劉習(xí)堯，常海濤，黃攀峰，黃冰瀟，翟晨萌

(1. 西北工業(yè)大學(xué)航天飛行動力學(xué)技術(shù)重點實驗室，西安 710072；2. 西北工業(yè)大學(xué)智能機器人研究中心，西安 710072)

0 引 言

歐洲航天局(ESA)最近的報告指出，過去60年來，人類進行了約6110次太空發(fā)射任務(wù)，且產(chǎn)生了約29410個有記錄的空間碎片。質(zhì)量越大的碎片，碰撞危害越大，對現(xiàn)存的工作衛(wèi)星的威脅也越大。事實上，在諸多空間碎片中，失效衛(wèi)星和廢棄火箭體等大型碎片的質(zhì)量占空間在軌物體總質(zhì)量的90%以上。主動移除這些大型碎片可以大大降低空間碰撞發(fā)生的可能性。

目前，穩(wěn)定或低速旋轉(zhuǎn)空間碎片的主動移除方法主要有：空間機械臂、空間繩系機器人和空間繩網(wǎng)機器人等。然而，根據(jù)光學(xué)和雷達觀測結(jié)果，非受控三軸穩(wěn)定衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)周期為20～430 s(即最大18 (°)/s)，廢棄運載火箭旋轉(zhuǎn)周期為5～15 s(即最大72 (°)/s)。因此，捕獲并移除這類高速翻滾旋轉(zhuǎn)目標(biāo)前必須有效降低其旋轉(zhuǎn)角速度，即消旋。

針對消旋問題，學(xué)者們提出了多種接觸或非接觸式的消旋方法，如機械脈沖消旋、柔性毛刷消旋、庫侖力消旋、氣體沖擊消旋、渦流消旋等?？紤]到非接觸式消旋中的渦流消旋在安全性和可持續(xù)性等方面的優(yōu)勢，本文主要針對渦流消旋方法開展研究。石永康等詳細闡述了渦流消旋的基本原理及概念，并針對各種典型目標(biāo)進行了渦流消旋動力學(xué)仿真研究，分析了渦流消旋技術(shù)的可行性。Li等提出了一種適用于任意形狀和非均勻磁場的渦流消旋力矩計算方法，并進行了地面實驗驗證。Liu等提出了一種基于永磁體陣列的渦流消旋方式，并在平均半徑假設(shè)下，建立了用于計算渦流消旋力和力矩的理論模型。Xie等采用雙機械臂調(diào)整永磁陣列裝置的轉(zhuǎn)速和姿態(tài)，進行了渦流消旋仿真分析。目前國內(nèi)外空間目標(biāo)渦流消旋的研究主要集中在渦流消旋機理及地面實驗方面，對渦流消旋任務(wù)中制導(dǎo)、導(dǎo)航與控制(Guidance,navigation and control, GNC)系統(tǒng)的研究較少。

渦流消旋任務(wù)的GNC系統(tǒng)需保證任務(wù)周期內(nèi)服務(wù)星不與目標(biāo)發(fā)生碰撞，并調(diào)整星載磁體與目標(biāo)之間的相對位姿以提升消旋效率。針對渦流消旋任務(wù)的GNC系統(tǒng)設(shè)計問題，Gómez等提出了控制模塊以及傳感器模塊的主要要求，并設(shè)計了兩種基本的消旋構(gòu)型(線圈磁偶極子與相對位置矢量平行的平行構(gòu)型(‖)以及兩者垂直的垂直構(gòu)型(⊥))，最終采用最優(yōu)控制方法實現(xiàn)了目標(biāo)的消旋。但為了保證操作過程的安全，文獻[16]采用了較大的相對距離(10 m)，這使得消旋效率大大降低，其仿真結(jié)果表明，消旋任務(wù)執(zhí)行周期約15天。事實上，在垂直構(gòu)型的基礎(chǔ)上，通過設(shè)計抵近的空間消旋期望軌跡及其跟蹤控制器，可以大大縮短消旋時長、提高消旋效率。

