王形華,陳榮泉,王 清

(1贛南師范大學物理與電子信息學院,江西 贛州 341000;2閩南理工學院土木工程學院,福建 泉州 362799;3九江學院理學院,江西 九江 332005)

0 引言

渦旋光束是一種攜帶軌道角動量的新型光束,在光通信中有獨特的應用價值。2007年,Dai等[1]用分離變量法研究了渦旋光束在強非局域非線性介質(zhì)中傳輸?shù)囊?guī)律,光束會繞傳輸方向旋轉(zhuǎn),光強在徑向的分布呈現(xiàn)單環(huán)或多環(huán)結構。Chen[2]研究了復宗量拉蓋爾-高斯光束在強非局域非線性介質(zhì)中的傳輸。Zhang等[3]用解析法分析得到,在一定條件下共線傳輸?shù)膹妥诹慷蛎?高斯型光束演化為渦旋光束,束寬呈現(xiàn)周期性變化。2013年,Martinez-Castellanos對復宗量渦旋光束的研究中,得到了復宗量分數(shù)階拉蓋爾-高斯光束,會出現(xiàn)渦旋的產(chǎn)生、湮滅和橫切面上運動的現(xiàn)象[4]。2016年,Zhu[5]研究了復宗量渦旋厄米-高斯光束在大氣湍流中的傳播,可以通過減小波長和拓撲電荷或者增大高斯束腰,有效地控制光束的擴散。

復宗量厄米-高斯光束是波動方程在旁軸近似下的近似解析解,是一種參量滿足復數(shù)函數(shù)的光束,相比厄米-高斯光束具有更復雜的光強和相位結構。本文研究(1+2)維復宗量厄米-高斯光束在強非局域過程中的傳輸特性,分析在不同階數(shù)情況下光強、束寬和角動量的變化規(guī)律;并在此基礎上探討渦旋呼吸子在不同傳輸距離上的截面光強和相位圖,研究不同階數(shù)以及傳播距離對該渦旋光束擴展的影響。

1 理論模型

在非局域非線性介質(zhì)中,光束的演化規(guī)律可以由歸一化的非局域非線性薛定諤方程(NNLSE)來描述[6-10],即

式中:ψ 是輸入光束波函數(shù);z是縱向坐標;x和y代表橫向坐標;是誘導的非線性折射率,其中R代表響應函數(shù),這里采用高斯型響應函數(shù),因為它可以比較容易地得到孤子在非局域介質(zhì)中的傳輸規(guī)律

式中σ為特征寬度。復宗量厄米-高斯渦旋光束可以表示為

式中:A是振幅,a是光束寬度,m是階數(shù)。為厄米多項式,且 ξ=x+iy。對于高階孤子,在x和y方向上的光束統(tǒng)計寬度可以定義為

光束橢圓率可以定義為

孤子的功率和軌道角動量OAM[11,12]可以分別表示為

2 數(shù)值模擬結果與分析

為了方便討論,響應函數(shù)特征長度和束寬分別取為σ=20和a=1。采用成熟的分步傅里葉法數(shù)值模擬復宗量厄米-高斯渦旋光束在此強非局域介質(zhì)中的傳播。一般來說,非線性和衍射效應是同時起作用的。如果傳輸步長取得足夠短,則每一步傳輸時可以近似地處理為衍射和非線性分別單獨作用[13],這就是分步傅里葉法。

2.1 復宗量厄米-高斯光束的強度分布與相結構圖

不同階數(shù)情況下,復宗量厄米-高斯光束的強度分布和x、y方向上相應相位結構分別如圖1、2所示。圖1表明,復宗量厄米-高斯光束的強度和相位分布非常復雜,并且隨著階數(shù)而變化產(chǎn)生了一些新穎的傳播特性。光束強度變化如圖1中(a1)、(b1)、(c1)、(d1)所示,其表明當階數(shù)m增大時,光束束寬也相應增大,但是渦旋奇點的個數(shù)與階數(shù)相等;相位結構變化如圖1中(a2)、(b2)、(c2)、(d2)所示。光束傳輸過程中光斑將發(fā)生旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)方向取決于表達式ξ=x+iy中虛部前的符號,虛部前的符號取正時,光斑沿著逆時針方向旋轉(zhuǎn);虛部前的符號取負時,光斑沿著順時針方向旋轉(zhuǎn)。復宗量光束旋轉(zhuǎn)的物理本質(zhì)在于其光束橫向能流分布不均勻[14]。而常規(guī)厄米-高斯光束沒有渦旋相位,并且在傳輸過程中不會旋轉(zhuǎn)。

