隨機(jī)序列的尺度參數(shù)和位置參數(shù)。

周淑蘋女士為前任中西女塾皇后。民國十六年間畢業(yè)。各報爭刊其玉影?！峭砼恐b束華麗冠全場。粉紅色的衣綴以一大紅花。衣外復(fù)披白狐黑大衣，色彩與式樣可稱時髦已極。女士之頭上浩浩乎平滑無疆，是又不得不歸功于司丹康矣。聞今日為其出閨佳期。記者深愿女士能始終得條件之保障。而享受攜手白頭之樂也?！勏蔫疵襞繛闇笪鲃∩缟鐔T，因家庭反對男女合演，故未加入云。 ”[12]5（圖 8、圖 9）《新聞報》1929年 3月6日刊載《值得登廣告》，詳細(xì)記載了該劇的本事：

步驟3：計算xP的均方誤差SxP。采用式（4）確定每組隨機(jī)序列的設(shè)計值xP，i（P=0.01%，0.1%，1%，2%，3.3%，5%，10%），對于n、E（X）、CV相同的500 組隨機(jī)序列，計算其理論設(shè)計值x0P、小組均方誤差每500組序列作為一個小組，分別計算10 000 組的SxP，求得10 000 組的平均值。

步驟4：計算B 值。對n = 5、10、15、20、30、50、70 和100 的序列，根據(jù)下式計算對應(yīng)的B值序列。

步驟5：計算相對偏差。對n = 5、10、15、20、30、50、70 和100 的序列，根據(jù)下式計算對應(yīng)的相對偏差δ。

1.3 統(tǒng)計試驗結(jié)果分析

1.3.1 CV對B 值的影響

樣本容量取10、20、30、50 和100，對應(yīng)不同的CV值分別進(jìn)行試驗，B 值成果如表1 所示?？梢娡粯颖救萘肯孪嗤l率，B 值相當(dāng)接近，可以認(rèn)為B 值與CV值無關(guān)。

表1 不同CV 值與B 值的關(guān)系表（樣本容量n=10、20、30、50 和100 共5 組）

1.3.2 樣本容量對B 值的影響

1.3.3 B 值諾模圖

根據(jù)上述分析，B 值與CV值無關(guān)，與樣本容量n、頻率P 關(guān)系密切。通過上述的15 組試驗方案，統(tǒng)計試驗10 000 次后，通過式（12）計算得到B 值表2 所示，繪制成B 值諾模圖如圖2。為使參數(shù)更加清晰，查圖使用更加方便，令從而式（1）變?yōu)槭剑?5）。

圖2 極值Ⅰ型分布B 值諾模圖

表2 不同樣本容量與B 值的關(guān)系表（CV=0.10、0.15、0.20 共3 組，取均值）

B′值及諾模圖，分別如表3 和圖3 所示。

表3 不同樣本容量與B′值的關(guān)系表（CV=0.10、0.15、0.20 共3 組，取均值）

圖3 極值Ⅰ型分布B′值諾模圖

1.3.4 樣本容量與相對偏差的關(guān)系

樣本容量取5、 10、 15、 20、 30、 50、 70 和100， 對應(yīng)不同的CV值（CV=0.1、 0.15、 0.2） 分別進(jìn)行試驗， 采用式（14） 計算樣本容量引起估計值與真值的相對偏差， 如圖4所示。 在值相同的情況下， 樣本容量越小相對偏差越大； 樣本容量相同的情況下， CV值越大相對偏差越大。

圖4 不同樣本容量引起的估計值與真值的相對偏差

2 極值Ⅰ型分布B 值的合理性分析

Pearson-Ⅲ型概率分布模型也被常用于水文氣象要素極值的頻率分析，許多學(xué)者及相關(guān)的規(guī)范采用了優(yōu)化適線法、絕對值離差和最小法、最小二乘法、線性矩法等進(jìn)行參數(shù)估計，并通過蒙特卡洛試驗，得到了安全修正值系數(shù)B 值[3-10]。Pearson-Ⅲ型分布的B 值是CS與頻率P 的函數(shù)，且與參數(shù)的估算方法密切相關(guān)。為與極值Ⅰ型的B 值對比，本文將n=5、10、15、20、30、50、70 和100 統(tǒng)計得到的B 值取平均值，并與Pearson-Ⅲ型CS= 0、0.5、1.0、1.5 的B 值進(jìn)行比較分析。

