張 融,凌 凱

(南京郵電大學(xué)光電工程學(xué)院,江蘇 南京 210000)

0 引言

糾纏態(tài)廣泛應(yīng)用于量子隱形傳態(tài)、量子密鑰分發(fā)等,是量子信息處理過程中的重要資源[1-4],其中最大糾纏態(tài)與部分糾纏態(tài)相比,在完成部分具體信息處理任務(wù)時(shí)具有更高的效率和更好的性能。因此,制備和精確調(diào)控糾纏態(tài)以及最大糾纏態(tài)在量子技術(shù)應(yīng)用中具有重大意義。糾纏通常是描述兩個(gè)及多個(gè)粒子之間的量子關(guān)聯(lián),其定義還可以推廣為單粒子不同自由度之間的量子關(guān)聯(lián),稱之為組合糾纏(Hybrid entanglement)[5]。比如,單光子偏振與空間模式之間的糾纏關(guān)聯(lián)。相比較兩粒子之間的糾纏態(tài),基于單粒子的組合糾纏有助于實(shí)現(xiàn)容錯(cuò)量子計(jì)算、探討量子力學(xué)基本原理,其裝置具有更加簡單的結(jié)構(gòu)和更低的損耗,從而易于實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)[6-9]。

量子行走是經(jīng)典隨機(jī)行走在量子世界的對(duì)應(yīng)模型[10],為實(shí)現(xiàn)量子計(jì)算、量子模擬等提供了很好的平臺(tái)[11,12]。量子行走包括硬幣和行走者兩個(gè)子系統(tǒng),硬幣是二維的量子系統(tǒng),而處于多個(gè)空間格點(diǎn)的行走者是高維系統(tǒng)。每一步演化包含兩個(gè)操作,首先進(jìn)行拋擲硬幣操作,然后進(jìn)行條件行走操作,即:行走者根據(jù)硬幣狀態(tài)在一維分立空間格點(diǎn)上向不同方向行走。量子行走中的條件行走操作是非局域操作,導(dǎo)致硬幣和行走者之間產(chǎn)生糾纏關(guān)聯(lián),行走者可以處于多個(gè)不同的位置態(tài),所以硬幣和行走者之間的糾纏態(tài)是高維量子糾纏態(tài)。與傳統(tǒng)的二維糾纏態(tài)相比,高維糾纏態(tài)能夠存儲(chǔ)更多的信息[13-15]。進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn),硬幣和行走者整個(gè)系統(tǒng)的量子態(tài)可以通過硬幣操作精確調(diào)控[16],從而實(shí)現(xiàn)最大糾纏態(tài)的調(diào)控。

本文探討了基于量子行走實(shí)現(xiàn)硬幣和行走者之間的糾纏關(guān)聯(lián)。在具體物理實(shí)驗(yàn)中,通常用一個(gè)粒子的兩個(gè)自由度分別表示硬幣和行走者,比如,用光子的水平和豎直偏振表示兩個(gè)不同的硬幣態(tài),用光子的位置狀態(tài)表示行走者,因此這種情況下硬幣和行走者之間的糾纏是組合糾纏。在之前的理論和實(shí)驗(yàn)工作中,通過在量子行走中添加隨演化時(shí)間完全隨機(jī)改變的位相無序,可以得到最大糾纏態(tài),但是所需要的演化步數(shù)高達(dá)100步以上才能得到接近最大糾纏的量子態(tài)[17,18]。已有的研究成果表明,量子行走已在多個(gè)物理系統(tǒng)中實(shí)現(xiàn),比如,光學(xué)系統(tǒng)、囚禁離子或原子系統(tǒng)等[19,20]。但是目前物理系統(tǒng)中存在損耗等因素導(dǎo)致行走步數(shù)受限,因此實(shí)際應(yīng)用需要通過較少的演化步數(shù)就能得到最大糾纏態(tài)。本文提出演化奇數(shù)步和較少的偶數(shù)步即可得到最大糾纏態(tài)的方案,此糾纏態(tài)制備方案更有利于在實(shí)際物理系統(tǒng)中的實(shí)現(xiàn)。本方案可以推廣用于制備單光子、單離子等微觀粒子不同自由度之間的糾纏態(tài)。

1 理論模型

量子行走包含量子硬幣和行走者,其中量子硬幣是二維系統(tǒng),硬幣狀態(tài)|0〉(|1〉)表示行走者向左(右)行走。行走者的狀態(tài)是|x〉,x∈Z。每一步的幺正演化是

