林 瑾

(無錫商業(yè)職業(yè)技術學院，江蘇 無錫 214153)

引 言

機械設計是機械生產的第一步.一部機器質量的優(yōu)劣，首先取決于設計質量，而在機械設計環(huán)節(jié)中工作量最大、最重要的是機械結構設計[1].機械結構設計需要綜合考慮機械產品的工作性能、使用要求、制造成本、材料性能等因素，只有這樣才能在諸多限定條件下設計出最優(yōu)性能的機械.但有些因素之間會產生互相矛盾，比如，工作性能與使用要求、制造成本與材料性能等，因此，設計過程中不能將各方面因素作片面化分析.為了使機械產品性能達到較高水平，必須深入探討每一個設計環(huán)節(jié)，對于復雜、多解的設計方案，需要不斷修改、優(yōu)化和完善，這些都離不開機構分析和機構綜合[2].

機構分析和機構綜合常用的方法有圖解法和解析法.進行傳統(tǒng)設計時，圖解法用得較多，但此方法作圖復雜且精度不高.隨著現(xiàn)代計算機輔助設計和優(yōu)化設計的發(fā)展，解析法的應用越來越廣泛，其可將機構的位置、速度、加速度等問題轉化為數學問題來解決.機構的結構參數、運動參數也可使用數學解析式來進行描述，以便于在機械設計時，進行深入分析，確保設計的科學性[3-4].

解析法設計時，常用矩陣理論作為處理數據的工具，以解決計算工作量過大的難題.應用矩陣作為工具對機構進行解析法分析時，可將機構當作一個質點系，對于機構中的運動副以桿長作為約束條件，建立非線性方程組，從而求解出機構的各點位置，進而可以對速度和加速度進行分析求解[5].

1 運動分析基礎

以平面連桿機構為例，分析機構運動情況，確定機構運動特性.將平面連桿機構用一種特殊的圖形來描述，把機構中的各個構件當做圖形的邊界，運動副當做是圖形的頂點.將機構用圖形來描述后，圖形中的邊界和頂點可以用矩陣來表示，比如，平面圖形中，可以用點的坐標或者向量的坐標作為矩陣的參數值：

利用坐標值可進行平面連桿機構的位移分析，建立位移方程，這是平面連桿機構運動分析的基礎，其涉及非線性方程的計算[6].在位移方程的基礎上對時間求一階導數，可以得到速度方程，求二階導數，可以得到加速度方程，這些都是線性方程.

2 平面四桿機構運動分析

圖1所示是常見的平面四桿機構ABCD，以運動副A所在位置為原點建立直角坐標系，x軸沿著桿AD的方向.根據矩陣在機構中的應用，先用矢量法建立機構的位置方程.

圖1 平面四桿機構

設四根構件的長度分別為l1、l2、l3和l4，構件的方位角度為θ1、θ2、θ3和θ4.桿4沿著x軸的方向，因此θ4=0.四桿件組成封閉的矢量多邊形，矢量和等于零，封閉矢量表達式為：

(1)

以封閉矢量表達式為依據，位置方程的分量形式可寫成：

(2)

從式(2)的x軸和y軸分解向量中，可以求得方位角度的代數式，由此描述各桿件的位置.位置方程可用矩陣形式表示為：

(3)

式(2)閉環(huán)矢量方程分量形式對時間求一階導數，就可得到平面四桿機構的速度方程：

(4)

由式(4)可求解出各從動桿的角速度，從而為機構的運動學分析提供數據支持.

若需要使用計算機來分析機構的速度及加速度情況，可將式(4)用矩陣形式進行描述.為了表述時更加清晰，將機構中原動件桿1的參數置于矩陣等式右側，將從動件桿2和從動桿3的參數置于矩陣左側，矩陣形式如下：

(5)

速度矩陣的表達式可簡寫為：[A][ω]=ω1[B]

(6)

為進一步分析機構的運動情況，可對式(5)繼續(xù)求二階導數，便可以得到如下平面四桿機構的加速度矩陣表達式：

(7)

(8)

采用上述方式，可分析平面四桿機構中某個定點的運動情況，求出該點的位置方程、速度方程和加速度方程，從而計算出該點的速度和運動角度.