叢樹錚等[7]根據(jù)絕對值離差和最?。é?-W）優(yōu)化適線法，由統(tǒng)計試驗方法計算得到了B 值圖，如圖5（a）所示；金光炎等[4]用統(tǒng)計試驗方法，采用絕對值離差和最小法及最小二乘法適線法進(jìn)行分布參數(shù)估計，繪制B 值諾模圖，如圖5（b）和圖5（c）所示；劉攀等[8]認(rèn)為線性矩法估計頻率分布曲線的參數(shù)有較好的無偏性和有效性，并采用線性矩法估計Pearson-Ⅲ型的分布參數(shù)，繪制了用安全修正值系數(shù)B 值諾模圖，如圖5（d）所示。

圖5 基于Gumbel 法估計的極值Ⅰ型與不同參數(shù)估計方法的Pearson-Ⅲ型分布的B 值諾模圖

對于Pearson-Ⅲ型分布，在不同的參數(shù)估計方法中，當(dāng)CS相同時，B 值由大至小依次為：最小二乘適線法、絕對值離差和最小法、線性矩法、絕對值離差和最?。é?-W）優(yōu)化適線法，其中絕對值離差和最小法與線性矩法參數(shù)估計相應(yīng)的B 值非常接近。極值Ⅰ型分布的B 的均值介于Pearson-Ⅲ型分布CS= 0.5～1.5 的B 值之間。在頻率P 較小時，極值Ⅰ型分布的B 值介于Pearson-Ⅲ型分布CS=0.5～1.0 的B 值之間；在頻率P 較大時，極值Ⅰ型分布的B 值介于Pearson-Ⅲ型分布CS=1.0～1.5的B 值之間；頻率P ＞4%，極值Ⅰ型分布的B 值與Pearson-Ⅲ型分布CS=1.5 的B 值大體相當(dāng)。

3 實例分析

以某潮位站1989—2018 年共30 年歷年最高潮位資料為例，進(jìn)行設(shè)計高潮位實例分析。該潮位站1989—2018 年歷年最高潮位序列的均值為1.77 m（珠江基面，下同），標(biāo)準(zhǔn)差為0.389，具體系列值如圖6 所示。

圖6 某潮位站1989—2018 年歷年最高潮位

3.1 不同頻率分布模型的對比

采用極值Ⅰ型分布進(jìn)行頻率分析，參數(shù)估計采用我國標(biāo)準(zhǔn)推薦的Gumbel 法估計，得到位置參數(shù)μ=1.563，尺度參數(shù)α=0.359。采用Pearson-Ⅲ型分布進(jìn)行頻率分析，采用常用的φ2-W 適線參數(shù)估計方法得出CV= 0.26，CS/ CV= 4，對應(yīng)的位置參數(shù)、尺度參數(shù)、形狀參數(shù)分別為0.885、3.70、4.18。兩個分布考慮安全修正值修正后得到的設(shè)計值及B 值匯總?cè)绫? 所示。

表4 極值Ⅰ型與Pearson-Ⅲ型分布修正后的設(shè)計值

極值I 型分布計算得到的設(shè)計潮位值xP較Pearson-Ⅲ型分布得到的成果略大，不同頻率下差異約-0.02～0.25 m；在考慮安全修正值SxP后，兩個分布得到的設(shè)計潮位值x*P相當(dāng)，差異約0.01～0.13 m；頻率越小，兩個分布的差異越大，常用的P=1%、2%下，兩個分布模型得到的xP、x*P基本一致。

在采用極值I 型分布分析計算設(shè)計潮位時，安全修正值SxP約為xP的7.6%～14.6%，約為x*P的7.1%～12.7%，即在不考慮安全修正值時，極值I 型分布分析計算設(shè)計潮位較x*P小約7.1%～12.7%。在采用Pearson-Ⅲ型分布分析計算設(shè)計潮位時，安全修正值SxP約為xP的6.3%～18.0%，約為x*P的5.9%～15.3%，即在不考慮安全修正值時，Pearson-Ⅲ型分布分析計算設(shè)計潮位較x*P小約5.9%～15.3%。本例充分說明了為得到更加可靠的設(shè)計潮位值，考慮安全修正系數(shù)修正抽樣誤差是十分必要的。

3.2 不同樣本容量的對比

采用Gumbel 法對近30 年、20 年、15 年、10年、5 年的歷年最高潮位資料進(jìn)行設(shè)計潮位的計算，考慮安全修正值修正后得到的設(shè)計值及B′值匯總?cè)绫?、圖7 和圖8 所示。