其中I是作用在行走者上的單位算符。Cx是與位置相關(guān)的硬幣操作,具體表示為

式中:θ∈[0,π/2],φ∈[0,2π]。當(dāng)行走者處于x=0處,相比較其他x≠0的情況多一個(gè)相位因子φ。當(dāng)φ=0時(shí),硬幣操作在所有位置都是相同的。Sx是條件平移算符,具體表示為

它描述的是當(dāng)硬幣狀態(tài)是|0〉(|1〉)時(shí),行走者向相鄰的位置向左(右)移動(dòng)一個(gè)格點(diǎn)。

考慮行走者初始處于原點(diǎn)x=0,量子硬幣處于|0〉和|1〉的任意疊加態(tài),整個(gè)系統(tǒng)初始狀態(tài)是

式中:a(0,0)=cosα,b(0,0)=eiβsinα,其中 α ∈ [0,π/2],β ∈ [0,2π]。經(jīng)過t步演化后,由幺正演化操作(1)式可得到系統(tǒng)的末態(tài)

式中x=-t,-t+2,···,t。根據(jù)歸一化條件,直接得到由硬幣-行走者演化后的末態(tài),可以進(jìn)一步計(jì)算兩者之間的糾纏度。

2 硬幣和行走者之間的糾纏度量

由于初始狀態(tài)(4)式是純態(tài),并且整個(gè)系統(tǒng)的演化過程是幺正的,因此(5)式描述的硬幣-行走者的末態(tài)也是純態(tài)。因此,行走者和硬幣之間的糾纏度可以通過馮·諾伊曼熵(又稱糾纏熵)來度量。糾纏熵的定義可表示為

式中ρc=Trp(|ψ(t)〉〈ψ(t)|)是硬幣的密度矩陣,通過對(duì)行走者空間坐標(biāo)求部分跡得到。E=1表示行走者和硬幣之間處于最大糾纏關(guān)聯(lián);E=0表示兩者處于可分態(tài),完全沒有糾纏關(guān)聯(lián)。(6)式中硬幣密度矩陣可表示為

由(8)式很容易看出,硬幣與行走者之間的糾纏熵不僅與初始狀態(tài)有關(guān),還與整個(gè)系統(tǒng)的演化操作以及演化步數(shù)有關(guān),這一結(jié)論和之前類似工作得出的結(jié)論相符。將具體討論(1)式中演化算符的參數(shù)θ、φ,(4)式中系統(tǒng)初態(tài)系數(shù)α、β,以及演化步數(shù)或者稱為演化時(shí)間t對(duì)糾纏度[如(8)式所示]的影響。

最大糾纏態(tài)的必要不充分條件是硬幣密度矩陣的兩個(gè)對(duì)角矩陣元都是0.5[18]。要滿足這一條件,首先選擇演化操作算符參數(shù)θ=π/4以及系統(tǒng)初態(tài)系數(shù)α=π/4,后續(xù)討論同時(shí)改變?chǔ)群挺恋玫綕M足此條件的情況。固定演化步數(shù)t=50,計(jì)算選取不同的初態(tài)系數(shù)β,即:初態(tài)中|0〉和|1〉有不同的相對(duì)位相值,糾纏度隨系統(tǒng)演化算符參數(shù)φ的變化情況如圖1所示。當(dāng)β=0時(shí),此時(shí)初態(tài)是糾纏度隨φ的變化情況如圖1(a)所示,選取合適的φ能夠?qū)m纏度進(jìn)行優(yōu)化,但是無法得到最大糾纏態(tài)(即糾纏熵為最大值 1)。當(dāng) β = π/4 時(shí),即初態(tài)為時(shí),糾纏度隨φ的變化情況如圖1(b)所示。此時(shí),當(dāng)φ=π/4時(shí),得到的最大糾纏熵E=1,當(dāng)φ=5π/4時(shí),得到接近最大糾纏的量子態(tài)E=0.99。類似地,當(dāng)β =3π/2、初態(tài)是時(shí)得到最大糾纏態(tài),φ=3π/4時(shí)得到糾纏度為0.99的接近最大糾纏的量子關(guān)聯(lián)。

圖1 糾纏度隨硬幣操作位相φ的變化情況,演化操作系數(shù)θ=π/4,初態(tài)系數(shù)α=π/4。(a)β=0;(b)β=π/4;(c)β=3π/2Fig.1 The entanglement entropy as a function of coin operation phase φ with evolution operation coefficient θ= π/4,initial state coefficient α = π/4.(a)β =0;(b)β = π/4;(c)β =3π/2

