張家俊，史展銘，王振華，張明達(dá)

（中國(guó)礦業(yè)大學(xué)（北京），北京）

一 引言

“勾三股四弦五”，這樣的直角三角形的三邊都是有理數(shù)，我們稱它為“有理直角三角形”。同時(shí)，比較湊巧的是，這個(gè)“勾三股四弦五”的直角三角形的面積又恰好是一個(gè)整數(shù)，這樣的有理直角三角形所對(duì)應(yīng)的為整數(shù)的面積被稱為同余數(shù)。

同余數(shù)問題在數(shù)學(xué)界被稱為三大千年數(shù)論難題之一（另外兩個(gè)是完全數(shù)問題與三次和三次以上丟番圖方程有解問題）。古阿拉伯人是通過研究直角三角形的面積提出同余數(shù)問題的。對(duì)于直角三角形，人們已經(jīng)知道，它的三邊滿足方程a2+b2=c2，這就是我們所說的的勾股定理（在國(guó)外又被稱為畢達(dá)哥拉斯定理）。當(dāng)直角三角形的三邊 a, b, c均為有理數(shù)，若直角三角形的面積為正整數(shù)，這樣的就是古阿拉伯人所欲求得的同余數(shù)。

二 預(yù)備知識(shí)與相關(guān)結(jié)論

（一） 勾股數(shù)

勾股數(shù)，又名畢氏三元數(shù) 。勾股數(shù)就是可以構(gòu)成一個(gè)直角三角形三邊的一組正整數(shù)。勾股定理：直角三角形兩條直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方（a2+b2=c2）

（二） 同余數(shù)

n 被稱為同余數(shù)，如果它是三邊邊長(zhǎng)都是有理數(shù)的直角三角形的面積[2]。即：如果存在三個(gè)正有理數(shù) a, b, c, 滿足a2+b2=c2,和面積此數(shù)n就稱為同余數(shù)。

整同余數(shù): 如果正整數(shù)n是同余數(shù), 那么,n 稱為整同余數(shù)。

設(shè) n 是正有理數(shù),且對(duì)n=s2r,這里s是正有理數(shù),而r是無平方因子的正整數(shù),那么n是同余數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)r是同余數(shù)。

由此可見同余數(shù)的問題可轉(zhuǎn)化為整同余數(shù)來處理。

整同余數(shù)重要結(jié)論：

定理： n 是整同余數(shù)的充要條件為存在正整數(shù) a,b, v，使得：

nv2=|6a2b2?a4?b4| or 4ab(a2b2) 其中 ,a,b 是正整數(shù) ,a ＞ b,(a,b)=1, a, b 一奇一偶。

本原同余數(shù)：

如果一個(gè)A 是不含平方因子的整同余數(shù)，則 A稱為本原同余數(shù)。

（三） BSD猜想

BSD 猜想，全稱貝赫和斯維納通-戴爾猜想BirchandSwinnerton?Dyer，屬于世界七大數(shù)學(xué)難題之一。它描述了阿貝爾簇的算術(shù)性質(zhì)與解析性質(zhì)之間的聯(lián)系[2-3]。

由 BSD 猜想可以推出奇偶性猜想、西爾維斯特猜想等很多猜想。其中最著名的是與同余數(shù)問題的關(guān)系，從BSD猜想可以推出模 8余5,6,7的無平方因子的正整數(shù)一定可以成為某個(gè)有理邊長(zhǎng)直角三角形的面積。

把這個(gè)定理與橢圓曲線理論相聯(lián)系，使人們對(duì)同余數(shù)問題的研究有了重大的進(jìn)展，不過人們同時(shí)也發(fā)現(xiàn)，用這個(gè)定理去求解一個(gè)具體的同余數(shù)仍然非常地困難。例如，人們已知157是同余數(shù)，但在方程的最小解中，x的分母和分子都近100位。

注 1：阿貝爾簇是一個(gè)代數(shù)群,它同時(shí)又是完全代數(shù)簇。完全性的條件蘊(yùn)涵著對(duì)阿貝爾簇的嚴(yán)格限制。因 而阿貝爾簇可以作為閉子簇嵌入射影空間；非奇異簇道阿貝爾簇道每個(gè)有理映射都是正則的， 阿貝爾簇上的 群律是可交換的。

注 2：環(huán)面（torus）是一個(gè)面包圈形狀的旋轉(zhuǎn)曲面，由一個(gè)圓繞一個(gè)和該圓共面的一個(gè)軸回轉(zhuǎn)所生成。在拓?fù)鋵W(xué)上，環(huán)面是一個(gè)定義為兩個(gè)圓的積的閉合曲面。

定義一：與S1×S2同胚的曲面稱為環(huán)面，它是虧格為 1 的可定向閉曲面。通常，環(huán)面可以看作由一個(gè)長(zhǎng)方體按照逆時(shí)針方向分別疊合左右兩邊和上下兩邊而得到的。

