俞惠惠， 鄭近德， 潘海洋， 童靳于， 劉慶運(yùn)

(安徽工業(yè)大學(xué) 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 馬鞍山 243032)

滾動軸承作為機(jī)械設(shè)備的核心部件之一，其狀態(tài)的好壞直接影響到整個(gè)機(jī)械系統(tǒng)的正常運(yùn)行。因此，開展?jié)L動軸承的故障診斷研究是機(jī)械系統(tǒng)安全持續(xù)工作的保障。對于低速重載工況下的滾動軸承[1]，由于振動頻率較低，故障沖擊間隔較長，其診斷難度[2]較大。同時(shí)，工況的復(fù)雜化和多變性，致使振動信號多表現(xiàn)為非平穩(wěn)、非線性等特征[3-4]。因此，如何有效、快速的從非平穩(wěn)、非線性信號中提取故障特征是滾動軸承故障診斷的關(guān)鍵。

針對振動信號的非線性和非平穩(wěn)特點(diǎn)，Lei等[5-7]提出的經(jīng)驗(yàn)?zāi)B(tài)分解(empirical mode decomposition,EMD)可以將一個(gè)信號分解為多個(gè)內(nèi)稟模態(tài)函數(shù)(intrinsic mode function，IMF)和趨勢項(xiàng)之和。但是，EMD在進(jìn)行信號分解過程中會產(chǎn)生模態(tài)混疊和端點(diǎn)效應(yīng)等問題。Lei等[8]借助于白噪聲的特性來輔助分解，提出了總體經(jīng)驗(yàn)?zāi)Ｊ椒纸?ensemble empirical mode decomposition，EEMD)，可以有效地抑制模態(tài)混疊。但是，EEMD仍然采用極值點(diǎn)包絡(luò)來篩選分量信號，無法從根本上解決模態(tài)混疊[9]問題。針對該問題，一種非遞歸自適應(yīng)的多分量分解方法[10-13]——變分模態(tài)分解(variational mode decomposition，VMD)被提出。VMD通過構(gòu)造約束變分求解手段，將信號分解問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，將待分析信號分解為多個(gè)分量信號。文獻(xiàn)[14]運(yùn)用VMD 方法的等效濾波特性與包絡(luò)譜特征因子優(yōu)化參數(shù)結(jié)合提取滾動軸承早期故障信號的微弱特征信息；文獻(xiàn)[15]提出了VMD-Leaky-ESN的電力系統(tǒng)短期負(fù)荷多步預(yù)測方法，并將其應(yīng)用到電力系統(tǒng)短期負(fù)荷預(yù)測中；文獻(xiàn)[16]采用VMD方法對現(xiàn)場爆破信號進(jìn)行趨勢項(xiàng)消除和時(shí)頻特征提取，得到了良好的應(yīng)用效果。令人遺憾的是，VMD雖然可以得到信號完整的時(shí)頻分布，但無法確定信號中可用模態(tài)的數(shù)量(K)以及合適的加權(quán)因子(α)。如果K值設(shè)置較低且α值較高，則信號的某些模態(tài)將被視為噪聲模態(tài)；如果K值設(shè)置較高且α值較低，則會出現(xiàn)重復(fù)模態(tài)的情況。因此，VMD參數(shù)設(shè)置問題制約著其進(jìn)一步發(fā)展及應(yīng)用。

