亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        圓形或扇形薄板的橫向振動問題(一) 圓心處的邊界條件

        2022-06-10 06:07:24吳崇試
        大學(xué)物理 2022年6期
        關(guān)鍵詞:連續(xù)譜零解有界

        吳崇試

        (北京大學(xué) 物理學(xué)院,北京 100871)

        《大學(xué)物理》等刊物上發(fā)表的一系列文章(見文獻(xiàn)[1-5]),討論了各種形狀薄板的橫振動固有頻率問題.大約3年前,針對扇形薄板的問題,筆者曾經(jīng)提出了質(zhì)疑[6],基本觀點(diǎn)有兩個(gè)方面:第一方面是關(guān)于邊界條件,在扇形的情況下周期條件不適用,同時(shí)圓心處的邊界條件似乎也存在問題.前者應(yīng)該是基本的共識,無需進(jìn)一步闡述,本文將對后者作比較仔細(xì)的分析,并提出圓心處邊界條件的正確提法.第二方面是四階偏微分方程的分離變量問題,這方面的內(nèi)容,留待下一篇文章闡述.

        1 圓形薄板圓心處原有邊界條件的分析

        本文之所以選擇圓形薄板加以討論,原因是這時(shí)可以應(yīng)用周期條件,而且,為了簡單起見,本文還只討論邊界固定情形下的圓形薄板橫向振動問題,這樣,我們可以專注于圓心處邊界條件的正確選取.

        在上述條件下,對于薄板的固有振動模式,本征值問題就是[7]:

        (Δ2-k4)w=0

        (1)

        周期條件w(r,θ)=w(r,θ+2π)

        (2)

        w(r,θ)在圓心r=0處的(自然)邊界條件

        w(r,θ)在圓周r=a上的邊界條件

        因?yàn)閳A周固定,w(r,θ)在圓周r=a上邊界條件的表述形式就是[7]

        w|r=a=0

        (3)

        (4)

        對于圓心處的邊界條件,筆者搜索過相關(guān)文章,發(fā)現(xiàn)大體有兩種形式,一種是像文獻(xiàn)[7]那樣,沒有明確列出,實(shí)際上只是要求

        w|r=0有界

        (5)

        還有像文章[1-5]中那樣,除了上式之外,還要求

        (6)

        但這兩種情況下都沒有給出嚴(yán)格的推導(dǎo),下面我們將嚴(yán)格論證,這樣的邊界條件,并不能得出文章[1-5]或文章[7]中的結(jié)論.

        考慮到周期條件(2)的要求,振動模式應(yīng)該是

        w(r,θ)=Rm(r)cosmθ

        (7)

        w(r,θ)=Rm(r)sinmθ

        (8)

        于是R(r)所滿足的方程就是

        (9)

        如果采用邊界條件(3)—(6),它們也可以分離變量,從而得到

        R(0)有界

        (10)

        R′(0)有界

        (11)

        R(a)=0

        (12)

        R′(a)=0

        (13)

        當(dāng)k≠0時(shí),式(9)的通解是

        Rm(r)=AmJm(kr)+BmNm(kr)+CmIm(kr)+DmKm(kr)

        (14)

        代入邊界條件,原則上就應(yīng)當(dāng)可以求出k,從而進(jìn)一步定出固有振動頻率.

        現(xiàn)在仔細(xì)地分析一下解式(14)在r=0處的行為.因?yàn)镴m(kr)和Im(kr)在全平面解析,所以只需討論一下Nm(kr)和Km(kr)在r=0處的行為.

        1) 當(dāng)m=0時(shí),這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式是

        因此,將它們適當(dāng)組合起來,有

        由于在r=0附近,

        R0(r)=A0J0(kr)+B0V0(kr)+C0I0(kr)

        (15)

        而且邊界條件(11)自然成立.再進(jìn)一步利用邊界條件(12)和(13),我們就得到

        A0J0(ka)+B0V0(ka)+C0I0(ka)=0,

        給定任意k,通過這兩個(gè)方程,總可以求得非零解A0,B0,C0.換言之,此方程組對任意k均成立.這意味著,當(dāng)m=0時(shí)為連續(xù)譜!甚至還可以是復(fù)數(shù)!

        2) 當(dāng)m=1時(shí),可以類似地將N1(kr)和K1(kr)作適當(dāng)?shù)木€性組合,從而得到

        顯然,在r=0附近,有

        我們看到,當(dāng)m=1時(shí),只要求滿足邊界條件(10)或是要求同時(shí)滿足條件(10)、(11),會導(dǎo)致截然不同的結(jié)果:如果只是要求滿足邊界條件(10),則式(14)中的D=2B/π,而B任意,因此會得到與m=0時(shí)相同的結(jié)論;如果再加上式(11)的要求,則有B=D=0,再利用邊界條件(12)和(13),我們就得到

        AJ1(ka)+CI1(ka)=0

        此方程組有非零解的充分必要條件是

        由此即可定出本征值k1i,i=1,2,3,…,相應(yīng)的非零解(固有振動模式)為

        R1(r)=I1(k1ia)J1(k1ir)-J1(k1ia)I1(k1ir)

        3) 當(dāng)m=2時(shí),同樣可以將N2(kr)和K2(kr)作線性組合:

        因?yàn)樵趓=0附近:

        A2J2(ka)+B2V2(ka)+C2N2(ka)=0,

        定出本征值為連續(xù)譜!