定義二：若一個(gè)線性代數(shù)群 G 同構(gòu)于某個(gè) D(n,k)，則稱 G 是一個(gè)環(huán)面。連通的可對(duì)角化代數(shù)群一定是一個(gè)環(huán)面。

（四） 橢圓曲線

橢圓曲線是域上虧格為 1 的光滑射影曲線，它的(仿射) 方程，通常稱為維爾斯特拉斯方程，可以 寫 作：y2+ay=x3+ax2+bx+c或y2=x（x-1）（x-λ），λ=0,1復(fù)數(shù)域上的橢圓曲線為虧格為 1 的黎曼面[5,7]。

如果這個(gè)域的特征不等于2和3,則可以改寫成y2=x3+ax+b

作為實(shí)曲面看，橢圓曲線是帶有一個(gè)“洞”的環(huán)面。此環(huán)面可以通過同向粘合正方形的兩對(duì)對(duì)邊得到，其拓?fù)涮澑駷?1。

注 1：虧格是代數(shù)幾何和代數(shù)拓?fù)渲凶罨镜母拍钪?。虧格的定義為若曲面中最多可畫出n條閉合曲線同時(shí)不將曲面分開，則稱該曲面虧格為n。以實(shí)的閉曲面為例，虧格g 就是曲面上洞眼的個(gè)數(shù)。

注 2：環(huán)面（torus）是一個(gè)面包圈形狀的旋轉(zhuǎn)曲面，由一個(gè)圓繞一個(gè)和該圓共面的一個(gè)軸回轉(zhuǎn)所生成。在拓?fù)鋵W(xué)上，環(huán)面是一個(gè)定義為兩個(gè)圓的積的閉合曲面。

定義一：與S1×S2同胚的曲面稱為環(huán)面，它是虧格為1的可定向閉曲面。通常環(huán)面可以看作由一個(gè)長(zhǎng)方體按照逆時(shí)針方向分別疊合左右兩邊和上下兩邊而得到的。

定義二：若一個(gè)線性代數(shù)群G同構(gòu)于某個(gè)D（n,k），則稱G是一個(gè)環(huán)面。連通的可對(duì)角化代數(shù)群一定是一個(gè)環(huán)面。

即Q上的橢圓曲線E的有理點(diǎn)是有限生成Abel群：E(Q)=ZR⊕T，T是撓點(diǎn)全體，為有限Abel群，r稱為E的秩。

Nagell-Lutz theorem：P=(x,y)E(Q),如 果是torsion point(即存在正整數(shù)n,使得nP=O,其全體記為E(Q)),則x和y都是整數(shù),并且或者y=0或y2|△[7]。

Mordell-Weil theorem：對(duì)于具有二階點(diǎn)的EC，有形如y2=x3+ax3+bx其中a,b為整數(shù)，則其上的有理點(diǎn)群為有限生成[8]。

siegel定理：Q上的橢圓曲線E的整點(diǎn)（坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)），或者更一般的坐標(biāo)有一者為整數(shù)的點(diǎn)，只有有限個(gè)[9]。

（五） 無窮遞減法

無窮遞降法是證明方程無解的一種方法。其步驟為：假設(shè)方程有解，并設(shè)X為最小的解。從X推出一個(gè)更小的解Y，從而與X的最小性相矛盾。所以，方程無解[2]。

（六） 橢圓曲線的加密算法

橢圓加密算法（ECC）是一種公鑰加密體制，最初由Koblitz和Miller兩人于1985年提出，其數(shù)學(xué)基礎(chǔ)是利用橢圓曲線上的有理點(diǎn)構(gòu)成Abel加法群上橢圓離散對(duì)數(shù)的計(jì)算困難性。公鑰密碼體制根據(jù)其所依據(jù)的難題一般分為三類：大素?cái)?shù)分解問題類、離散對(duì)數(shù)問題類、橢圓曲線類。有時(shí)也把橢圓曲線類歸為離散對(duì)數(shù)類[5-6]。

在橢圓曲線加密（ECC）中，利用了某種特殊形式的橢圓曲線，即定義在有限域上的橢圓曲線。其方程如下：

y2=x3+ax+b(mod p)

這里p是素?cái)?shù)，a和b為兩個(gè)小于p的非負(fù)整數(shù)，它們滿足：(1)4a3+27b2(mod p)≠0 其中，x,y,a,b∈Fp，則滿足式（2）的點(diǎn)（x,y）和一個(gè)無窮點(diǎn)O就組成了橢圓曲線E。

橢圓曲線離散對(duì)數(shù)問題ECDLP定義如下：給定素?cái)?shù)p和橢圓曲線E，對(duì) Q=kP,在已知P,Q的情況下求出小于p的正整數(shù)k。

三 具體計(jì)算

（一） 求解依據(jù)

