唐 建，齊瑞云，姜 斌

(1. 南京航空航天大學(xué)自動(dòng)化學(xué)院，南京 211106；2. 南京航空航天大學(xué)先進(jìn)飛行器導(dǎo)航、控制與健康管理工業(yè)和信息化部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，南京 211106)

0 引 言

高超聲速飛行器作為一種航天與航空的綜合產(chǎn)物，具有隱身性能好，飛行速度快，打擊范圍廣，打擊目標(biāo)能力強(qiáng)等優(yōu)點(diǎn)。近年來，隨著其軍用、民用價(jià)值的持續(xù)凸顯，作為其核心技術(shù)之一的制導(dǎo)與控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)也吸引了越來越多研究人員的關(guān)注。不同于一般低速飛行器，當(dāng)高超聲速飛行器處于高超聲速飛行狀態(tài)時(shí)，控制回路時(shí)間常數(shù)遠(yuǎn)小于制導(dǎo)回路時(shí)間常數(shù)的假設(shè)將難以保證，造成了傳統(tǒng)上基于頻譜分離假設(shè)進(jìn)行制導(dǎo)與控制系統(tǒng)分回路設(shè)計(jì)控制器，再通過聯(lián)合調(diào)試使其協(xié)調(diào)匹配的方法容易出現(xiàn)終端精度下降甚至飛行器失控的現(xiàn)象。針對(duì)上述問題，Williams等提出了制導(dǎo)與控制一體化設(shè)計(jì)思想。

制導(dǎo)與控制一體化設(shè)計(jì)，是指能夠根據(jù)飛行器質(zhì)心和繞質(zhì)心狀態(tài)直接產(chǎn)生執(zhí)行機(jī)構(gòu)控制指令并同時(shí)完成飛行器質(zhì)心制導(dǎo)和繞質(zhì)心姿控任務(wù)的一種設(shè)計(jì)理念。這種理念能夠充分利用制導(dǎo)與控制回路之間的耦合關(guān)系，將飛行控制系統(tǒng)作為一個(gè)整體進(jìn)行設(shè)計(jì)，具有如下優(yōu)點(diǎn)：

1)不再基于頻譜分離假設(shè)，能夠提高系統(tǒng)可靠性；

2)能夠充分利用系統(tǒng)中存在的各種耦合，從而整體上提高系統(tǒng)性能；

3)避免傳統(tǒng)設(shè)計(jì)方式中反復(fù)聯(lián)合調(diào)試的問題，降低設(shè)計(jì)成本。

正是由于制導(dǎo)與控制一體化設(shè)計(jì)有著這些優(yōu)點(diǎn)，自其被提出以來，不斷有學(xué)者提出基于各種各樣控制理論的一體化設(shè)計(jì)方法。例如，反饋線性化、軌跡線性化、小增益定理、滑模控制、最優(yōu)控制、狀態(tài)依賴Riccati方程法、反步法、自適應(yīng)控制以及H∞控制等。

盡管如此，當(dāng)下的研究仍然存在一些問題。首先，就一體化設(shè)計(jì)方法來說，很多研究都采用了分通道設(shè)計(jì)的思路，即將三維運(yùn)動(dòng)分解為縱向和橫側(cè)向兩個(gè)通道，再分別進(jìn)行設(shè)計(jì)，從而將三維一體化設(shè)計(jì)簡(jiǎn)化為兩個(gè)單通道設(shè)計(jì)，而現(xiàn)有研究成果中，更是以縱向運(yùn)動(dòng)平面為主，如文獻(xiàn)[18-20]。不難發(fā)現(xiàn)，分通道設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)在于對(duì)通道間運(yùn)動(dòng)關(guān)系耦合的忽略，這種忽略在實(shí)際中并不合理，在理論上也造成了一體化控制器不能真正考慮飛行器的耦合關(guān)系。

其次，當(dāng)前的制導(dǎo)控制一體化研究大都關(guān)注于飛行器的質(zhì)心跟蹤問題，即設(shè)計(jì)一體化控制器通過控制舵面偏轉(zhuǎn)或三軸控制力矩來直接實(shí)現(xiàn)飛行器對(duì)期望軌跡的追蹤。換言之，當(dāng)前的制導(dǎo)與控制一體化研究更加偏向控制問題，即輸出追蹤問題，而很少考慮制導(dǎo)問題，因此這類一體化控制嚴(yán)格上說只能稱之為質(zhì)心/繞心運(yùn)動(dòng)一體化控制。而制導(dǎo)問題在飛行器飛行中不僅包括質(zhì)心追蹤，還包括飛行器的安全問題。雖然有些文獻(xiàn)會(huì)加入對(duì)狀態(tài)約束的考慮，但它們大多仍然是簡(jiǎn)單的常值狀態(tài)約束，而非制導(dǎo)問題中極具代表性的過程約束。