        4) 當(dāng)m≥3時(shí),可以作類似的分析.這時(shí),無論將Nm(kr)與Km(kr)作何種組合,均不可能滿足邊界條件(10)[即R(0)有界]的要求,必須有B=D=0,因此式(14)變?yōu)?/p>

        Rm(r)=AJm(kr)+CIm(kr),m=3,4,5,…

        (16)

        的正零點(diǎn),相應(yīng)的固有振動模式為

        Rm(r)=Im(kmia)Jm(kmir)-Jm(kmia)Im(kmir)

        綜上所述,在承認(rèn)本征值問題(1)—(5)或(1)—(6)的前提條件下,可以得出下列結(jié)論:

        1) 單獨(dú)的Nm(kr)、Km(kr)在r=0的確無界,但是它們的線性組合仍然可能有界.

        2) 當(dāng)m=0,2時(shí),只要求R(0)有界,則自動導(dǎo)出R′(0)有界.因此定出的k為連續(xù)譜,甚至可以是任意復(fù)數(shù)值.此結(jié)果令人費(fèi)解,而且可能與實(shí)驗(yàn)事實(shí)不符!

        3) 當(dāng)m=1時(shí),要求R(0)有界或是要求R(0)、R′(0)均有界,將得到不同結(jié)果.前者可以得到離散譜,后者則是連續(xù)譜.

        4) 當(dāng)m≥3時(shí)又出現(xiàn)另外一種現(xiàn)象,即只要R(0)有界一個(gè)條件就足以定出B=D=0,R′(0)有界或R″(0)有界都變成是多余的?

        2 圓心處邊界條件的正確提法

        基于上面的分析,筆者認(rèn)為,根本原因是上面的本征值問題中r=0處邊界條件(6)不正確!

        不妨回憶一下在圓形區(qū)域內(nèi)二維拉普拉斯方程的本征值問題中,也是采用平面極坐標(biāo)系,并且將坐標(biāo)原點(diǎn)置于圓心,這時(shí)在圓心r=0處,應(yīng)該加上有界條件u|r=0有界.受這一事實(shí)的啟發(fā),如果把方程(1)改寫為方程組:

        自然會得想到在r=0處,取代原有的邊界條件(6),正確的邊界條件應(yīng)該是要求

        u|r=0有界

        (17)

        這樣,Rm(r)所滿足的本征值問題就是

        (18)

        Rm(0)有界

        (19)

        (20)

        Rm(a)=0

        (21)

        (22)

        而且k≠0(證明從略).式(18)的通解仍為式(14).因?yàn)镴m(kr)及Im(kr)在全平面解析,這兩個(gè)函數(shù)以及它們的任意階導(dǎo)數(shù)在r=0均有界,所以在討論解式(14)在r=0點(diǎn)是否滿足邊界條件(19)、(20)時(shí),就只需考慮函數(shù)Nm(kr)和Km(kr),注意有

        所以,將解式(14)代入邊界條件(19)、(20)時(shí),就得到

        [BmNm(kr)+DmKm(kr)]r=0有界,

        [BmNm(kr)-DmKm(kr)]r=0有界

        這樣就導(dǎo)致

        從而定出Bm=Dm=0.因此就只需要將

        Rm(r)=AmJm(kr)+CmIm(kr)

        代入邊界條件(21)、(22),給出

        AmJm(ka)+CmIm(ka)=0,

        此方程組有非零解的充分必要條件是

        Rm(r)=Im(kmia)Jm(kmir)-Jm(kmia)Im(kmir)

        以下從略.

        3 討論

        上面分析了圓形薄板橫振動的固有振動頻率問題,發(fā)現(xiàn)圓心r=0處邊界條件的現(xiàn)有提法,會導(dǎo)致固有振動頻率為連續(xù)譜,甚至固有振動頻率還可以取復(fù)數(shù)值.這和既有實(shí)驗(yàn)事實(shí)不相符合.筆者之所以給出了比較詳細(xì)的計(jì)算,無非是因?yàn)楝F(xiàn)有文獻(xiàn)中對此問題并未曾作認(rèn)真而仔細(xì)的分析,甚至以為只要R(0)有界一個(gè)條件就足以排除掉Nm(kr)和Km(kr)兩個(gè)特解.