針對VMD算法在提取特定模態(tài)過程中增加不必要計(jì)算的問題，相關(guān)學(xué)者提出了變分模態(tài)提取[17](variational mode extraction，VME)，并將其應(yīng)用到醫(yī)療領(lǐng)域，實(shí)現(xiàn)了期望模態(tài)的快速提取。但是，VME只能針對一個(gè)中心頻率提取一個(gè)分量，無法實(shí)現(xiàn)多分量信號的自適應(yīng)分解。基于此，本文提出一種自適應(yīng)變分模態(tài)提取方法(adaptive variational mode extraction，AVME)。首先，根據(jù)信號數(shù)據(jù)長度與帶寬來自適應(yīng)設(shè)置多分量模態(tài)中心頻率參數(shù)，實(shí)現(xiàn)了參數(shù)的自適應(yīng)設(shè)置；其次，利用循環(huán)約束的方式依次獲得多分量期望模態(tài)，把信號分解問題轉(zhuǎn)化為多模態(tài)優(yōu)化問題，實(shí)現(xiàn)了對多分量信號的自適應(yīng)分解。最后，為了實(shí)現(xiàn)滾動軸承的精確診斷，采用融合指標(biāo)優(yōu)選(optimization of fusion index，OFI)方法篩選最優(yōu)解調(diào)分量，增強(qiáng)了信號特征和信息[18]。

綜上，通過對滾動軸承模擬故障特征信息和低速重載滾動軸承特征信息進(jìn)行包絡(luò)分析，可以得到軸承的故障特征頻率。同時(shí)，將其與EMD、EEMD和VMD進(jìn)行對比，結(jié)果表明了論文所提方法在降噪性和耗時(shí)上的優(yōu)越性。

1 自適應(yīng)變分模態(tài)提取

1.1 變分模態(tài)提取

VME算法本質(zhì)是一種以極低計(jì)算復(fù)雜度提取特定信號模態(tài)的方法。在提取過程中，VME將信號分解過程轉(zhuǎn)化到變分框架內(nèi)求解變分問題。假設(shè)一輸入信號f(t)被分解為兩種信號：期望模態(tài)(ud(t))和殘余信號(fr(t))，則相應(yīng)的變分問題構(gòu)造過程可以概述如下：

(1) 對于期望模態(tài)ud(t)，它通過Hilbert變換其解析信號，然后緊湊在預(yù)估的中心頻率處。其變分表達(dá)式為

(1)

式中：δ是狄拉克分布;*表示卷積。

(2) 殘余信號fr(t)與期望模式ud(t)的頻譜重疊部分為零，即殘余信號的能量在期望模態(tài)所在頻帶處值最小。因此，引入懲罰函數(shù)

(2)

式中，β(t)是所用頻率響應(yīng)濾波器的脈沖響應(yīng)。

(3) 在滿足f(t)=ud(t)+fr(t)條件下，尋找期望模態(tài)的變分問題

minud,ωd,fr{αJ1+J2}

s.t.ud(t)+fr(t)=f(t)

(3)

式中，α是用于平衡J1和J2的參數(shù)。

VME將約束性變分問題轉(zhuǎn)化為無約束性變分問題，利用交替方向乘法算子(alternate direction method of multipliers，ADMM)求取拉格朗日函數(shù)的鞍點(diǎn)[19]，即式(3)最優(yōu)解，獲得期望模態(tài)。

1.2 自適應(yīng)變分模態(tài)提取

AVME以VME為基礎(chǔ)，其根據(jù)信號數(shù)據(jù)長度(L)與帶寬(α)來確定自適應(yīng)設(shè)置多分量模態(tài)中心頻率參數(shù)，把信號分解問題轉(zhuǎn)化為多模態(tài)優(yōu)化問題，具體實(shí)現(xiàn)步驟如下

②n=n+1，執(zhí)行整個(gè)循環(huán)；

(4)

④根據(jù)式(5)更新ωd；

(5)

⑤根據(jù)式(6)更新所有ω>0的拉格朗日乘子；

(6)

在整個(gè)循環(huán)步驟中，AVME處理信號數(shù)據(jù)邊界方法依舊采取將信號每一側(cè)的鏡像擴(kuò)展為其長度的一半。AVME通過已知數(shù)據(jù)長度和步長來確定各期望模態(tài)中心頻率，將各期望模態(tài)逐步從剩余信號頻譜中剝離出來，再通過判斷剩余信號在期望模態(tài)的中心頻率處能量值為零，實(shí)現(xiàn)信號的自適應(yīng)變分模態(tài)提取。

