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        調和映射的Schwarz導數與對數導數的新定義及其范數

        2022-06-10 10:07:46譚俊鍵
        關鍵詞:單葉調和范數

        譚俊鍵,楊 敏

        (西華師范大學 數學與信息學院,四川 南充 637000)

        0 引言

        本文重新定義了平面調和映射的Schwarz導數和對數導數,并對新定義下的Schwarz導數和對數導數的范數進行了研究。解析函數的Schwarz導數和對數導數的范數與單葉性有密切的聯系。1932年,Kraus[1]證明了局部單葉解析函數在單位圓盤上單葉的必要條件。1949年,Nehari[2]不僅通過面積定理也證明了Kraus[1]的結果,還證明了解析函數在單位圓盤上單葉的充分條件。1979年,對于解析函數在單位圓盤上單葉的充分條件,Nehari[3]給出了一般化的結果。1984,Clunie和Sheil-Small[4]證明了一個關于解析函數單調性的定理,該定理在研究平面調和映射的Schwarz導數的范數方面有著很重要的應用。隨后,Chuaqui等[5-7]對解析函數的Schwarz導數和對數導數及其范數進行了更廣泛而深入的研究。

        設φ是單位圓Δ內的局部單葉解析函數。它的對數導數φ和Schwarz導數φ定義為:

        (1)

        (2)

        (3)

        (4)

        (5)

        (6)

        (7)

        (8)

        其中λ=|h′|+|g′|。

        1 對數導數的新定義

        (9)

        因為

        從而

        (10)

        同理可得

        (11)

        又因為

        ωh′=g′,g″=ω′h′+ωh″

        (12)

        所以根據(10)~(12)式得到

        將此代入(9)式,得到

        (13)

        又因為

        (14)

        根據(5)、(13)和(14)式可得

        (15)

        其中Pf即為對數導數的定義。

        此時令ω=q2,則

        因此

        (16)

        2 Schwarz導數的新定義

        根據(6)和(15)式可得:

        (17)

        又因為

        (18)

        根據(14)式可得

        將此代入(18)式可得

        (19)

        又因為

        (20)

        根據(6)、(17)、(19)和(20)式可得

        Sf=

        (21)

        其中Sf即為Schwarz導數的新定義。

        此時令ω=q2,則

        Sf=

        (22)

        當f是解析函數時q=0,所以Sf=Sh。即符合解析函數的Schwarz導數的定義。

        3 新定義下對數導數范數的有界性

        證明由對數導數的新定義(16)式和三角不等式可得

        (23)

        由Schwarz-pick引理可知,在單位圓內有

        (24)

        且Pommerenke在文[13]中得到

        (25)

        將(24)和(25)式代入(23)式得到

        (26)

        ‖Pf‖≤C2<∞

        (27)

        4 新定義下Schwarz導數范數的有界性

        (28)

        經過計算可得

        (29)

        由(2)式可得

        (30)

        由(13)式和(21)式可知,當λ=|h′|+t|g′|,t∈[-1,1]時,有

        Pf=

        (31)

        對單位圓盤上任意一個z0,令Pf(z0)=μθ(z0),則有

        (32)

        ‖Sf‖≤6

        (33)

        證明Sh表示單位圓上的單葉保向調和映射,其中f(0)=h(0)=g(0)=h′(0)-1=0。設f為單位圓上的單葉保向調和映射,則當

        (34)

        使得φ(0)=z0,且

        其中

        (35)

        因為

        S(f1 ° g)=Sf1[g(z)]·(g′)2+Sg

        且當f為調和M?bius變換時,Sf=0。所以

        S(f1 ° φ)=Sf1[φ(z)]·(φ′(z))2

        (36)

        當z=0時,根據(34)、(35)和(36)式可得

        (37)

        因為Sf是M?bius不變的,所以

        (38)

        又因為z0為單位圓上任意一點,所以

        (39)

        由文[14]中的定理9可知,若f1∈Sh,f為單葉調和映射,則fR(z)=f(Rz)在單位圓上為單葉凸調和函數。利用(33)式和鏈式法則可得

        R2|Sf(0)|=|SfR(0)|≤6

        (40)

        所以

        (41)

        由Schwarz導數的新定義(22)式和三角不等式可得

        (42)

        將(41)、(24)、和(25)式代入(42)式得到

        (43)

        (44)

        再次利用Schwarz導數的新定義(22)式和三角不等式可得

        <∞

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