周安琪1 高 松2 喻 丹34

(1.湖北千里目檢測技術有限公司，湖北 宜昌 443002；2.宜昌市環(huán)境保護監(jiān)測站，湖北 宜昌 443002；3.三峽大學水利與環(huán)境學院，湖北 宜昌 443002；4.水資源安全保障湖北省協(xié)同創(chuàng)新中心，湖北 武漢 4300742)

降雨作為一個區(qū)域主要的水資源補給，是目前水文和氣象研究中非常重要的一個關注項。降雨量的預測能夠為農業(yè)、氣象和水利等多個部門的決策制定提供重要的數據支持和科學依據[1-3]。由于降雨量的多少受到多種氣象因素的綜合影響，表現出較強的隨機性[3]，因此很難利用準確的數值計算方法得到某一時段內的降雨量的值。長期以來，國內外眾多學者針對降雨量的預測方法開展了大量的研究，主要形成了兩大類方法：一類是概率統(tǒng)計的方法，如一元線性回歸預測、馬爾可夫鏈模型、時間序列預測等；另一類是時間序列方法，如自回歸預測，非線性門限自回歸、滑動平均自回歸模型等[4-7]。其中，馬爾可夫鏈模型因其原理簡單、計算方法簡便，且對數據的隨機波動規(guī)律具有一定的適應性，被廣泛應用于降雨量的預測研究中[3-4,8-9]。

馬爾可夫過程是研究隨機過程中事物狀態(tài)以及狀態(tài)之間轉移規(guī)律的理論，基本原理是結合事物當前的狀態(tài)和狀態(tài)轉移概率來預測事物將來的變化趨勢。馬爾可夫過程最基本的特征是“無后效性”(也稱之為“馬氏性”)，即認為事物將來的狀態(tài)只取決于事物當前的狀態(tài)，而與過去的狀態(tài)無關。馬爾可夫鏈是狀態(tài)和時間都離散的一種特殊的馬爾可夫過程，水文要素如降雨、徑流的狀態(tài)序列屬于典型的馬爾可夫鏈，同樣也具有“無后效性”的特征。加權馬爾可夫鏈是在傳統(tǒng)馬爾可夫鏈的基礎上發(fā)展而來的，其基本思想是，對于一列相依的隨機變量，各階自相關系數刻畫了各種滯時的指標值的相關關系的強弱，因此可考慮先分別依其前面若干年的指標值所對應的狀態(tài)對該時段的狀態(tài)進行預測，然后按前面各時段與該時段相依關系的強弱對絕對轉移概率加權求和。即通過各階馬爾可夫鏈轉移概率與相依隨機變量的相關分析，達到充分、合理地利用信息進行預測的目的[9-10]。

目前，關于加權馬爾可夫鏈預測降雨量的研究大多集中在方法的應用上，然而在利用加權馬爾可夫鏈時，階數的選擇會影響各種滯時指標值的權重，從而影響最終的預測結果，現有的研究缺少對不同階數馬爾可夫鏈預測結果的對比分析。因此，本文以湖北省為研究區(qū)，根據中國國家氣象局(China Meteorological Administration，CMA)[11]提供的氣象站點逐日降雨數據，利用不同階數的加權馬爾可夫鏈預測年降雨狀態(tài)，再結合模糊集理論預測對應狀態(tài)下的年降雨量的值，通過對比研究分析加權馬爾可夫的階數對年降雨量預測精度的影響。

1 年降雨量預測方法

1.1 加權馬爾可夫鏈

加權馬爾可夫鏈預測年降雨量狀態(tài)的一般步驟如下：

a.采用均值-均方差分級法對年降雨序列進行分級，計算年降雨序列的樣本均值s，據此建立分級標準，將歷年降雨量劃分為特旱、干旱、平水、偏豐和豐水共5個狀態(tài)。

b.對上一步得到的狀態(tài)序列進行統(tǒng)計計算，得到不同滯時(階數)馬爾可夫鏈的轉移概率矩陣，這些矩陣決定了降雨量狀態(tài)轉移過程的概率法則。

c.進行“馬氏性”檢驗。

d.計算年降雨序列的各階自相關系數rk，計算公式為

(1)

e.對各階自相關系數進行規(guī)范化處理，作為各滯時(階數)的馬爾可夫鏈的權重wk，即

(2)