綜上，本文面向空間翻滾目標(biāo)的消旋任務(wù)設(shè)計了近距離消旋軌跡及其軌跡跟蹤控制器，其主要研究貢獻在于：基于橢球包絡(luò)法給出了服務(wù)星的機動區(qū)域安全約束，并使用直接線性化方法對安全區(qū)域約束進行了凸化處理，確保了最優(yōu)軌跡跟蹤問題的有限時間可解性；設(shè)計了一種基于垂直消旋構(gòu)型的高效的抵近消旋軌跡，在滿足安全性的條件下有效增強了消旋力矩的作用強度，提高了消旋效率；基于反饋線性化和收縮約束方法，設(shè)計了一種指數(shù)穩(wěn)定的模型預(yù)測控制算法，并嚴(yán)格保證了受約束被控系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

1 問題提出

本文的主要目的是在保證安全的情況下提高渦流消旋的效率。本文的任務(wù)情景與Gómez等一致，即通過一個攜帶超導(dǎo)磁體的服務(wù)衛(wèi)星(簡稱服務(wù)星)抵至目標(biāo)附近，并對目標(biāo)進行消旋，其場景和坐標(biāo)系定義如圖1所示。坐標(biāo)系定義如下：

圖1 任務(wù)場景和坐標(biāo)系定義Fig.1 Task scenario and definition of coordinate frames

此外，為區(qū)分各個空間矢量在不同坐標(biāo)系下的坐標(biāo)表示，對矢量標(biāo)記做如下定義：對于任一矢量,為矢量在坐標(biāo)系下的坐標(biāo)表示；空間矢量在,,系下的坐標(biāo)表示同理。

2 模型和約束

2.1 相對位置動力學(xué)模型

根據(jù)坐標(biāo)系的選擇不同，描述航天器之間相對運動的基準(zhǔn)坐標(biāo)系有許多種，如局部垂直局部地平線(LVLH)系，視線(LOS)坐標(biāo)系，服務(wù)星本體坐標(biāo)系，目標(biāo)本體坐標(biāo)系等?？紤]到消旋作用力和力矩在上述坐標(biāo)系下不便于描述，因此相對位置坐標(biāo)系選為系，此時位置動力學(xué)模型為：

(1)

(2)

(3)

(4)

2.2 姿態(tài)動力學(xué)模型

由于本文中服務(wù)星和目標(biāo)都存在大角度變化，因此采用四元數(shù)描述兩者的姿態(tài)動力學(xué)模型。本體姿態(tài)動力學(xué)模型為

(5)

目標(biāo)姿態(tài)動力學(xué)模型為

(6)

(7)

(8)

式中：是從系到系的方向余弦矩陣。

2.3 安全約束與期望軌跡

橢球包絡(luò)是一種典型的航天器安全約束形式。然而，橢球包絡(luò)安全約束是非凸的，這使得優(yōu)化問題難以求解。因此需對安全約束進行凸化處理，以保證問題有限時間內(nèi)可解。考慮到目標(biāo)是翻滾的，直接線性化的方法更適用于安全約束的凸化。圖2描述了安全約束的構(gòu)造及其直接線性凸化處理。

圖2 安全約束及其凸化處理示意圖Fig.2 Schematic diagram of safety constraints and their convexity processing

(9)

(10)

(11)

(12)

由上文可知，期望軌跡需要滿足兩個條件：① 滿足安全約束的條件；② 保證垂直構(gòu)型的條件。

對于條件 ①，取期望位置為

(13)

式中：=+,為正數(shù)。>保證了期望位置處于安全約束內(nèi)。

(14)

則方向余弦矩陣為

(15)

為了保證控制器跟蹤軌跡的連續(xù)性和簡易性，期望軌跡的高階導(dǎo)數(shù)由下列二階動態(tài)系統(tǒng)計算:

(16)

2.4 狀態(tài)模型和總約束

為了便于控制器的設(shè)計，將軌跡跟蹤問題轉(zhuǎn)化為鎮(zhèn)定問題。

定義狀態(tài)變量為

(17)

式中：

(18)

