譚俊鍵，楊 敏

(西華師范大學 數學與信息學院，四川 南充 637000)

0 引言

本文重新定義了平面調和映射的Schwarz導數和對數導數，并對新定義下的Schwarz導數和對數導數的范數進行了研究。解析函數的Schwarz導數和對數導數的范數與單葉性有密切的聯系。1932年，Kraus[1]證明了局部單葉解析函數在單位圓盤上單葉的必要條件。1949年，Nehari[2]不僅通過面積定理也證明了Kraus[1]的結果，還證明了解析函數在單位圓盤上單葉的充分條件。1979年，對于解析函數在單位圓盤上單葉的充分條件，Nehari[3]給出了一般化的結果。1984，Clunie和Sheil-Small[4]證明了一個關于解析函數單調性的定理，該定理在研究平面調和映射的Schwarz導數的范數方面有著很重要的應用。隨后，Chuaqui等[5-7]對解析函數的Schwarz導數和對數導數及其范數進行了更廣泛而深入的研究。

設φ是單位圓Δ內的局部單葉解析函數。它的對數導數φ和Schwarz導數φ定義為：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

其中λ=|h′|+|g′|。

1 對數導數的新定義

(9)

因為

從而

(10)

同理可得

(11)

又因為

ωh′=g′，g″=ω′h′+ωh″

(12)

所以根據(10)～(12)式得到

將此代入(9)式，得到

(13)

又因為

(14)

根據(5)、(13)和(14)式可得

(15)

其中Pf即為對數導數的定義。

此時令ω=q2，則

因此

(16)

2 Schwarz導數的新定義

根據(6)和(15)式可得：

(17)

又因為

(18)

根據(14)式可得

將此代入(18)式可得

(19)

又因為

(20)

根據(6)、(17)、(19)和(20)式可得

Sf=

(21)

其中Sf即為Schwarz導數的新定義。

此時令ω=q2，則

Sf=

(22)

當f是解析函數時q=0，所以Sf=Sh。即符合解析函數的Schwarz導數的定義。

3 新定義下對數導數范數的有界性

證明由對數導數的新定義(16)式和三角不等式可得

(23)

由Schwarz-pick引理可知，在單位圓內有

(24)

且Pommerenke在文[13]中得到

(25)

將(24)和(25)式代入(23)式得到

(26)

‖Pf‖≤C2<∞

(27)

4 新定義下Schwarz導數范數的有界性

(28)

經過計算可得

(29)

由(2)式可得

(30)

由(13)式和(21)式可知，當λ=|h′|+t|g′|，t∈[-1,1]時，有

Pf=

(31)

對單位圓盤上任意一個z0，令Pf(z0)=μθ(z0)，則有

(32)

‖Sf‖≤6

(33)

證明Sh表示單位圓上的單葉保向調和映射，其中f(0)=h(0)=g(0)=h′(0)-1=0。設f為單位圓上的單葉保向調和映射，則當

(34)

使得φ(0)=z0，且

其中

(35)

因為

S(f1 ° g)=Sf1[g(z)]·(g′)2+Sg

且當f為調和M?bius變換時，Sf=0。所以

S(f1 ° φ)=Sf1[φ(z)]·(φ′(z))2

(36)

當z=0時，根據(34)、(35)和(36)式可得

(37)

因為Sf是M?bius不變的，所以

(38)

又因為z0為單位圓上任意一點，所以

(39)

由文[14]中的定理9可知，若f1∈Sh，f為單葉調和映射，則fR(z)=f(Rz)在單位圓上為單葉凸調和函數。利用(33)式和鏈式法則可得

R2|Sf(0)|=|SfR(0)|≤6

(40)

所以

(41)

由Schwarz導數的新定義(22)式和三角不等式可得

(42)

將(41)、(24)、和(25)式代入(42)式得到

(43)

(44)

再次利用Schwarz導數的新定義(22)式和三角不等式可得

<∞