式中：m為最大的階數。

(3)

則矩陣Pi中最大概率值所隸屬的狀態(tài)即為預測期的預測降雨量狀態(tài)。

1.2 模糊集理論

馬爾可夫鏈采用最大概率隸屬原則來確定預測對象的狀態(tài)，主要存在兩個方面的不足：?只考慮最大概率，忽略了其他概率的影響；?預測結果只能給出預測對象所屬的區(qū)間，而無法確定具體的預測值[9]。因此，吳林川等[3]、張偉[4]、王艷[10]等學者通過引入模糊集理論中的級別特征值來解決以上兩個問題。模糊集理論用于年降雨量預測的基本步驟如下：

a.首先根據預測年份降雨量的5個狀態(tài)概率Pi矩陣，計算各狀態(tài)的模糊數di：

(4)

式中：η為最大概率作用指數，值越大越能突出最大概率的主導性，一般取值為2或4。

b.計算級別特征值H：

(5)

c.降雨量的預測x值為

(6)

式中：i為預測Pi最大概率對應的狀態(tài)；Ti和Bi分別為該狀態(tài)的上、下限。

2 實例研究

2.1 研究區(qū)概況

本文以湖北省為研究區(qū)，見圖 1。湖北省位于我國內陸腹地長江中游地區(qū)，總面積18.59萬km2。湖北省處于我國地勢第二級階梯向第三級階梯過渡地帶，地勢西高東低，地貌類型多樣，山地、丘陵崗地和平原兼?zhèn)?，分別占總面積的56%、24%和20%。湖北省地處亞熱帶，位于典型的季風區(qū)內，全省除高山地區(qū)外，大部分為亞熱帶季風性濕潤氣候，年平均氣溫為15～17℃。年平均降雨量在800～1600mm之間，降雨空間分布呈由南向北遞減的趨勢，降雨量表現出明顯的年內季節(jié)性變化，一般夏季雨量較多，約為300～700mm，冬季雨量較少，約為30～190mm。本研究的日降雨數據來自中國氣象數據網，研究區(qū)共包含27個氣象站點，由此得到1971—2018年各站的年降雨序列。

圖1 研究區(qū)湖北省概況

2.2 單站點年降雨量預測結果

表1 氣象站點57251實測年降雨量

表2 氣象站點57251年降雨狀態(tài)劃分標準

再統(tǒng)計該站點1～5階的狀態(tài)轉移概率矩陣，分別表示為P(1)、P(2)、P(3)、P(4)和P(5)：

(7)

該氣象站點年降雨量序列的1～5滯時的自相關系數為rk=[0.12,-0.08,0.04,-0.15,-0.07]，根據式(2)計算得到1～5滯時的馬爾可夫鏈權重，見表3。

表3 氣象站點57251年降雨序列1～5滯時的馬爾可夫權重

根據式(3)可得不同階數的加權馬爾可夫鏈預測的2018年降雨量狀態(tài)概率矩陣，見表4。由表4可以看出，對于氣象站點57251，不同階數馬爾可夫鏈預測的2018年降雨量均是在狀態(tài)3(平水)的概率最大，說明對于該氣象站點而言，階數對加權馬爾可夫鏈預測的年降雨狀態(tài)影響不大。

表4 氣象站點57251不同階數加權馬爾可夫鏈預測2018年降雨量的狀態(tài)概率結果

結合表4中的結果和式(4)～式(6)，可得預測的2018年降雨量的具體值，見表5。雖然不同階數馬爾可夫鏈預測的年降雨量狀態(tài)相同，但經模糊集理論預測出的年降雨量的值是不同的，這說明除了最大概率占主導地位之外，其他狀態(tài)概率對年降雨量值預測的影響也不容忽視。根據表5中的誤差統(tǒng)計結果可以看出，隨著加權馬爾可夫鏈階數的增加，預測的年降雨量的相對誤差也逐漸增大。