2 基于AVME的低速重載滾動軸承故障診斷方法

低速重載軸承一般承受較大的載荷和轉(zhuǎn)速較低，故障特性有沖擊間隔長、沖擊響應(yīng)頻率低與噪音大等特點(diǎn)[20-21]，一般很難提取其故障頻率。針對這一信號特點(diǎn)，模擬低速重載軸承故障信號，采用AVME算法不斷對信號提取期望模態(tài)，通過變分構(gòu)造手段求最值問題來獲得所有期望模態(tài)，然后通過融合指標(biāo)優(yōu)選(optimization of fusion index，OFI)選擇有用分量，即計(jì)算各分量的峭度、相關(guān)系數(shù)和正交性，然后，挑選出各個(gè)單一指標(biāo)值的前三位數(shù)值及信號位次，當(dāng)三指標(biāo)的前三位數(shù)值中存在同一位次，選為最優(yōu)分量并進(jìn)行重構(gòu)。最后，對重構(gòu)信號進(jìn)行包絡(luò)分析并成功獲得故障信息。綜上，基于AVME的滾動軸承故障診斷方法流程圖，如圖1所示。

圖1 基于AVME的滾動軸承故障診斷方法流程圖Fig.1 Flow chart of rolling bearing fault diagnosis method based on AVME

3 仿真模擬信號分析

為了驗(yàn)證所提滾動軸承故障診斷方法的有效性，采用式(7)所示的非平穩(wěn)周期性沖擊仿真信號進(jìn)行驗(yàn)證

x=7e-g×2πft×sin(2πft×cos(2πt))

(7)

式中：阻尼系數(shù)g=0.03;共振頻率f=4 500，采樣頻率為1 000 Hz。x為周期性沖擊信號的基本函數(shù)，通過添加信噪比為-5 dB的高斯白噪聲，構(gòu)成特征頻率為5 Hz的仿真信號，其時(shí)域波形圖和平方包絡(luò)譜如圖2(a)、2(b)所示。從模擬故障仿真信號的平方包絡(luò)譜中可以看出，特征頻率淹沒在噪聲中，無法判斷是否具有故障。

(a) 模擬故障信號時(shí)域波形圖

(b) 模擬故障信號平方包絡(luò)譜圖2 模擬故障信號時(shí)域波形及其平方包絡(luò)譜Fig.2 Time domain waveform and its square envelope spectrum of analog fault signal

采用AVME方法對模擬故障信號進(jìn)行信號分解，得到 10個(gè)分量，分解分量時(shí)域波形如圖3所示。從圖3可以看出，分量信號具有一定的調(diào)制信息，可以判斷該信號可能存在故障。進(jìn)一步采用OFI方法對AVME分解分量進(jìn)行選擇，表1為OFI挑選出最優(yōu)分量融合指標(biāo)值，最優(yōu)分量為v2。對最優(yōu)分量進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)信號時(shí)域波形如圖4(a)所示。最后，對重構(gòu)信號進(jìn)行包絡(luò)分析，結(jié)果如圖4(b)所示。從圖4(b)中可以清晰看出故障頻率及其倍頻成分，因此，可以判斷該信號故障類型。

圖3 AVME分解分量時(shí)域波形圖Fig.3 Time domain waveform of AVME decomposition component

表1 OFI方法選出AVME分解分量中最優(yōu)分量融合指標(biāo)值Tab.1 The optimal component fusion index values of AVME decomposition components are selected by OFI method

(a) AVME重構(gòu)信號時(shí)域波形圖

(b) AVME重構(gòu)信號平方包絡(luò)譜圖4 AVME重構(gòu)信號時(shí)域波形及其平方包絡(luò)譜Fig.4 Time domain waveform and its square envelope spectrum of AVME reconstructed signal

