姚富霞

(延邊大學(xué) 理學(xué)院， 吉林 延吉 133002)

0 引言

本文考慮具有如下初邊值問(wèn)題的Korteweg-de Vries-Burgers (KdVB)方程：

ut+εuux-νuxx+μuxxx=0,x∈Ω, 0≤t≤T;

(1)

u(0,t)=u(L,t)=0,x∈Ω, 0≤t≤T;

(2)

ux(0,t)=ux(L,t)=0,x∈Ω, 0≤t≤T;

(3)

u(x,0)=u0(x),x∈Ω.

(4)

其中Ω=[0,L],ε、ν、μ為正數(shù)，x是空間變量，t表示時(shí)間變量.

KdVB方程是一類(lèi)同時(shí)包含阻尼和色散的非線(xiàn)性系統(tǒng)方程[1]，因其在物理學(xué)和數(shù)學(xué)中具有廣泛的應(yīng)用，因此受到學(xué)者的關(guān)注.1970年， Johnson首次研究了KdVB方程在相平面上的行波解，并給出了解的漸近展開(kāi)式[2].1985年， Bona等證明了KdVB方程有界行波解的存在唯一性[3].隨后一些學(xué)者利用有限元[4]、tanh方法[5]、指數(shù)有理函數(shù)法[6]和有限差分格式[7]等方法求解了KdVB方程的數(shù)值解.

Crank-Nicolson差分法因具有無(wú)條件穩(wěn)定性和二階隱式的差分格式，因此近年來(lái)被廣泛地應(yīng)用于偏微分方程的數(shù)值計(jì)算中.在文獻(xiàn)[8]中，作者采用Crank-Nicolson差分格式求解了Kdv淺水波方程的定解問(wèn)題，并從理論上分析了定解問(wèn)題的截?cái)嗾`差、穩(wěn)定性和收斂性，同時(shí)通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了Crank-Nicolson差分格式的有效性.在文獻(xiàn)[9]中，作者建立了一種兼具穩(wěn)定性和并行性的交替分段Crank-Nicolson格式，并通過(guò)理論分析得到了此差分格式解的存在唯一性、穩(wěn)定性和收斂性.在文獻(xiàn)[8-9]研究的基礎(chǔ)上，本文利用Crank-Nicolson差分法對(duì)KdVB方程和KdVB方程降維模型的時(shí)間變量進(jìn)行離散，并分別給出KdVB方程和KdVB方程降維模型的H1誤差估計(jì).

1 準(zhǔn)備工作

(5)

(6)

設(shè)M∈N+為正整數(shù)， {Τh}h >0為空間變量的網(wǎng)格，h=L/M為網(wǎng)格尺寸.記網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)為xj=jh,j=0,1,…,M.記子區(qū)間為Ij=[xj,xj +1],j=0,1,…,M-1.設(shè)Pr(I)為區(qū)間I上次數(shù)不大于r∈N+的多項(xiàng)式空間.為了求方程(1)—(4)的近似解uh， 定義Sh(Ω)為:

(7)

(8)

為了誤差估計(jì)，在Sh(Ω)上引入Ritz投影Ph， 使得對(duì)于v∈H1(Ω)， 有:

((Phv)x,χx)=(vx,χx), ?χ∈Sh(Ω).

(9)

引入以下3個(gè)引理，證明過(guò)程可參考文獻(xiàn)[10-11].

引理1在式(9)的條件下，當(dāng)v,vt∈Hk(Ω),k>r，Phv∈Sh(Ω)時(shí)，下列不等式成立：

(10)

(11)

2 全離散的Crank-Nicolson有限元解的誤差估計(jì)

(12)

(13)

將誤差en分解為如下形式：

(14)

(15)

其中C是與h和k無(wú)關(guān)的常數(shù).

證明因已知ξn的估計(jì)值，因此可以用ξn來(lái)估計(jì)ηn.用式(12)減去式(13)可得如下等式：

(16)

(17)

再利用Young不等式和引理2可得：

(18)

整理上式可得如下不等式：

(19)

將上式從n=1到N求和可得：

選擇適當(dāng)?shù)膋使(1-Ck)≥0， 則有：

(20)

3 基于POD方法的Crank-Nicolson有限元解的誤差估計(jì)

引理4[13]若un∈Hr +1(Ω)和Pdun∈Sd(Ω)， 則有如下不等式：

(21)

在式(6)中，若v∈Sd(Ω)， 則可得：

(22)

(23)

將誤差en分解為如下形式：

(24)

其中C是與h和k無(wú)關(guān)的常數(shù).

證明用式(22)減去式(23)得到如下等式:

(25)

再利用Young不等式和引理2可得：

(26)

對(duì)式(26)進(jìn)行整理可得如下不等式：

將上式從n=1到N求和可得：

選擇合適的k使1-Ck≥0， 則有：

(27)