張冬菊，馬玉臣

山東大學(xué)化學(xué)與化工學(xué)院，濟(jì)南 250100

1 前言

結(jié)構(gòu)化學(xué)是化學(xué)類各本科專業(yè)的必修課，它是連接基礎(chǔ)化學(xué)和高等化學(xué)的橋梁，課程理論性強(qiáng)、知識點(diǎn)多、內(nèi)容抽象，且涉及較多的數(shù)學(xué)、物理知識，通常是學(xué)生認(rèn)為難度較大的一門課程[1-4]。針對課程特點(diǎn)，改進(jìn)傳統(tǒng)教學(xué)方式，以啟發(fā)式教學(xué)為主導(dǎo)，采用靈活多樣的教學(xué)方法，是提高教學(xué)質(zhì)量的重要策略。

問題式教學(xué)法(Problem-based learning，PBL)[5]是常用的教學(xué)模式之一，它以提出問題、分析問題、解決問題為線索，是融合學(xué)習(xí)與思考為一體、激勵(lì)學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)的一種開放式、互動式教學(xué)方法，已被應(yīng)用到多學(xué)科的教學(xué)中[6]。在結(jié)構(gòu)化學(xué)的教學(xué)中，恰當(dāng)使用問題式教學(xué)法，通過設(shè)計(jì)課堂問題，改變“以講為主，以講居先”的格局，充分調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，引導(dǎo)學(xué)生積極思考、舉一反三，有助于培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，是加深學(xué)生對物質(zhì)結(jié)構(gòu)基本原理的認(rèn)識和理解的重要手段。

本文以“一維勢箱中的粒子”[7]為例，探討基于問題式教學(xué)法的教學(xué)設(shè)計(jì)和實(shí)施。一維勢箱中的粒子是結(jié)構(gòu)化學(xué)課程教學(xué)中用量子力學(xué)方法處理的第一個(gè)模型體系，也是用量子力學(xué)方法討論微觀基本粒子運(yùn)動規(guī)律的一個(gè)最簡單例子。該模型體系有重要實(shí)用價(jià)值，可以近似處理直鏈共軛烯烴體系的π電子運(yùn)動。更為重要的是，通過對模型體系的求解，可以使學(xué)生弄清量子力學(xué)方法處理微觀基本粒子的基本思路；通過對結(jié)果的分析和討論，可以使學(xué)生加深對量子力學(xué)基本概念的理解；通過對比微觀基本粒子和宏觀物體運(yùn)動規(guī)律的區(qū)別與聯(lián)系，可以培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的辯證思維方式和分析問題、解決問題的能力。

本節(jié)用到較多的數(shù)學(xué)知識，包括一階線性常系數(shù)齊次微分方程的求解、指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的變換、e的指數(shù)函數(shù)積分和微分、三角函數(shù)的積分和微分等，以講授為主的傳統(tǒng)教學(xué)方式容易導(dǎo)致學(xué)生產(chǎn)生畏難情緒。另一方面，內(nèi)容知識點(diǎn)較多，包括薛定諤方程求解的基本思路、微觀基本粒子運(yùn)動的基本規(guī)律、力學(xué)量的測量、平均值的計(jì)算等，適宜于用問題教學(xué)法開展理論教學(xué)。

2 問題設(shè)計(jì)

作者基于多年教學(xué)實(shí)踐，根據(jù)教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)，改革傳統(tǒng)教學(xué)方式，對該節(jié)內(nèi)容設(shè)計(jì)了問題式教學(xué)方法，以提出問題、分析問題和解決問題為主線，以學(xué)生為主導(dǎo)，循序漸進(jìn)設(shè)計(jì)以下8個(gè)主要問題，組織學(xué)生主動參與學(xué)習(xí)。

2.1 一維勢箱中粒子的薛定諤方程求解的基本思路

一維勢箱中粒子的薛定諤方程是一個(gè)二階線性齊次常微分方程，其求解過程涉及積分、微分運(yùn)算。提出該問題的目的在于，引導(dǎo)學(xué)生區(qū)分主次，理清求解的基本思路，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)求解結(jié)果，即粒子的能量((1)式)和兩個(gè)指數(shù)函數(shù)形式的復(fù)數(shù)解((2)和(3)式)，引導(dǎo)學(xué)生思考量子數(shù)n為什么不能取零，為什么舍去負(fù)數(shù)。對于方程的具體數(shù)學(xué)處理過程，不做教學(xué)要求，放在課程拓展內(nèi)容，以滿足數(shù)學(xué)基礎(chǔ)較好的學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。

2.2 一維勢箱中粒子波函數(shù)的復(fù)數(shù)解、實(shí)數(shù)解及通解之間的變換關(guān)系

學(xué)生通常對波函數(shù)三種解的形式及其之間的變換關(guān)系感到疑惑和費(fèi)解，設(shè)計(jì)該問題的目的主要是引導(dǎo)學(xué)生理解三種解的來源及其之間變換的邏輯關(guān)系：常微分方程的直接積分求解結(jié)果為兩個(gè)復(fù)數(shù)特解；借助(4)式所示的歐拉變換和狀態(tài)疊加原理，將復(fù)數(shù)形式的特解變換為三角函數(shù)形式的特解，如(5)、(6)式所示；根據(jù)積分微分方程的特點(diǎn)得到(7)式所示的波函數(shù)通解。通過對該問題的討論，一方面有助于啟發(fā)學(xué)生理解薛定諤方程直接求解的過程，另一方面加深學(xué)生對狀態(tài)疊加原理的理解。