為了說明所提方法的優(yōu)越性，分別采用EMD、EEMD和VMD進(jìn)行對比分析。首先，采用EMD方法對模擬故障信號進(jìn)行信號處理，自適應(yīng)地分解出9個(gè)imf分量。其次，運(yùn)用OFI方法挑選出最優(yōu)分量imf2和imf3，OFI方法挑出的最優(yōu)分量融合指標(biāo)值為表2所示。最后，對最優(yōu)分量進(jìn)行重構(gòu)，并進(jìn)行包絡(luò)分析，其重構(gòu)信號時(shí)域波形如圖5(a)所示。從圖5(b)可以看出，EMD包絡(luò)譜雖然也具有故障頻率及其倍頻成分，但是故障頻率及其倍頻周圍存在許多干擾頻率，尤其在三倍頻處干擾最明顯。與EMD方法類似，EEMD和VMD也采用相同的步驟進(jìn)行故障診斷。其重構(gòu)信號時(shí)域波形如圖6(a)和圖7(a)所示，同時(shí)，表3和表4為OFI挑選出最優(yōu)分量的融合指標(biāo)值。最后，對重構(gòu)信號進(jìn)行平方包絡(luò)譜分析，如圖6(b)和圖7(b)所示。從圖6(b)可以看出，EEMD包絡(luò)譜雖也具有模擬故障信號的故障頻率及其倍頻成分，但噪音成分過多且三倍頻幾乎被淹沒，此外，在三倍頻與四倍頻之間出現(xiàn)突出的干擾頻率。在圖7(b)中，VMD包絡(luò)譜雖然也具有故障頻率及其倍頻成分，但在三倍頻與四倍頻出現(xiàn)異常干擾頻率。

表2 OFI方法選出EMD分解分量中最優(yōu)分量融合指標(biāo)值Tab.2 The optimal fusion index value of EMD decomposition components selected by OFI method

(a) EMD重構(gòu)信號時(shí)域波形圖

(b) EMD重構(gòu)信號平方包絡(luò)譜圖5 EMD重構(gòu)信號時(shí)域波形及其平方包絡(luò)譜Fig.5 Time domain waveform and its square envelope spectrum of EMD reconstructed signal

(a) EEMD分解重構(gòu)信號時(shí)域波形圖

(b) EEMD重構(gòu)信號平方包絡(luò)譜圖6 EEMD重構(gòu)信號時(shí)域波形及其平方包絡(luò)譜Fig.6 Time domain waveform and its square envelope spectrum of EEMD reconstructed signal

(a) VMD重構(gòu)信號時(shí)域波形圖

(b) VMD重構(gòu)信號平方包絡(luò)譜圖7 VMD重構(gòu)信號時(shí)域波形及其平方包絡(luò)譜Fig.7 Time domain waveform and its square envelope spectrum of VMD reconstructed signal

表3 OFI方法選出EEMD分解分量中最優(yōu)分量融s合指標(biāo)值Tab.3 The optimal fusion index values of EEMD decomposition components selected by OFI method

對AVME、EMD、EEMD和VMD方法的降噪性進(jìn)行定量分析，將上述四種方法進(jìn)行計(jì)算效率分析，分析結(jié)果如表5所示。從表5可以看出，信噪比最高的為EEMD(-6.02)，其次為EMD與VMD，最低為AVME(4.07)；耗時(shí)最短的為EMD(0.31 s)，其次為AVME與VMD，最長為EEMD(5.60 s)。因此，AVME在計(jì)算耗時(shí)和降噪方面上具有一定優(yōu)勢。

表4 OFI方法選出VMD分解分量中最優(yōu)分量融合指標(biāo)值Tab.4 The best component fusion index value of VMD decomposition components selected by OFI method

表5 EMD、EEMD、VMD與AVME重構(gòu)信號的信噪比與運(yùn)行速度Tab.5 SNR and running speed of reconstructed signals of EMD, EEMD, VMD and AVME