3 曲柄連桿機構運動分析

如圖2所示，在往復式內燃機中，曲柄連桿機構是核心的傳動機構，它是內燃機燃燒的場所.曲柄連桿機構可以將燃料燃燒后所產生的熱能轉化為機械能，完成能量轉換.在做功行程中，曲柄連桿機構將活塞的往復運動轉化為曲軸的旋轉運動，對外輸出動力.在進氣、壓縮和排氣行程中，曲柄連桿機構將曲軸的旋轉運動轉化為活塞的往復直線運動，從而實現(xiàn)工作循環(huán).

圖2 曲柄連桿機構

曲柄連桿機構的工作條件十分惡劣，需要承受高溫、化學腐蝕以及周期性變化的沖擊載荷.如果在工作中，曲柄連桿機構出現(xiàn)故障，將會使發(fā)動機其他部件發(fā)生損壞，引發(fā)嚴重的安全事故.因此，曲柄連桿機構的結構設計和材料選用要求相當高，它的結構和性能直接影響發(fā)動機品質的優(yōu)劣[7].

曲柄連桿機構由曲軸、連桿和活塞組成，分為中心式和偏心式兩種.圖3為曲柄連桿機構運動簡圖.圖3(a)機構中心線經過了曲軸的旋轉中心，這是中心式曲柄連桿機構，圖3(b)機構中心與曲軸旋轉中心偏離了一段距離，這是偏心式曲柄連桿機構.

(a)中心式曲柄連桿機構 (b)偏心式曲柄連桿機構 圖3 曲柄連桿機構運動簡圖

進氣行程中，該機構通過曲軸1的勻速轉動，帶動連桿2轉動，從而推動活塞C在移動副約束下，沿著設定的軌跡往復直線運動.用上述矩陣法分析曲柄連桿機構活塞C的運動情況，了解運動的具體行程和速度，可為曲柄連桿機構設計提供重要的參考數據.

3.1 位置分析

在圖3的機構簡圖中，設定曲柄1和連桿2長度分別為l1、l2，對應方位角度為θ1、θ2.活塞運行方向與y軸重合，設定x軸正向為機構運動的起始軸線，機構轉動的正方向為逆時針方向.

下文以偏心式曲柄連桿機構為例，描述進氣行程中機構運動情況.由于偏心式曲柄連桿機構的內燃機中心線和曲軸的中心線不重合，故設定偏心距為e.

將偏心式曲柄連桿機構應用ABCO封閉圖形來分析(O為C點在x軸上的投影)，封閉圖形用矢量表達式可描述為：

(9)

若AO沿著x軸正方向，OC沿著y軸正方向，由圖形封閉性可得到該機構的位置方程為：

(10)

在式(10)中l(wèi)AO和1、2桿的桿長均為固定值，由兩個方程式可求得活塞C的運動軌跡和從動桿2的方位角.

3.2 速度分析

若需要分析曲柄連桿機構中活塞C的運動速度情況，可對式(10)求時間t的一階導數，得速度方程如下：

(11)

進氣行程中，曲柄1為原動件，將其參數置于等式右側，其余從動件參數置于等式左側，得到速度矩陣為：

(12)

由式(12)可得知活塞C的速度，并可求得連桿2的角速度.

3.3 加速度分析

式(12)繼續(xù)對時間t求一階導數，可得加速度矩陣為：

(13)

由式(13)可求得活塞C的加速度，并可求得連桿2的角加速度.

通過以上運動分析，可得到進氣行程中連桿和活塞的運動參數，當需要對做功行程進行運動分析時，可參照以上方法進行推導.由矩陣分析得出的各項參數可為曲柄連桿機構的動力分析及強度校核提供數據支持.