接下來討論選定硬幣操作系數(shù)θ=π/4和演化步數(shù)t=50,分析初態(tài)以及位相因子φ對(duì)糾纏熵的影響。如圖2所示,黑色實(shí)線對(duì)應(yīng)φ=0、黑色點(diǎn)線對(duì)應(yīng)φ=π/4的情形。先計(jì)算β=0,即:初態(tài)是時(shí)糾纏度隨初態(tài)疊加系數(shù)α的變化情況,如圖2(a)所示。當(dāng)φ=0、α=7π/20,得到接近最大糾纏態(tài)E=0.997,但始終無法得到最大糾纏態(tài)。進(jìn)一步考慮初態(tài)的相對(duì)位相為β=π/2的情形,即:初態(tài)是糾纏度隨α的變化情況如圖2(b)所示。取φ=0時(shí),最大糾纏度為0.867,而取φ=π/4,當(dāng)α=π/4糾纏度得到最大值1,此時(shí)改變?chǔ)量偪梢缘玫郊m纏關(guān)聯(lián)大于0.9的糾纏態(tài)。進(jìn)一步展示糾纏度隨初態(tài)中描述相對(duì)位相的參數(shù)β的變化情況,如圖3所示,此時(shí)θ=π/4,α=π/4,t=50,初態(tài)的形式是圖3(a)中黑色實(shí)線對(duì)應(yīng)φ=0、黑色點(diǎn)線對(duì)應(yīng)φ=π/4的情形;圖3(b)中黑色實(shí)線對(duì)應(yīng)的是φ=π、黑色點(diǎn)線描述的是φ=7π/4的情形。對(duì)于等幾率幅疊加的初態(tài),當(dāng)φ=0時(shí),即:演化操作在所有位置都是相同的操作時(shí),糾纏度隨初態(tài)中相對(duì)相位β變化不大并且無法得到最大糾纏態(tài)。如果在原點(diǎn)處添加位相,φ=π/4,7π/4時(shí),分別選擇β=π/2,3π/2得到最大糾纏態(tài)。

圖2 糾纏度隨初態(tài)系數(shù)α的變化情況,θ=π/4。(a)β=0;(b)β=π/2Fig.2 The entanglement entropy as a function of the initial state coefficient α with θ= π/4.(a) β =0;(b)β = π/2

圖3 糾纏度隨初態(tài)系數(shù)β的變化情況,θ=π/4,α=π/4Fig.3 The entanglement entropy as a function of the initial state coefficient β with θ= π/4,α = π/4

最后計(jì)算糾纏熵隨演化時(shí)間的變化情況,如圖4所示。根據(jù)上述討論,對(duì)于固定步數(shù),θ=π/4、α=π/4是導(dǎo)致硬幣密度矩陣滿足最大糾纏的必要條件。演化操作中參數(shù)φ=0時(shí)如圖4黑色點(diǎn)線和黑色點(diǎn)劃線所示,選擇所有位置的演化操作都相同,糾纏都隨著演化步數(shù)的改變?cè)?.8附近振蕩,但始終無法達(dá)到最大值1。如果在原點(diǎn)處加合適的位相操作因子φ=π/4,再加上合適的初態(tài)β=π/4,除了第2步,糾纏度隨著演化步數(shù)增大而增大并達(dá)到最大糾纏,如圖4黑色實(shí)線所示。而如果選擇不同的初態(tài)β=0,糾纏度隨演化步數(shù)的變化依然是振蕩的,并無法得到最大糾纏態(tài)。

圖4 糾纏度隨演化時(shí)間的變化,θ=π/4,α=π/4Fig.4 The entanglement entropy as a function of evolution time with θ= π/4,α = π/4

3 結(jié)論

綜上所述,量子行走中硬幣和行走者之間的糾纏關(guān)聯(lián)是量子信息處理過程的重要資源。在之前的理論和實(shí)驗(yàn)工作中,為了得到最大糾纏態(tài),需要的演化步數(shù)高達(dá)100步以上才能得到接近最大糾纏的量子態(tài)。之前的實(shí)驗(yàn)都是通過在量子行走中添加隨演化時(shí)間完全隨機(jī)改變的位相,而在所提出隨時(shí)間不變的有序模型中,量子糾纏度與演化操作、初態(tài)以及演化時(shí)間都有關(guān)。分別計(jì)算了糾纏度隨量子行走演化操作系數(shù)、初始狀態(tài)系數(shù)以及演化時(shí)間的變化情況。當(dāng)所有位置演化操作都相同時(shí),改變系統(tǒng)初態(tài)無法得到最大糾纏態(tài)。在原點(diǎn)處添加合適的位相操作,再選擇合適的系統(tǒng)初態(tài),經(jīng)過較少步數(shù)的演化即可得到高維量子糾纏態(tài)。所提出方案為實(shí)驗(yàn)實(shí)現(xiàn)高維糾纏態(tài)調(diào)控提供了簡單可行且更易于實(shí)現(xiàn)的方法。