則可以得到狀態(tài)模型為

(19)

將式(18)代入式(12)中，可得位置誤差的安全約束為

(20)

在整個消旋過程中，除了安全約束外，本文還考慮了如下狀態(tài)的上下界約束：

∈={|≤≤}

(21)

所以總的狀態(tài)約束為

∈=∩

(22)

3 控制器設(shè)計

模型預(yù)測控制(Model predictive control, MPC)是一種滾動求解有限時域最優(yōu)問題的控制算法，能夠顯式地處理約束并確保最優(yōu)性能?？紤]到安全約束和燃料消耗的要求，MPC算法非常適合于消旋任務(wù)。

由于消旋任務(wù)的動力學(xué)模型是非線性的，如果直接使用MPC算法，需要在線求解非線性規(guī)劃問題。這將大大增加算法的計算量，不易實現(xiàn)。因此，有必要對模型進行線性化。目前的線性化方法主要有雅可比線性化和反饋線性化。雅可比線性化在系統(tǒng)軌跡接近平衡點時有效?？紤]到消旋任務(wù)涉及到大范圍機動，反饋線性化方法能提供更好的控制效果。此外，為了保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，收縮約束被用于保證系統(tǒng)的指數(shù)收斂和穩(wěn)定性，同時塊優(yōu)化的策略被用于進一步降低了MPC算法的計算量。本文采用的渦流消旋控制系統(tǒng)框圖如圖3所示。

圖3 渦流消旋控制系統(tǒng)框圖Fig.3 Control framework of eddy current detumbling

3.1 反饋線性化

上述消旋過程的狀態(tài)模型具有相伴形式。對于這種類型的系統(tǒng)，通過下式可直接消除系統(tǒng)的非線性：

(23)

假設(shè)系統(tǒng)姿態(tài)誤差處于小范圍內(nèi)，不妨令=。因此，反饋線性化控制律和實際控制律之間的關(guān)系可化為

=+()

(24)

式中：

(25)

將式(18)代入式(12)后，可得

(26)

式中：

(27)

反饋線性化可以將系統(tǒng)狀態(tài)模型轉(zhuǎn)換為線性模型，但是系統(tǒng)的目標(biāo)函數(shù)、控制約束也會產(chǎn)生相應(yīng)的轉(zhuǎn)換，從而可能變成非線性。因此需對轉(zhuǎn)換后的目標(biāo)函數(shù)、控制約束進行處理。

Primbs等對目標(biāo)函數(shù)的非線性問題進行了討論，給出了二次型目標(biāo)函數(shù)和原始目標(biāo)函數(shù)兩種方式，本文基于計算量的考慮，選擇時刻的目標(biāo)函數(shù)為：

(28)

對于控制約束非線性問題，Simon等提出了兩種處理方法：①整個時域內(nèi)采用全局內(nèi)部近似；②當(dāng)前時刻采用精確約束，未來時刻使用遞推內(nèi)部多面體近似。當(dāng)約束的非線性很強時，第二種方法可以大大提高系統(tǒng)的可行域。然而，第二種方法也使得算法更加復(fù)雜，增加了計算量?？紤]到消旋任務(wù)的實際情況，本文采用了方法1處理控制約束。此時，控制約束集轉(zhuǎn)換為

={|+max∈(,,,)≤≤

+min∈(,,,)}

(29)

式中：和分別為實際控制約束的上下界。

3.2 收縮約束MPC

經(jīng)典MPC算法不能確保系統(tǒng)的穩(wěn)定性。目前，有三種保證MPC算法穩(wěn)定性的途徑：

1)足夠長的預(yù)測時域；

2)終端域和終端懲罰；

3)收縮約束。

顯然使用足夠長的預(yù)測時域?qū)⒃黾佑嬎阖摀?dān)，而終端域和終端懲罰在一般情況下是難以計算的。此外，在消旋任務(wù)中，狀態(tài)約束是時變的，這意味著需要在每個采樣時刻計算終端域，這將大大增加計算負擔(dān)。因此，本文使用收縮約束以保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性。