2.3 一維勢箱波函數(shù)歸一化常數(shù)的求解

通常學(xué)生對歸一化常數(shù)只取正值表示疑問，設(shè)計(jì)該問題的目的是讓學(xué)生明確波函數(shù)本身沒有物理意義，波函數(shù)模的平方表示粒子出現(xiàn)的幾率密度，正負(fù)號相反的兩個(gè)波函數(shù)對應(yīng)的波函數(shù)模的平方是相同的，表示同一個(gè)狀態(tài)，因此，其歸一化因子只取正值，如(8)-(11)式所示。

2.4 一維勢箱中粒子的薛定諤方程求解結(jié)果的特點(diǎn)

箱中粒子的薛定諤方程是哈密頓算符關(guān)于能量的本征值方程，設(shè)計(jì)該問題旨在引導(dǎo)學(xué)生注意，方程求解的結(jié)果存在如下特點(diǎn)：

(1) 本征值方程求解，同時(shí)得到體系波函數(shù)和粒子能量，與普通的代數(shù)方程不同，告知學(xué)生這是邊界條件限制的結(jié)果，是本征值方程的特點(diǎn)。

(2) 得到的波函數(shù)和能量均是一組解，不是單一解，通過分析求解過程，使學(xué)生認(rèn)識到這是積分微分方程的特點(diǎn)所致。

(3) 本征函數(shù)與本征能量之間一一對應(yīng)，各狀態(tài)的能量均不相等，得出“非簡并態(tài)”的概念。

2.5 關(guān)于波函數(shù)和波函數(shù)模的平方的討論

(1) 讓學(xué)生動手計(jì)算ψ值隨x值的變化，并作圖，強(qiáng)調(diào)波函數(shù)值有正負(fù)，引出波函數(shù)“節(jié)點(diǎn)”的概念，并得出狀態(tài)的節(jié)點(diǎn)數(shù)為n? 1個(gè)。

(2) 引導(dǎo)學(xué)生理解，波函數(shù)即是普通的數(shù)學(xué)函數(shù)，當(dāng)用于描述具有波動性的微觀粒子時(shí)，普通的數(shù)學(xué)函數(shù)就冠名為“波函數(shù)”，它描述粒子的運(yùn)動狀態(tài)又稱“態(tài)函數(shù)”，當(dāng)用于描述原子中單個(gè)電子的運(yùn)動時(shí)，波函數(shù)又稱為原子軌道，當(dāng)用于描述分子中單個(gè)電子的運(yùn)動時(shí)，波函數(shù)就稱為分子軌道。把“函數(shù)-波函數(shù)-態(tài)函數(shù)-原子軌道-分子軌道”等概念有機(jī)串聯(lián)在一起。

(3) 波函數(shù)的模的平方圖像：ψ2均為正值，表示粒子出現(xiàn)在某點(diǎn)出現(xiàn)的幾率密度，粒子在箱內(nèi)出現(xiàn)的幾率為1，強(qiáng)調(diào)歸一化概念。

(4) 啟發(fā)學(xué)生思考：一維勢箱中的粒子有無運(yùn)動軌跡？“軌道”的含義是什么？強(qiáng)調(diào)將波函數(shù)稱為“軌道”，是對微觀粒子運(yùn)動狀態(tài)的一種形象化描述，與宏觀物體的軌道(運(yùn)動軌跡)概念截然不同，微觀粒子的運(yùn)動滿足統(tǒng)計(jì)規(guī)律，無運(yùn)動軌跡。

(5) 波函數(shù)的正交歸一性。讓學(xué)生通過計(jì)算(12)和(13)式所示積分，明確箱中粒子波函數(shù)的正交歸一性((14)式)。

另外，引導(dǎo)學(xué)生思考，能否不做上述積分計(jì)算直接得到波函數(shù)正交歸一性？為什么？引導(dǎo)學(xué)生回顧厄米算符的重要性質(zhì)，屬于不同本征值的本征函數(shù)是相互正交的。這樣不需計(jì)算即可直接得到箱中波函數(shù)正交歸一化的性質(zhì)。

2.6 關(guān)于體系能量的討論

設(shè)計(jì)如下問題：

(1) 能量量子化：箱中粒子的能量是不連續(xù)的，能級與n有關(guān)，引出基態(tài)(n= 1)和激發(fā)態(tài)(n ＞1)的概念，并且體系的基態(tài)能量不為零，與宏觀物體明顯不同。啟發(fā)學(xué)生思考，為什么會有能量量子化的結(jié)果？引導(dǎo)學(xué)生思考邊界條件的限制，是粒子的運(yùn)動“受到束縛”所致，講清“束縛態(tài)”的概念，使學(xué)生明白微觀粒子處在束縛態(tài)，才會有量子化現(xiàn)象，特別強(qiáng)調(diào)“能量量子化”不是微觀粒子的基本屬性。由此進(jìn)一步啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想原子和分子中的電子，電子與原子核電性相反，存在庫倫引力，電子受到原子核的束縛，在核外附近運(yùn)動，類似于箱中粒子的運(yùn)動，因此電子的能級也會出現(xiàn)量子化現(xiàn)象。