4 曲柄連桿機構運動仿真

隨著軟件技術的發(fā)展，連桿機構的運動學仿真應用越來越普遍.在使用牛頓經典力學完整分析連桿機構的運動情況、建立矢量方程和矩陣后，可以很方便地應用計算機軟件來建立連桿機構的仿真模型，從而對連桿機構的運動和工作情況進行仿真分析，模擬工作情況，預測工作性能.仿真分析可應用于連桿機構的設計階段，可視化的結果有助于提高連桿機構的設計效率.

MATLAB 軟件是一種交互式計算分析軟件，該軟件具有科學計算、程序設計、圖形繪制等多種功能.利用該軟件強大的矩陣運算分析功能，可在眾多的數據中獲取最優(yōu)結果，輕松完成連桿機構的仿真分析過程，并有效提高連桿機構的設計水平和質量.

將上述曲柄連桿機構的矢量方程和矩陣用MATLAB 的計算工具來求值，結合其可視化手段，將計算值擬合成曲線，可得到曲柄連桿機構的運動仿真軌跡.

選取某一型號發(fā)動機參數如下：曲軸半徑l1=57.5 mm，連桿長度l2=210 mm，活塞高度h=32.5 mm，曲軸偏移e=13 mm.

假定機架為參考系，曲柄與x軸重合，活塞行程設為s.非線性超越方程組如下：

(14)

根據式(14)創(chuàng)建函數crankshaft，其格式如下：

function t=crankshaft(th,th1,L1,L2,e)

t=[L1*cos(th1)+L2*cos(th(1))-e;L1*sin(th1)+L2*sin(th(1))-th(2)];

在MATLAB中應用軟件自帶的fsolve函數，調用上述crankshaft函數，可求解出連桿2對應方位角度θ2和活塞行程s，這部分運行程序如下：

th23(m,:)=fsolve('crankshaft',[1 1],options,th1(m),L1,L2,e)];

為了直觀顯示出相關參數，可利用MATLAB中plot命令來繪制連桿2運動仿真圖形，繪圖的程序如下：

plot([x;xx],[y;yy],'k',[0 L1],[0 0],'k--^',x,y,'ko',xx,yy,'ks')];

在上述程序完全運行后，繪制出連桿的運動仿真位置，如圖4所示.從圖4中可清楚了解連桿的運行路徑，為運動過程分析提供基礎數據.

圖4 連桿仿真位置

根據式(12)，可利用上述fsolve函數以及inv函數、plot命令繪制θ2和s的仿真曲線圖，直觀描述曲軸勻速轉動時，連桿2對應方位角度θ2以及活塞行程s的變化情況，主要程序指令如下：

plot(th1,th23(:,1));

axis([0 2*pi 0 0.94*pi]);

w1=250;

for i=1:length(th1);

A=[-L2*sin(th23(i,1)) 0;-L2*cos(th23(i,1)) 1];

B=[w1*L1*sin(th1); w1*L1*cos(th1)];

w=inv(A)*B;

繪制出曲柄連桿機構中連桿的角位移仿真曲線圖和活塞位移仿真曲線圖，如圖5和圖6所示.

圖5 連桿角位移仿真曲線圖

圖6 活塞位移仿真曲線圖

5 結論

矩陣可以表達構件的坐標位置，還可用于描述位移、速度、加速度等參數的變化情況.文中利用矩陣分析內燃機中曲柄連桿機構的運動學規(guī)律，先建立機構矢量方程，再通過矩陣獲取活塞、連桿的位移、速度、加速度等運動參數，最后可將矢量方程和矩陣用計算機軟件進行運動模擬，將機構的運動分析過程可視化，使設計結果更為直觀.

實例分析表明，在曲柄連桿機構設計研究中，應用矩陣進行分析和運算，可以很方便地獲取該機構的各種屬性，分析過程簡單易懂，同時，也使曲柄連桿機構的設計過程更為精確、可靠.在此基礎上，利用計算軟件輔助設計曲柄連桿機構，充分發(fā)揮了計算機強大的運算能力，提高了機械設計的質量和效率[8].當然，在對連桿機構以外的其他類型機構進行運動分析時，亦可引入合理的矩陣來描述連桿機構的內部信息.