綜上所述，在時刻的優(yōu)化問題()為：

(30)

初始條件：(),(),()；

控制器參數(shù):,,,,,,；

1)初始化,=0；

2)計算，得到，計算max∈(,,,)和min∈(,,,)，獲得；

5)將控制量()作為時間段∈[,+1]內(nèi)的控制輸入作用到服務(wù)星動力學(xué)模型上；測得(+1),(+1),(+1)；

6)令=+1，返回執(zhí)行步驟1，直到消旋任務(wù)結(jié)束。

3.3 迭代可行性和指數(shù)穩(wěn)定

在消旋任務(wù)中，安全約束隨著目標(biāo)的運動而不斷變化，使得每一時刻的優(yōu)化問題都不同于前一時刻的優(yōu)化問題。因此，本文結(jié)合文獻[28]中的假設(shè)3和文獻[19]中的命題1，給出了如下合理假設(shè)：

需要注意的是，在消旋任務(wù)中，安全約束隨著目標(biāo)的旋轉(zhuǎn)而變化，控制約束也是時變的，這使得每次的優(yōu)化問題都與前一次不同。然而，目前觀測到的大部分失效衛(wèi)星的旋轉(zhuǎn)速度不超過18 (°)/s，這意味著和的變化非常緩慢，可以認為其值在短時間內(nèi)沒有變化，則此時問題()與文獻[28]中的CNTMPC問題是一致的。

存在正實數(shù)∈(0, ∞)，使得對于?∈[,+1],∈,有

因為控制輸入是有界的，且式(26)是線性系統(tǒng)，不存在有限逃逸時間，假設(shè)2是合理的。

(32)

式中:e為自然底數(shù)，則零點的指數(shù)穩(wěn)定的。

假設(shè)系統(tǒng)的初始狀態(tài)()屬于，則FLC-MPC算法是迭代可行的，且閉環(huán)系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。

同理，

(33)

由于0≤<1,<，所以()∈。因此問題()也是可行的，該優(yōu)化問題迭代可行。

由式(33)及假設(shè)2可知

(34)

其中,是正整數(shù)集。又因為e(-1)-≥0，所以

(35)

上述不等式右側(cè)并未直接與相關(guān)?？紤]到

=(-)()≥(-)(), ?∈[,]

(36)

則有

(37)

(38)

因此，閉環(huán)系統(tǒng)是指數(shù)穩(wěn)定的。證畢。

4 仿真校驗

4.1 仿真參數(shù)

本文主要研究對目標(biāo)的消旋任務(wù)，因此，假設(shè)服務(wù)星在初始時刻已經(jīng)抵至目標(biāo)附近。此外，為了對比論證，本次仿真的翻滾目標(biāo)與文獻[16]中的案例1一致，為阿里亞娜-4火箭上面級。該上面級位于高度為700 km、傾角為0°的圓形軌道，其尺寸見文獻[31]，服務(wù)星的質(zhì)量見文獻[32]。本仿真使用的服務(wù)星-目標(biāo)系統(tǒng)的物理參數(shù)如表1所示，且系統(tǒng)初始條件及控制器參數(shù)如表2所示。

在本文的仿真中，預(yù)測時域長度為=5,=01，采樣時間為=01 s，權(quán)重矩陣=和=001，輸入約束為=-=[1,1,1,1,1,1]，狀態(tài)上下界約束為=-，且

=[10,10,10,02,02,02,01,01,

01,01,01,01]

(39)

表1 服務(wù)星和目標(biāo)的物理參數(shù)Table 1 Physical parameters of servicer and target satellite

表2 初始條件及控制器參數(shù)Table 2 Initial conditions and controller parameters

4.2 仿真結(jié)果

整個消旋過程的仿真時長為6 h。MPC問題通過YALMIP工具箱進行求解，仿真結(jié)果如下。

圖4 垂直及平行構(gòu)型下目標(biāo)角速度范數(shù)的變化圖Fig.4 Change diagram of target angular velocity’s norm in perpendicular and parallel configurations