(2) 能級差：通過計(jì)算相鄰兩能級的能級差((15)式)，使學(xué)生認(rèn)識到，能級差隨粒子質(zhì)量和箱子長度的增大而減小，宏觀物體能級將連續(xù)變化，進(jìn)而啟發(fā)學(xué)生理解宏觀物體與微觀基本粒子運(yùn)動規(guī)律的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，教育學(xué)生用唯物辯證法的基本思想理解微觀粒子與宏觀物體運(yùn)動規(guī)律的辯證統(tǒng)一，認(rèn)識量變質(zhì)變規(guī)律。

2.7 關(guān)于幾個(gè)重要物理量的測量問題

在求解得到一維勢箱中粒子的波函數(shù)之后，啟發(fā)學(xué)生考慮幾個(gè)重要物理量的測量問題，包括粒子在箱中的位置、動量、動量平方、能量等。通過計(jì)算使學(xué)生認(rèn)識ψn(x)既不是坐標(biāo)算符x的本征態(tài)、也不是動量算符的本征態(tài)，因此，粒子的位置和沿x方向的動量均不具有確定值，無法準(zhǔn)確測量，可通過計(jì)算平均值公式求其平均值。ψn(x)是的本征函數(shù)，粒子的能量和動量平方有確定值，即能量和動量大小有確定值。

特別是關(guān)于粒子的能量，已通過薛定諤方程求解得到，這里啟發(fā)學(xué)生思考，是否可用其他方法得到體系的能量？一方面引導(dǎo)學(xué)生思考，定態(tài)薛定諤方程表明狀態(tài)函數(shù)是能量算符(哈密頓算符，(16)式)的本征函數(shù)，因此可從哈密頓算符本征值的角度得到體系能量，如(17)和(18)式所示：

另一方面，在得到粒子動量平方的表達(dá)式之后((19)式)，通過能量與動量之間的關(guān)系((20)式)，得到粒子的能量：

這樣，用三種不同的方法得到了體系的能量。

通過對這些力學(xué)量測量問題的思考，有助于加深學(xué)生對量子力學(xué)基本假定的理解。

2.8 一維勢箱模型在化學(xué)中的應(yīng)用

將一維勢箱模型應(yīng)用于準(zhǔn)一維直鏈共軛體系，以最簡單的直鏈共軛烯烴(丁二烯)為例，引導(dǎo)學(xué)生考慮如何計(jì)算體系π電子的總能量？引導(dǎo)學(xué)生考慮兩種π鍵模型，定域π鍵和離域π鍵，分別計(jì)算體系4個(gè)π電子的總能量，進(jìn)而引入離域能的概念，使學(xué)生認(rèn)識到離域π鍵使體系得到額外的穩(wěn)定化能，進(jìn)而深刻理解直鏈共軛烯烴單雙鍵鍵長趨于平均化的現(xiàn)象。值得注意的是，要向?qū)W生強(qiáng)調(diào)，用一維勢箱模型描述的π電子能量，是非常粗略的近似，其結(jié)果僅有定性意義，一維勢箱粒子的波函數(shù)與真實(shí)直鏈共軛烯烴的π電子波函數(shù)(分子軌道)從函數(shù)形式上有本質(zhì)差異。

3 結(jié)語

問題式教學(xué)法是國內(nèi)外廣泛認(rèn)可的主動學(xué)習(xí)式教學(xué)模式，對于一維勢箱中的粒子，教學(xué)內(nèi)容豐富、綜合性強(qiáng)，涉及的知識面廣、問題繁多復(fù)雜，采用問題教學(xué)法進(jìn)行課堂教學(xué)是一種有益的教學(xué)改革嘗試。圍繞本征值方程求解及對波函數(shù)和能量的討論，設(shè)計(jì)一系列關(guān)鍵教學(xué)問題，引導(dǎo)學(xué)生探索性分析問題和解決問題，深刻理解一維勢箱粒子薛定諤方程求解的基本思路，加深對量子力學(xué)基本假定、平均值、微觀基本粒子運(yùn)動規(guī)律的認(rèn)識。通過“課堂提問與討論”“問卷調(diào)查”“單元測試”“拓展實(shí)踐”等多環(huán)節(jié)評估，我們發(fā)現(xiàn)，問題式教學(xué)法在“一維勢箱中的粒子”的應(yīng)用，較好地做到了眾多知識點(diǎn)的有機(jī)融合，實(shí)現(xiàn)了知識目標(biāo)、能力目標(biāo)和素質(zhì)目標(biāo)有機(jī)統(tǒng)一,取得了較好的教學(xué)效果。