4 試驗(yàn)驗(yàn)證

為了近一步驗(yàn)證所提方法的有效性和實(shí)用性，本小節(jié)將其應(yīng)用到滾動軸承故障試驗(yàn)數(shù)據(jù)中分析。試驗(yàn)數(shù)據(jù)來自安徽工業(yè)大學(xué)自制滾動軸承模擬故障試驗(yàn)臺(如圖8和圖9所示)。試驗(yàn)軸承型號為6206-2RS1 SKF，滾子個(gè)數(shù)為9，內(nèi)徑為30 mm，外徑62 mm，采用線切割技術(shù)對軸承造成故障點(diǎn)，外圈切割深度為0.2 mm，如圖10所示。在試驗(yàn)過程中，負(fù)載設(shè)置為5 kN，轉(zhuǎn)速為300 r/min，采樣頻率為10 240 Hz，采樣時(shí)間為3 s。根據(jù)文獻(xiàn)[17]，計(jì)算出其故障頻率為fo=17.85 Hz。實(shí)測信號時(shí)域波形如圖11所示，圖12為實(shí)測信號平方包絡(luò)譜。在平方包絡(luò)譜圖中，無法直接判斷出故障類型。

圖8 滾動軸承模擬故障試驗(yàn)臺Fig.8 Test bench of rolling bearing simulation fault

圖9 外圈故障軸承Fig.9 Fault of bearing outer ring

(a) 實(shí)測信號時(shí)域波形圖

(b) 平方包絡(luò)譜圖10 實(shí)測信號時(shí)域波形及其平方包絡(luò)譜Fig.10 Time domain waveform and its square envelope spectrum of measured signal

首先，采用本文提出的方法對實(shí)測信號進(jìn)行自適應(yīng)分解，分解得到20個(gè)模態(tài)分量，時(shí)域波形圖如圖11所示。其次，運(yùn)用OFI方法挑選出最優(yōu)分量，表6為最優(yōu)分量的融合指標(biāo)值。然后對最優(yōu)分量進(jìn)行重構(gòu)，重構(gòu)信號時(shí)域波形如圖12(a)所示。最后，對重構(gòu)信號進(jìn)行平方包絡(luò)譜(如圖12(b))分析，從圖12(b)可以看出，AVME包絡(luò)譜具有明顯的故障頻率及其倍頻成分，且周圍未有異常干擾成分。故障頻率及其倍頻附近噪音成分較低。

圖11 AVME分解分量時(shí)域波形圖Fig.11 Time domain waveform of AVME decomposition component

表6 OFI方法選出AVME分解分量中最優(yōu)分量融合指標(biāo)值Tab.6 The optimal component fusion index values of AVME decomposition components are selected by OFI method

為了說明所提方法的優(yōu)越性，分別采用EMD、EEMD與VMD進(jìn)行對比分析。首先，采用各類方法對實(shí)測信號進(jìn)行分解，其次，運(yùn)用OFI對分解分量進(jìn)行挑選，表7為OFI從EMD分解分量挑選出最優(yōu)分量的融合指標(biāo)值，表8與表9分別是OFI從EEMD與VMD分解分量挑選出最優(yōu)分量的融合指標(biāo)值。然后，對最優(yōu)分量進(jìn)行重構(gòu)，EMD、EEMD與VMD重構(gòu)信號的時(shí)域波形如圖13(a)、圖14(a)和圖15(a)所示。最后，分別對三種方法的重構(gòu)信號作包絡(luò)分析，分析結(jié)果如圖13(b)、圖14(b)和圖15(b)所示。從三種方法的包絡(luò)譜中，盡管可以得到故障頻率及其倍頻，但是噪音成分太多。此外，包絡(luò)分析VMD重構(gòu)信號，發(fā)現(xiàn)在故障頻率之前有許多異常頻率成分。