表5 氣象站點57251基于模糊集理論預測的2018年降水量值

2.3 加權馬爾可夫階數對站點年降雨量預測精度的影響

對研究區(qū)內27個氣象站點均采用上述的多階數加權馬爾可夫鏈結合模糊集理論方法進行降雨量預測。首先統(tǒng)計馬爾可夫鏈預測的2018年降雨量狀態(tài)結果，同時與2018年實測年降雨量狀態(tài)進行對比，見圖2。由圖2(a)可以看出，當采用一階加權馬爾可夫鏈(即傳統(tǒng)馬爾可夫鏈)進行預測時，部分氣象站點預測的年降雨量狀態(tài)不唯一，給最終降雨量的數值預測帶來了一定的難度。由圖2(b)可以看出，二至五階的加權馬爾可夫鏈預測的各站點年降雨量狀態(tài)結果相同且具有唯一性，能夠有效避免一階預測中出現的預測狀態(tài)不唯一的問題。若降雨量的預測狀態(tài)和實測狀態(tài)完全吻合，則計為1；若降雨量預測的多個狀態(tài)之一與實測狀態(tài)吻合，則計為1/預測狀態(tài)個數；若降雨量預測的狀態(tài)全都不與實測狀態(tài)吻合，則計為0。統(tǒng)計27個氣象站點年降雨量狀態(tài)預測的準確程度，計算可得一階加權馬爾可夫鏈預測的準確率為38.70%，二至五階預測的準確率為48.15%。由此可得，多階馬爾可夫鏈預測年降雨量狀態(tài)的準確性要明顯高于一階，這也充分說明了多階馬爾可夫鏈能夠有效利用年降雨序列的自相關性，從而提高預測精度。

圖2 不同階數的加權馬爾可夫鏈預測2018年降雨量狀態(tài)結果

由于一階預測的降雨量狀態(tài)不唯一，無法根據模糊集理論確定具體的降雨量值。因此，只統(tǒng)計研究區(qū)27個氣象站點多階數情況下模糊集理論預測的年降雨量數值的相對誤差，箱線圖結果見圖3。由圖3可以看出，二階、三階和四階預測的相對誤差比較接近，約在-30%～40%之間；當階數為五階時，年降水量預測的相對誤差最小，除個別極大極小值之外，其余氣象站點預測的相對誤差在-10%～25%之間，根據箱線圖的上下四分位數可以看出有超過一半的氣象站點降雨量相對誤差在0～20%之間。因此，從研究區(qū)所有氣象站點綜合來看，五階加權馬爾可夫鏈能夠保證更多的氣象站點預測的降雨量結果精度較高。這說明隨著馬爾可夫階數的增加，降雨序列各種滯時狀態(tài)間的相關關系(即rk和wk)以及前面若干年份降雨量狀態(tài)對目標年份降雨量狀態(tài)的影響被充分、合理地利用，有助于提高降雨量的預測精度。然而，根據單站點57251的預測結果(見表5)來看，隨著馬爾可夫階數的增加，該站點的預測精度卻逐漸降低，這說明馬爾可夫的階數并不是影響降雨量預測精度的唯一因素。

圖3 不同階數下研究區(qū)氣象站點預測年降雨量相對誤差箱線圖

2.4 加權馬爾可夫階數對空間降雨量預測精度的影響

采用克里金(Kriging)方法將不同階數預測情況下27個氣象站點的年降雨量插值到研究區(qū)空間上，并與2018年站點實測降雨量的克里金插值結果進行比較，根據式(8)計算空間年降雨量相對誤差，相對誤差空間分布見圖4。由圖4可以看出，整體上年降雨量高估的區(qū)域比低估的區(qū)域普遍要大，且高估的程度也比低估的程度要大。不同階數預測的年降雨量相對誤差呈現出明顯的空間分布趨勢，年降雨量的預測值在研究區(qū)東部和東北部比實測值要高，而在南部和西南部比實測值要低。在年降雨量的空間表達上，二至四階預測的空間年降雨量都出現了較大區(qū)域的過高和過低估計，五階預測的年降雨量空間分布與實測情況之間的誤差最小。

