張寶玖， 樸光日

(延邊大學(xué) 理學(xué)院, 吉林 延吉 133002)

0 引言

本文考慮具有如下初邊值問題的單向水波傳播的高階方程：

(1)

近年來，許多學(xué)者研究了非線性偏微分方程的解析和數(shù)值問題，并且給出了相對應(yīng)的模型[1-5].在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[6]分析了擾動(無黏性)Rosenau-KdV-RLW方程；文獻(xiàn)[7]采用三階隱式有限差分法求解了Rosenau-KdV-RLW方程,并對無黏性Rosenau-KdV方程和無黏性Rosenau-RLW方程進行了數(shù)值求解；文獻(xiàn)[8]應(yīng)用有限元法和局部結(jié)構(gòu)保持技術(shù)對無黏性Rosennau-KdV-RLW方程進行了數(shù)值求解.基于上述研究,本文運用POD方法討論了KdV-RLW-Rosenau方程的數(shù)值解問題,并估計了降維模型解與有限元解之間的誤差,最后用數(shù)值實驗驗證了本文結(jié)果的正確性.

1 KdV-RLW-Rosenau方程的全離散格式

(2)

在本研究中假設(shè)u在時間t上是足夠光滑的,C表示一個與階數(shù)h和k無關(guān)的常數(shù),且在不同的情況下C有不同的值.

Xh={v∈C1(Ω),v|Ji∈P2(Ji),i=1,…,I,v|?Ω=0,v′|?Ω=0}.

其中P2(Ji)為Ji上的多項式集合,且其次數(shù)小于等于2.由此可知該有限元空間滿足文獻(xiàn)[10]中的逼近理論.

引理1[9]當(dāng)v∈H4(Ω)∩X, 并且χ∈Xh時,存在一個與h無關(guān)的常數(shù)C使得

定義式(2)的半離散Galerkin逼近為：函數(shù)uh:[0,T]→Xh, 使得

(3)

式(3)中uh0是u0的一個適當(dāng)近似值.

(4)

式(4)中uh0∈Xh是u0的適當(dāng)近似值.

2 POD基的構(gòu)造

(5)

構(gòu)造POD方法的目的就是通過求解標(biāo)準(zhǔn)正交基ψj(j=1,2,…,l)使元素Ui(1≤i≤L)與式(5)的d項和之間的均方誤差在平均意義下最小,即通過求解標(biāo)準(zhǔn)正交基ψj(i=1,2,…,l)使得

(6)

滿足

(ψi,ψj)X=δij, 1≤i≤d, 1≤j≤i.

(7)

令Xd=span{ψ1,ψ2,…,ψd}， 且定義Ritz投影Ph:X→Xh(如果Ph是被限制為從Xh到Xd的Ritz投影時，則將Ph記為Pd, 即Ph|Xh=Pd:Xh→Xd和Ph:XXh→XhXd), 則：

((PhU)xx,vh xx)=(Uxx,vh xx),?vh∈Xh.

(8)

引理2對于每個d(1≤d≤l), 投影算子Pd有如下不等式成立：

(9)

(10)

(11)

證明由于文獻(xiàn)[11]已經(jīng)給出不等式(9)和(11)的證明過程，因此在此只證明不等式(10).已知

3 有限元解與降維解之間的誤差估計

根據(jù)空間Xd得到方程(2)的降維格式為：

(12)

證明用方程(4)減去方程(12), 并取χ=vd∈Xd可得：

(13)

(14)

由定理2的假設(shè)并結(jié)合Sobolev不等式可得方程(2)的解和方程(12)的解之間的誤差估計，為：

4 數(shù)值實驗

例1考慮下列KdV-RLW-Rosenau方程：

(15)

其中g(shù)(x,t)=-e12t(12et+7x2et-6x3et+x4et-26xet-2x3+10x4-18x5+14x6-4x7), 精確解為u(x,t)=e-tx2(x-1)2.

表1為方程(15)在t=10時利用方程(4)所得的誤差估計和收斂階.由表1中的數(shù)據(jù)可知，常規(guī)的GFE解的誤差估計受h和k的影響較大.

表1 在t=10時利用方程(4)解方程(15)所得到的解的誤差估計和收斂階

數(shù)值實驗中假設(shè)空間步長h=0.01， 時間步長k=0.05， 由此得到的方程(15)的數(shù)值解見圖1.其中圖1(a)為方程(15)利用方程(4)得到的數(shù)值解，圖1(b)為方程(15)利用方程(12)得到的數(shù)值解.由圖可以看出，兩種方法得到的數(shù)值解幾乎無差別.

圖1 方程(15)的常規(guī)GFE解(a)和POD(8基)GFE解(b)

圖2為t=10,h=0.01,k=0.05,POD基數(shù)不同時POD GFE解和精確解之間的誤差(上部分線段)和常規(guī)的GFE解和精確解之間的誤差(下部分線段).由圖2可以看出，數(shù)值實驗結(jié)果和定理2的結(jié)果一致.再結(jié)合表2易知，計算POD GFE解所需的時間遠(yuǎn)少于計算常規(guī)的GFE解所需的時間.

表2 利用方程(12)解方程(15)所得到的解的誤差估計和收斂速率

圖2 降維模型解和精確解之間的誤差以及常規(guī)的GFE解和精確解之間的誤差