圖1 復宗量厄米-高斯光束的強度分布[(a1)～(d1)]和相應的相結構[(a2)～(d2)]。選擇參數(shù)為A=1;(a1),(a2)m=1;(b1),(b2)m=2;(c1),(c2)m=3;(d1),(d2)m=4Fig.1 Intensity distributions[(a1)～(d1)]and the corresponding phase structures[(a2)～(d2)]of the complex variable Hermite-Gaussian beams with A=1;(a1),(a2)m=1;(b1),(b2)m=2;(c1),(c2)m=3;(d1),(d2)m=4

由圖2可知,光強分布在x和y軸方向的分布是不一樣的,x軸方向的光強奇異點(光強為0)與階數(shù)m相等,但是y軸方向的光強奇異點與階數(shù)m無關。

圖2 不同階數(shù)的復宗量厄米-高斯光束在x和y方向的歸一化光強分布Fig.2 The normalized intensity distribution for different orders of complex variable Hermite-Gaussian beams in x and y directions

2.2 復宗量厄米-高斯呼吸子

復宗量光束表達式中參數(shù)ξ=x+iy是復數(shù),一般具有渦旋光的性質(zhì)。圖3為二階(m=2)復宗量厄米-高斯光束在非局域介質(zhì)中傳播時光斑結構隨傳播距離的變化。由圖3(a)可知,當光束的輸入功率小于臨界功率(光束束寬不變形成孤子時所對應的功率)時,光束束寬周期性地先擴展后壓縮,傳輸中光束束寬總體大于臨界束寬(孤子的束寬),周期比圖3(b)的大;由圖3(b)可知,當光束的輸入功率等于臨界功率時,光束束寬保持不變,保持穩(wěn)定傳輸;由圖3(c)可知,當光束的輸入功率大于臨界功率時,光束束寬周期性地先壓縮后擴展,傳輸中光束束寬總體小于臨界束寬,周期比圖3(b)的小。圖3(a)、(c)即為復宗量厄米-高斯呼吸子。

圖3 復宗量厄米-高斯光束在非局域介質(zhì)中傳播,選擇參數(shù)為m=2,(a)P0=129000,(b)P0=258000,(c)P0=515000Fig.3 Propagation of the complex variable Hermite-Gaussian breathers in the nonlocal media.Parameters are chosen as m=2,(a)P0=129000,(b)P0=258000,(c)P0=515000

2.3 復宗量厄米-高斯孤子

圖4為不同階數(shù)情況下復宗量厄米-高斯孤子在傳播過程中的光斑結構變化。由圖4可知,隨著階數(shù)m增加,渦旋奇點個數(shù)增多,光束束寬和橢圓率增大,但是臨界功率和旋轉(zhuǎn)周期不變。圖5為一個周期內(nèi)復宗量厄米-高斯孤子的波形輪廓圖。由圖5可知,不同階數(shù)m情況下,光束在傳輸一個周期后的波形與初始波形基本重合,說明光束在傳輸過程中波形可以基本保持不變;當m增大時,光斑中間區(qū)域光強為0的點增多,光強在x軸方向的分布更加復雜。

圖4 非局域介質(zhì)中的復宗量厄米-高斯孤子的傳播,選擇參數(shù)為P0=258000,(a)m=3,(b)m=4,(c)m=5,(d)m=6Fig.4 Propagation of the complex variable Hermite-Gaussian solitons in the nonlocal media.Parameters are chosen as P0=258000,(a)m=3,(b)m=4,(c)m=5,(d)m=6

圖5 入射(z=0,藍線)和傳輸一個周期(z=6.3,粉紅線)處光束波形對比,各參量取值與圖4相同F(xiàn)ig.5 Comparison of beam waveforms at incident(z=0,blue line)and one transmission period(z=6.3,pink line).Values of each parameter are the same as those in Fig.4