從圖4(a)可以看出，經(jīng)過6 h的消旋后，目標(biāo)的角速度范數(shù)從10 (°)/s衰減到2 (°)/s以下，而相應(yīng)的，文獻[18]用了超過10天時間才達到同樣的效果。這說明了垂直構(gòu)型下的近距離期望消旋軌跡對于提升消旋效率的作用。作為對比，圖4(b)給出了相同環(huán)境條件下使用平行構(gòu)型進行消旋的結(jié)果。根據(jù)平行構(gòu)型的要求，期望軌跡取為

(40)

可以看到，此時目標(biāo)角速度只能衰減到8 (°)/s以上，仍有較大角速度殘余，無法完成對目標(biāo)角速度的消減。

圖5 服務(wù)星與目標(biāo)的相對位置變化圖Fig.5 Change of relative positions of the servicer and target satellite

圖5展示了消旋過程中服務(wù)星與目標(biāo)相對位置的變化情況?？梢钥吹较鄬ξ恢迷谧畛醯? h內(nèi)一直在振蕩，然后趨于穩(wěn)定。對比圖4可以發(fā)現(xiàn)，前2 h 內(nèi)，目標(biāo)角速度的軸和軸分量也一直在振蕩。因為前2 h內(nèi)目標(biāo)處于翻滾運動，而渦流消旋先將翻滾運動消減為自旋運動，隨后服務(wù)星只需保持固定的相對位置，即可進一步對自旋運動進行消減。這可以節(jié)省消旋任務(wù)的燃料消耗。

在控制效果方面，圖6給出了狀態(tài)變量的范數(shù)變化情況。從圖中可以看出，系統(tǒng)狀態(tài)均在20 s內(nèi)指數(shù)收斂到0，且狀態(tài)變量()均處于約束集內(nèi)。這與定理1的結(jié)果一致。

圖6 位置以及四元數(shù)跟蹤誤差范數(shù)變化圖Fig.6 Change diagram of position and quaternion tracking error’s norm

圖7 控制輸出變化圖Fig.7 Change diagram of control output

圖7顯示了服務(wù)星控制量的無窮范數(shù)的變化情況。10 s后，服務(wù)星的控制量即穩(wěn)定到很小的范圍內(nèi)，但穩(wěn)定后，仍會有輕微波動。這是因為期望軌跡在不斷變化，因此服務(wù)星需要進行相應(yīng)的機動。在圖7(c)中，由于在垂直構(gòu)型中被抵消，與幾乎相等。相應(yīng)的，在圖7(d)中，由于消旋力矩無法抵消，比大得多。另外，由于MPC具有非常好的約束處理能力，控制輸出始終保持在控制約束集={|≤≤}中。

圖8 函數(shù)相對距離以及燃料消耗變化圖Fig.8 Change diagram of function relative distance and fuel consumption

(41)

綜上所述，本文提出的期望軌跡與FLC-MPC算法可提高消旋任務(wù)的效率，且能夠保證消旋任務(wù)的安全性和軌跡的實時跟蹤。

5 結(jié) 論

本文設(shè)計了滿足垂直構(gòu)型要求的服務(wù)星消旋期望軌跡，并凸化安全區(qū)域基礎(chǔ)上，提出了一種指數(shù)穩(wěn)定的FLC-MPC算法，在保證任務(wù)過程安全的情況下，提高了渦流消旋的效率。與以往的研究相比，消旋時間從超過10天減少至6 h左右。作為代價，該方法需要服務(wù)星在消旋過程中不斷移動，增加了任務(wù)過程的復(fù)雜性。但是，F(xiàn)LC-MPC方法可以避免碰撞，并且保證燃料消耗最優(yōu)。為了減少計算量，本文采用反饋線性化方法對系統(tǒng)模型進行線性化，并對目標(biāo)函數(shù)和控制約束進行了相應(yīng)的處理，最后使用YALMIP工具箱對MPC問題進行求解，獲得了最優(yōu)控制序列，并將其施加上系統(tǒng)模型上，保證了系統(tǒng)的安全和穩(wěn)定。