找一個(gè)面積為n的有理直角三角形。我們可以把三邊互素的直角三角形的三邊用很簡(jiǎn)單的公式表示出來a=2pq;b=p2-q2;c=p2+q2

這里的 p q 只需要考慮整數(shù)，而*是個(gè)平方數(shù)。

橢圓曲線相交理論：Bezout定理告訴我們， 兩條光滑橢圓曲線相交于9個(gè)點(diǎn)（切點(diǎn)重復(fù)計(jì)算）。 進(jìn)一步，如果有第三條光滑橢圓曲線經(jīng)過其中的8個(gè)交點(diǎn)，那它必定經(jīng)過第九個(gè)點(diǎn)。這是古典代數(shù)幾何中的一個(gè)重要的結(jié)論。歐拉對(duì)此問題也有過考慮[5-6]。

作為推廣，X.諾特（Noether）曾經(jīng)得到了更一般的代數(shù)曲線交點(diǎn)的類似結(jié)論。 這個(gè)問題和代數(shù)曲面上秩2向量叢的半穩(wěn)定性有著深刻的內(nèi)在聯(lián)系。談勝利利用秩2向量叢的Bogomolov不等式， 將此問題推廣到最一般的情形。

橢圓曲線的退化情形：由于橢圓曲線在射影平面中是三次曲線，所以它可以退化為許多特殊的情形：

（1）三條直線；（2）一條直線和一條二次曲線（即圓錐曲線，比如橢圓，雙曲線，拋物線）。

通過同余數(shù)的定義方式與橢圓曲線上相關(guān)計(jì)算的性質(zhì)與結(jié)論，將同余數(shù)的相關(guān)直角三角形的邊長(zhǎng)以橢圓曲線上的有理點(diǎn)坐標(biāo)表示出來并給出相關(guān)正有理點(diǎn)的坐標(biāo)。固定所得點(diǎn)坐標(biāo)分母，通過運(yùn)用數(shù)學(xué)工具編程等方法，在相關(guān)條件的約束下求解符合直角三角形特征的點(diǎn)坐標(biāo)即直角三角形三邊長(zhǎng)度。

根 據(jù)Mordell-Weil theorem與Nagell-Lutz theorem，則存在有理數(shù)x，使得x-aiQ2等價(jià)于存在公差為n的有理數(shù)平方組成的等差數(shù)列,根據(jù)簡(jiǎn)單的勾股定理,這等價(jià)于存在一個(gè)有理邊長(zhǎng)的直角三角形,面積為n。

則我們有如下三個(gè)結(jié)論：

存在公差為n的等差數(shù)列u2,v2,w2,其中u,v,w為有理數(shù)；

存在邊長(zhǎng)為有理數(shù)a,b,c 的直角三角形，面積為n；

在橢圓曲線E(n):y2=x3-n2x能找到一個(gè)有理點(diǎn)，其y坐標(biāo)不為0。

則滿足上述等價(jià)的三個(gè)條件之一的n稱為同余數(shù)。

（二） 同余數(shù)驗(yàn)證

驗(yàn)證方法：

首先，我們?cè)O(shè)置四個(gè)變量： n, a, b, v

根據(jù)整同余數(shù)的相關(guān)結(jié)論，若n為一個(gè)同余數(shù)，則此四個(gè)變量應(yīng)符合以下關(guān)系[1]：

(1).(a,b) = 1

(2).a,b一奇數(shù)一偶數(shù)

(3).a,b為正整數(shù)并且 a ＞ b

(4).a,b,n,v 需要滿足nv2=|6a2b2-a4-b4|or4ab(a2b2)

則根據(jù)上述條件進(jìn)行編程計(jì)算，驗(yàn)證部分正整數(shù)n是否為同余數(shù)。

結(jié)果：

5是同余數(shù)，所對(duì)應(yīng)數(shù)值為a=5,b=4,v=12

7為同余數(shù),所數(shù)值為a=2,b=1,v=1

13為同余數(shù),所數(shù)值為a=772,b=195,v=8652

14為同余數(shù),所數(shù)值為a=8,b=1,v=12

21為同余數(shù),所對(duì)應(yīng)數(shù)值為a=4,b=3,v=4

22為同余數(shù),所對(duì)應(yīng)數(shù)值為a=50,b=49,v=210

23為同余數(shù),所對(duì)應(yīng)數(shù)值為a=13,b=6,v=17

通過驗(yàn)證得出5,7,13,14,15,21,2,23為同余數(shù)，進(jìn)而根據(jù)橢圓曲線與同余數(shù)的相關(guān)關(guān)系與橢圓曲線的部分知識(shí)，構(gòu)建以上同余數(shù)所對(duì)應(yīng)的直角三角形并計(jì)算其各邊邊長(zhǎng)。

（三） 直角三角形的構(gòu)建

1.橢圓曲線上的基本算法

2.直角三角形的構(gòu)造

固定分母q，則分子只有有限個(gè)值，根據(jù)編程篩選得出符合條件的有理數(shù)，構(gòu)建直角三角形。

根據(jù)原理編程得出同余數(shù)相關(guān)三角形邊長(zhǎng)結(jié)果：

四 結(jié)語

本文通過同余數(shù)與橢圓曲線相關(guān)知識(shí)，驗(yàn)證了5,7,13,14,21,22,23為同余數(shù)并給出了相關(guān)直角三角形的三邊長(zhǎng)。