圖7 不同樣本容量的設(shè)計潮位xP 成果對比

圖8 不同樣本容量的設(shè)計潮位x*P 成果對比

表5 不同樣本容量對應(yīng)的設(shè)計潮位成果匯總表

隨著樣本容量的增加，設(shè)計潮位值xP、 x*P大致呈現(xiàn)減小的趨勢；近10 年、15 年、20 年的設(shè)計潮位值xP大小相當(dāng)，不同樣本容量的xP差異在0.11～0.14 m；以近30 年的xP為基礎(chǔ)，頻率越小，不同樣本長度的xP差距越大，近5 年資料得到的設(shè)計值大了約20.3%～52.5%，近10 年、15 年、20 年的設(shè)計值大了約2.15%～11.9%。近10 年、15 年、20 年的設(shè)計潮位值x*P大小相當(dāng)，不同樣本容量的xP差異在-0.01～0.23 m；以近30 年的x*P為基礎(chǔ)，頻率越小，不同樣本長度的x*P差距越大，近5 年資料得到的設(shè)計值大了約40.8%～87.3%，近10 年、15年、20 年的設(shè)計值大了約8.6%～20.0%?？梢姴煌瑯颖救萘繉υO(shè)計值的影響較大，尤其是樣本容量不足10時，引起的偏差達(dá)到了50%以上。

在不同樣本容量時，不同頻率的安全修正值SxP約為xP的7.1%～28.9%，約為x*P的7.6%～40.7%，且樣本容量越小，SxP占xP、x*P的比例越大，具體如表6 所示；在使用近5 年的資料時，不同頻率的安全修正值SxP約為xP的20.6%～28.9%，約為x*P的26.0%～40.7%；在使用近10 年的資料時，不同頻率的安全修正值SxP約為xP的12.6%～20.8%，約為x*P的14.5%～26.2%；在使用近15 年的資料時，不同頻率的安全修正值SxP約為xP的10.5%～17.7%，約為x*P的11.7%～21.5%；在使用近20 年的資料時，不同頻率的安全修正值SxP約為xP的9.4%～15.7%，約為x*P的10.3%～18.6%?？梢?，樣本容量越短，考慮安全修正系數(shù)修正抽樣誤差越有必要。對于《港口與航道水文規(guī)范》規(guī)定的不少于連續(xù)20 年的資料要求，本例的誤差達(dá)到了10.3%～18.6%，可見考慮抽樣誤差十分必要。

表6 不同樣本容量設(shè)計潮位相對誤差匯總表

4 結(jié) 論

本文針對基于Gumbel 法進(jìn)行參數(shù)估計的極值Ⅰ型分布，通過統(tǒng)計試驗，研究繪制了安全修正值系數(shù)B 值的諾模圖及考慮樣本容量的B′值的諾模圖，與多種方法參數(shù)估計的Pearson-Ⅲ型的B 值諾模圖對比分析，并以某潮位站設(shè)計最高潮位計算為例加以驗證，得到下列結(jié)論。

（1）海港工程設(shè)計與結(jié)構(gòu)抗風(fēng)設(shè)計中，常采用極值Ⅰ型分布推求稀遇頻率的極端高水位、極端低水位、設(shè)計波要素和設(shè)計最大風(fēng)速。本文基于現(xiàn)行技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)推薦的Gumbel 參數(shù)估計方法進(jìn)行統(tǒng)計試驗，證明樣本容量過小引起設(shè)計值的抽樣誤差不容忽視。

（2）極值Ⅰ型分布的安全修正值系數(shù)B 值與離差系數(shù)無關(guān)，為頻率P、樣本容量n 的函數(shù)，可采用本文統(tǒng)計試驗得出的B 值或B′值諾模圖近似估計該分布設(shè)計值的抽樣誤差。

（3）根據(jù)叢樹錚等、劉攀等[7-8]的研究，對Pearson-Ⅲ型分布，在CS較小時，樣本容量n 對B值的影響較小，可忽略n 對B 值的影響。然而，根據(jù)本文統(tǒng)計試驗及實例分析，對于極值Ⅰ型分布，樣本容量n 對B 值進(jìn)而對極端水位設(shè)計值的影響相對顯著，不宜忽略。

（4）本文提出的基于Gumbel 法參數(shù)估計的極值Ⅰ型分布的設(shè)計安全修正系數(shù)B 值介于Pearson-Ⅲ型分布CS=0.5～1.5 的B 值之間。

（5）本文實例驗證了采用Gumbel 法進(jìn)行極值Ⅰ型分布參數(shù)估計，獲得的B 值、B′值諾模圖可為海港工程設(shè)計極端高水位、極端低水位、設(shè)計波要素，以及結(jié)構(gòu)荷載計算中的最大風(fēng)速分析計算的設(shè)計值抽樣誤差估計提供可靠的依據(jù)，并可供相關(guān)設(shè)計標(biāo)準(zhǔn)修訂時參考。