譚俊鍵,楊 敏
(西華師范大學 數學與信息學院,四川 南充 637000)
本文重新定義了平面調和映射的Schwarz導數和對數導數,并對新定義下的Schwarz導數和對數導數的范數進行了研究。解析函數的Schwarz導數和對數導數的范數與單葉性有密切的聯系。1932年,Kraus[1]證明了局部單葉解析函數在單位圓盤上單葉的必要條件。1949年,Nehari[2]不僅通過面積定理也證明了Kraus[1]的結果,還證明了解析函數在單位圓盤上單葉的充分條件。1979年,對于解析函數在單位圓盤上單葉的充分條件,Nehari[3]給出了一般化的結果。1984,Clunie和Sheil-Small[4]證明了一個關于解析函數單調性的定理,該定理在研究平面調和映射的Schwarz導數的范數方面有著很重要的應用。隨后,Chuaqui等[5-7]對解析函數的Schwarz導數和對數導數及其范數進行了更廣泛而深入的研究。
設φ是單位圓Δ內的局部單葉解析函數。它的對數導數φ和Schwarz導數φ定義為:
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
其中λ=|h′|+|g′|。
(9)
因為
從而
(10)
同理可得
(11)
又因為
ωh′=g′,g″=ω′h′+ωh″
(12)
所以根據(10)~(12)式得到
將此代入(9)式,得到
(13)
又因為
(14)
根據(5)、(13)和(14)式可得
(15)
其中Pf即為對數導數的定義。
此時令ω=q2,則
因此
(16)
根據(6)和(15)式可得:
(17)
又因為
(18)
根據(14)式可得
將此代入(18)式可得
(19)
又因為
(20)
根據(6)、(17)、(19)和(20)式可得
Sf=
(21)
其中Sf即為Schwarz導數的新定義。
此時令ω=q2,則
Sf=
(22)
當f是解析函數時q=0,所以Sf=Sh。即符合解析函數的Schwarz導數的定義。
證明由對數導數的新定義(16)式和三角不等式可得
(23)
由Schwarz-pick引理可知,在單位圓內有
(24)
且Pommerenke在文[13]中得到
(25)
將(24)和(25)式代入(23)式得到
(26)
‖Pf‖≤C2<∞
(27)
(28)
經過計算可得
(29)
由(2)式可得
(30)
由(13)式和(21)式可知,當λ=|h′|+t|g′|,t∈[-1,1]時,有
Pf=
(31)
對單位圓盤上任意一個z0,令Pf(z0)=μθ(z0),則有
(32)
‖Sf‖≤6
(33)
證明Sh表示單位圓上的單葉保向調和映射,其中f(0)=h(0)=g(0)=h′(0)-1=0。設f為單位圓上的單葉保向調和映射,則當
(34)
使得φ(0)=z0,且
其中
(35)
因為
S(f1 ° g)=Sf1[g(z)]·(g′)2+Sg
且當f為調和M?bius變換時,Sf=0。所以
S(f1 ° φ)=Sf1[φ(z)]·(φ′(z))2
(36)
當z=0時,根據(34)、(35)和(36)式可得
(37)
因為Sf是M?bius不變的,所以
(38)
又因為z0為單位圓上任意一點,所以
(39)
由文[14]中的定理9可知,若f1∈Sh,f為單葉調和映射,則fR(z)=f(Rz)在單位圓上為單葉凸調和函數。利用(33)式和鏈式法則可得
R2|Sf(0)|=|SfR(0)|≤6
(40)
所以
(41)
由Schwarz導數的新定義(22)式和三角不等式可得
(42)
將(41)、(24)、和(25)式代入(42)式得到
(43)
(44)
再次利用Schwarz導數的新定義(22)式和三角不等式可得
<∞