        針對圓形薄板橫振動問題中有關(guān)圓心處邊界條件提法的欠缺,筆者提出了在圓心r=0處邊界條件的新提法,即式(5)和式(17).這樣的邊界條件,比較完滿地解決了求解圓形薄板橫振動固有振動頻率的問題.當(dāng)然,這一提法是否正確,還有待實(shí)驗(yàn)事實(shí)的檢驗(yàn).但是,至少從理論上說,這一新提法,也可以從變分計(jì)算的角度得到支持.因?yàn)闆Q定固有頻率的本征值問題,從變分法的角度來看,它來自勢能項(xiàng)在給定邊界條件以及約束條件(本征函數(shù)可歸一化)下的條件極值問題,即[7]

        其中D0是薄板的抗彎剛度,ρ和h則是薄板的密度和厚度,而由拉格朗日乘子ω2即可定出固有振動頻率ω.根據(jù)上式,經(jīng)過簡單的計(jì)算,就能導(dǎo)出偏微分方程:

        以及相應(yīng)的邊界條件.計(jì)算中需要用到格林公式,如果采用平面極坐標(biāo)系,還應(yīng)該額外增加一項(xiàng)在原點(diǎn)處的邊界條件:

        因此,最簡單的情形,便應(yīng)當(dāng)要求在原點(diǎn)處

        表面上看來,似乎可以組成4種不同的邊界條件.但第2節(jié)的分析表明

        是不正確的組合,應(yīng)當(dāng)排除.而正確的邊界條件可能只有兩種,即

        本文之所以討論圓形薄板,原因是在這種情形下,可以應(yīng)用周期條件,在圓周上的邊界條件給定的情況下,本征值問題是否有合乎物理預(yù)期的解,就只取決于圓心處邊界條件的提法是否正確.在扇形情況下,就還涉及θ=常數(shù)的兩條半徑上的邊界條件.下一篇文章將討論這種情形.我們將看到,它還與4階偏微分方程的分離變量問題密切相關(guān).

        最后,需要說明,筆者只是從事物理專業(yè)的教學(xué)和科研工作,對于彈性力學(xué)的知識欠缺.以上有關(guān)圓心處邊界條件的提法,純粹是從數(shù)理方程的角度進(jìn)行的,是否合理,這樣的邊界條件相當(dāng)于薄板的何種物理狀態(tài),還需要從彈性力學(xué)專業(yè)的角度考察.歡迎批評指正.

        致謝:作者感謝與楊孔慶教授、宣本金教授及白在橋教授進(jìn)行的有益討論,他們的建議豐富了本文的內(nèi)容.

        猜你喜歡
        連續(xù)譜零解有界
        復(fù)Banach空間的單位球上Bloch-型空間之間的有界的加權(quán)復(fù)合算子
        C4旋轉(zhuǎn)對稱光子晶體平板中的對稱保護(hù)連續(xù)譜束縛態(tài)
        Matlab在判斷平面自治系統(tǒng)零解穩(wěn)定性中的應(yīng)用
        超連續(xù)譜激光光源研究進(jìn)展*
        非線性中立型積分微分方程零解的全局漸近穩(wěn)定性
        一類具低階項(xiàng)和退化強(qiáng)制的橢圓方程的有界弱解
        淺談?wù)?xiàng)有界周期數(shù)列的一些性質(zhì)
        色散平坦?jié)u減光纖中非線性啁啾脈沖的傳輸及超連續(xù)譜的產(chǎn)生
        賓格我旅游動機(jī)及其體驗(yàn)
        關(guān)于非自治系統(tǒng)零解的穩(wěn)定性討論
        精品在线视频在线视频在线视频 | 白白色免费视频一区二区| 麻豆夫妻在线视频观看| 所有视频在线观看免费| 亚洲第一页综合图片自拍| 亚洲精品视频久久| 国产av一区二区三区香蕉| 青青草亚洲视频社区在线播放观看| 久久9精品区-无套内射无码| 爱我久久国产精品| 农村国产毛片一区二区三区女| 亚洲av乱码二区三区涩涩屋| 天堂а√在线最新版中文在线| 亚洲区小说区图片区qvod伊| 一区二区三区四区日韩亚洲| 久久中文字幕人妻淑女| 无码精品久久久久久人妻中字| 亚洲熟妇在线视频观看| 中文字幕色婷婷在线视频| 美女国产毛片a区内射| 免费观看黄网站在线播放| 日产精品一区二区三区| 日本大片一区二区三区| 少妇人妻中文字幕hd| 一二三四在线视频社区3| 在线观看视频日本一区二区三区| 国产精品成人一区二区不卡| 看黄a大片日本真人视频直播| 真实国产乱视频国语| 中文字幕一区二区在线看| 性猛交ⅹxxx富婆视频| 精品久久久无码中文字幕| 国产黄色精品高潮播放| 国产av综合网站不卡| 国产乱子伦农村叉叉叉| 女同中的p是什么意思| 伊人久久亚洲精品中文字幕| 又粗又硬又大又爽免费视频播放 | 少妇太爽了在线观看免费视频| 久久se精品一区精品二区国产| 国产在线视频一区二区三|