(a) AVME重構(gòu)信號時(shí)域波形圖

(b) AVME重構(gòu)信號平方包絡(luò)譜圖12 AVME重構(gòu)信號時(shí)域波形及其平方包絡(luò)譜Fig.12 Time domain waveform and its square envelope spectrum of AVME reconstructed signal

表7 OFI方法選出EMD分解分量中最優(yōu)分量融合指標(biāo)值Tab.7 The optimal component fusion index values of EMD decomposition components are selected by OFI method

表8 OFI方法選出EEMD分解分量中最優(yōu)分量融合指標(biāo)值Tab.8 The optimal fusion index values of EEMD decomposition components selected by OFI method

表9 OFI方法選出VMD分解分量中最優(yōu)分量融合指標(biāo)值Tab.9 The optimal component fusion index values of VMD decomposition components are selected by OFI method

(a) EMD重構(gòu)信號時(shí)域波形圖

(b) EMD重構(gòu)信號平方包絡(luò)譜圖13 EMD重構(gòu)信號時(shí)域波形及其平方包絡(luò)譜Fig.13 Time domain waveform and its square envelope spectrum of EMD reconstructed signal

(a) EEMD重構(gòu)信號時(shí)域波形圖

(b) EEMD重構(gòu)信號平方包絡(luò)譜圖14 EEMD重構(gòu)信號時(shí)域波形及其平方包絡(luò)譜Fig.14 Time domain waveform and its square envelope spectrum of EEMD reconstructed signal

(a) VMD重構(gòu)分量時(shí)域波形圖

(b) VMD重構(gòu)分量平方包絡(luò)譜圖15 VMD重構(gòu)信號時(shí)域波形及其平方包絡(luò)譜Fig.15 Time domain waveform and its square envelope spectrum of VMD reconstructed signal

最后，對上述方法的重構(gòu)信號作降噪性的定量分析，然后再作計(jì)算效率分析，分析結(jié)果如表10所示。從表10可以看出，信噪比最高的為VMD(-6.90)，其次為EMD與EEMD，最低為AVME(0.11)；耗時(shí)最短為EMD(11.16 s)，其次為AVME與VMD，最長為EEMD(474.91 s)。綜上，AVME在故障診斷方面具有一定優(yōu)勢。

表10 EMD、EEMD、VMD與AVME方法信噪比(5階)與運(yùn)行速度Tab.10 SNR (Fifth order) and running speed of EMD, EEMD, VMD and AVME methods

5 結(jié) 論

針對VME單次僅能提取一個(gè)分量，無法實(shí)現(xiàn)多分量信號的自適應(yīng)分解，提出了自適變分模態(tài)提取(AVME)方法，并將其應(yīng)用于仿真和實(shí)測信號分析，通過對比，得到如下結(jié)論。

(1) 為解決單一指標(biāo)無法衡量最優(yōu)解調(diào)分量全面信息特征的問題，提出融合指標(biāo)優(yōu)選(OFI)方法，通過計(jì)算各分量的峭度、相關(guān)系數(shù)和正交性；再通過對有用信號進(jìn)行重構(gòu)，實(shí)現(xiàn)了對信號的降噪處理。

(2) AVME克服了VME無法自適應(yīng)分解多分量的問題，是一種有效地自適應(yīng)信號處理新方法。將其應(yīng)用到模擬軸承故障信號和低速重載滾動軸承故障實(shí)測信號進(jìn)行驗(yàn)證，同時(shí)，與EMD、EEMD和VMD進(jìn)行對比分析，結(jié)果表明了本文所提方法的優(yōu)越性。

綜上，盡管解決了無法自適應(yīng)分解多分量地問題，但其仍繼承了VME固有問題例如端點(diǎn)效應(yīng)，僅解決了多分量分解問題。針對變分模態(tài)提取固有問題仍要進(jìn)一步進(jìn)行深入研究。