(8)

式中：Psim為預測的降雨量，mm；Pobs為實測的降雨量，mm；e為相對誤差，%。

圖4 不同階數預測年降雨量空間差值的相對誤差

為了研究年降雨量空間預測相對誤差的影響因素，從氣象和地形兩個方面考慮，分別選擇了多年平均降雨量和高程作為影響因子。由于預測的年降雨量相對誤差有正有負，故分為負相對誤差和正相對誤差兩種情況，繪制各階數預測的年降雨量空間相對誤差與多年平均降雨量、DEM的散點關系圖，見圖5，同時統(tǒng)計空間相關系數，見表6。由圖5、表6可以看出，除二階預測的正相對誤差與多年平均降雨量之間的相關性沒有通過顯著性檢驗之外，不論是各階數預測的負相對誤差還是正相對誤差，都與研究區(qū)多年平均降雨量呈現負相關，相關系數范圍在-0.83～-0.21。多年平均降雨量的大或小表征著區(qū)域所處位置降水的豐或枯。由此可以推斷，區(qū)域自身降水的豐或枯對多階加權馬爾可夫鏈預測結果偏離實測值的影響是不一致的，表現為多年平均降雨量越大，負相對誤差的數值越小、越偏離0，說明過低估計的程度越大、預測精度越差，而此時正相對誤差的數值越小、越接近0，說明過高估計的程度越小、預測精度越好。綜合來看，研究區(qū)過高估計區(qū)域以及程度都比過低估計的要大，從空間整體的預測精度來說，在多年平均降雨量較大(即降水充沛)的區(qū)域進行空間降雨量的預測能夠獲得更高的預測精度。各階數的預測結果中，五階預測的年降雨量空間相對誤差與多年平均量的相關關系最強，多年平均降雨量與負相對誤差的相關系數為-0.80，與正相對誤差的相關系數為-0.83。結合圖4中得出的五階預測的空間年降雨量精度最高這一結論，多年平均降雨量相關系數高又進一步說明了多年平均降雨量對加權馬爾可夫鏈預測精度的顯著影響。相比之下，高程與預測的降雨量正、負相對誤差之間的相關關系較弱，說明高程對加權馬爾可夫鏈預測精度的影響較弱。

圖5 不同階數預測的年降雨量相對誤差與實測降雨量、高程空間散點關系

表6 不同階數預測的年降雨量相對誤差與實測降雨、高程的空間相關系數

3 結 語

本文采用加權馬爾可夫鏈結合模糊集理論的方法對湖北省27個氣象站的年降雨量進行預測，研究了不同階數的選擇對年降雨量預測精度的影響。研究結果表明：一階馬爾可夫鏈預測的年降雨量狀態(tài)易出現不唯一的情況，從而無法預測出具體的降雨數值，而多階加權馬爾可夫鏈預測的年降雨量狀態(tài)則比較穩(wěn)定且一致，年降雨量狀態(tài)預測的準確性也更高；二至四階預測的年降雨量數值的相對誤差范圍比較接近，當階數增加到五階時，能夠保證更多的氣象站點的預測結果落在更小的誤差范圍內，因此降雨量值的預測精度最高。此外，從年降雨量相對誤差的空間分布來看，不同階數情況下空間趨勢較為一致，均表現為研究區(qū)東部和東北部高于實測值、南部和西南部低于實測值。在年降雨量的空間表達上，五階的預測結果 與實測的年降雨量空間分布之間的誤差最小。相關分析顯示，多年平均降雨量是影響年降雨量空間預測精度的主要因素，雨量充沛的區(qū)域其降雨預測的精度更高。本文的研究結果驗證了多階加權馬爾可夫鏈結合模糊集理論方法在研究區(qū)年降雨量狀態(tài)以及數值預測的適用性，為研究區(qū)年降雨量預測提供了科學的方法。然而對于部分氣象站點預測誤差較大的情況，在未來的研究中可以通過改進降雨數據序列分級、增加降雨數據樣本和改進模型等方法，獲得更加精確的預測結果。