圖6為不同階數(shù)情況下復宗量厄米-高斯孤子的相位變化情況。由圖6可知,光束在橫向截面上對應的相位結構類似“花瓣”結構,光束對應的階數(shù)m越多,花瓣越復雜,且花瓣個數(shù)與m相等。在光束傳輸過程中,光束的相位結構穩(wěn)定。

圖6 復宗量厄米-高斯型孤子傳輸一個周期相位變化圖,各參量取值與圖4相同F(xiàn)ig.6 Phase variation diagram of a periodic transmission for complex variable Hermite-Gaussian soliton.Values of each parameter are the same as those in Fig.4

圖7為臨界功率和軌道角動量(OAM)與階數(shù)m變化之間的關系。由圖7可知,在不同階數(shù)m情況下,形成穩(wěn)定的光束渦旋孤子所需要的臨界功率保持不變,而光束的軌道角動量會隨階數(shù)m的增大而增大。光束的軌道角動量也是分析光束信息的一個重要參量,理論上軌道角動量越大也可以使得光束進行更多的信息編碼。當m=0時,復宗量厄米-高斯光束的軌道角動量為0,光束會退化為一般的高斯光束。Li[15]通過增大螺旋相位板的階數(shù)得到近軸渦旋光軌道角動量增大的結果,在這里出現(xiàn)相似的現(xiàn)象。

圖7 復宗量厄米-高斯型孤子的功率和軌道角動量與m的關系Fig.7 The power and OAMs of complex variable Hermite-Gaussian soliton versus m

圖8為x、y方向上的束寬在不同階數(shù)m下的變化情況。由圖8(a)可知,隨著階數(shù)m的增大,y方向的束寬變化明顯大于x方向的束寬;由圖8(b)可知,橢圓率η隨著階數(shù)m的增大而增大。光束在傳輸過程中,橢圓率η增大,兩光斑分得越開,光斑變得更加扁長,顯出更新穎的形狀。

圖8 (a)光束束寬與拓撲荷m的關系;(b)橢圓率η與拓撲荷m的關系Fig.8 (a)Beam width versus m;(b)Ellipticity versus m

2.4 穩(wěn)定性分析

為了更嚴格地驗證孤子的穩(wěn)定性,需要考慮隨機擾動的影響。簡易做法為:給圖4中的孤子在入射時添加一個隨機擾動[16],可表示為A0[T(x,y)+βB(x,y)],A0代表孤子振幅,T(x,y)代表無微擾時的孤子解,B(x,y)是微擾項,β是微擾系數(shù)。一般來說,隨機微擾都較小,因此取β=0.02來進行數(shù)值驗證。圖9為添加噪聲后復宗量厄米-高斯孤子的傳輸變化情況,由圖可見復宗量厄米-高斯型孤子可以在隨機擾動下穩(wěn)定地傳播。

圖9 非局域介質(zhì)中加噪的復宗量厄米-高斯孤立子的演化,各參量取值與圖4相同F(xiàn)ig.9 Evolution of the noise-added complex variable Hermite-Gaussian solitons in nonlocal media.The parameters are chosen as those in Fig.4

3 結論

運用分步傅里葉法模擬了復宗量厄米-高斯光束的傳輸,得到了一系列演化特性圖,由圖可見復宗量厄米-高斯光束具有軌道角動量和獨特的光學渦旋結構。當復宗量厄米-高斯光束階數(shù)m增大時,其橢圓率增大,即y軸方向的展寬大于x軸方向的展寬,使得光斑呈現(xiàn)y軸方向的拉伸;軌道角動量將增大,光學渦旋個數(shù)與階數(shù)相等。光斑在x-y平面作逆時針方向的旋轉(zhuǎn)。這些結果表明階數(shù)越高的復宗量厄米-高斯光束在高斯型強非局域非線性介質(zhì)中傳輸具有越多新穎的特性,可以在傳輸中攜帶更多信息,因此在信號傳輸方面具有潛在應用價值。獨特的渦旋結構則可以應用在光鑷、光學操控等方面。