最后，就一體化設(shè)計(jì)的應(yīng)用來說，目前的研究對(duì)象以導(dǎo)彈居多，飛行階段以俯沖段居多，而對(duì)于高超聲速飛行器上升段的研究則相對(duì)較少。誠然，一般來說飛行器在再入段或末段都能具有極大的速度，此時(shí)進(jìn)行一體化設(shè)計(jì)完全符合設(shè)計(jì)初衷。然而，對(duì)于高超聲速飛行器來說，其速度往往在上升段就能進(jìn)入高超聲速，此時(shí)頻譜分離假設(shè)條件能否成立已然成疑，再考慮到上升段對(duì)后續(xù)飛行階段的重要影響，因此進(jìn)行適用于上升段的制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)的意義更加不應(yīng)被忽視。

鑒于這樣的考慮，本文針對(duì)高超聲速飛行器上升段飛行，提出了一種結(jié)合級(jí)聯(lián)控制、控制障礙函數(shù)的新型三維制導(dǎo)控制一體化算法，解決了過程約束下的三維一體化控制問題。首先通過對(duì)速度子系統(tǒng)設(shè)計(jì)控制障礙函數(shù)約束算法來滿足飛行器的過程約束要求，然后利用反步法、動(dòng)態(tài)逆控制設(shè)計(jì)其余子系統(tǒng)的控制器，兩者共同組成制導(dǎo)控制一體化控制器?？紤]到飛行器在上升過程中容易遭遇陣風(fēng)擾動(dòng)的問題，設(shè)計(jì)非線性干擾觀測(cè)器以增強(qiáng)算法的魯棒性。最后通過李雅普諾夫函數(shù)證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并且通過仿真驗(yàn)證了該新算法能夠在滿足高超聲速飛行器上升段過程約束的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)飛行器的三維跟蹤控制。相比于過去不考慮約束或者僅考慮狀態(tài)約束的一體化控制設(shè)計(jì)，本文所提出的算法更加具有實(shí)際意義。

1 模型及問題描述

本文參考文獻(xiàn)[21]中對(duì)高超聲速飛行器的建模方法，在下列假設(shè)的基礎(chǔ)上，對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化，建立高超聲速飛行器三維制導(dǎo)控制一體化模型。

忽略高超聲速飛行器舵面對(duì)氣動(dòng)力的影響，僅將其視為影響氣動(dòng)力矩的執(zhí)行機(jī)構(gòu)。因?yàn)楦叱曀亠w行器本身氣動(dòng)舵面較小，其氣動(dòng)力主要來源于機(jī)體。

在省略縱向移動(dòng)距離的動(dòng)態(tài)方程后，高超聲速飛行器六自由度控制系統(tǒng)可由以下三個(gè)子系統(tǒng)表示：

1)子系統(tǒng)1

該系統(tǒng)的任務(wù)在于調(diào)節(jié)速度，是一個(gè)單輸入單輸出一階系統(tǒng)，如式(1)所示：

(1)

2)子系統(tǒng)2

該系統(tǒng)目標(biāo)是控制飛行器橫向、縱向移動(dòng)，是一個(gè)由四組一階系統(tǒng)構(gòu)成的多輸入多輸出系統(tǒng)，如式(2)～(5)所示：

(2)

(3)

(4)

(5)

3)子系統(tǒng)3

該系統(tǒng)的作用是控制飛行器的側(cè)滑角始終保持在零附近，由兩級(jí)單輸入單輸出系統(tǒng)組成，如式(6)～(7)所示：

(6)

(7)

式(2)～(7)中：

sinsin+coscos+sin)，

sinsincos)-sincos+cos-cos]，

tansin)+tancoscos-costancos·

sin+tan-coscostan]，

外部擾動(dòng),,及其導(dǎo)數(shù)均連續(xù)有界。

本文以,,以及作為控制輸入，,,作為輸出，同時(shí)高超聲速飛行器以零側(cè)滑模式機(jī)動(dòng)，要求保持在零附近。

本文采用文獻(xiàn)[24]提供的氣動(dòng)模型，可寫為如下簡(jiǎn)便形式：

(8)

結(jié)合假設(shè)1及文獻(xiàn)[24]，升力、阻力以及側(cè)力系數(shù)可以分別表示為如下形式：

(9)

式中：為馬赫數(shù)。

高超聲速飛行器上升段飛行由于燃料消耗顯著，所以始終會(huì)伴隨著質(zhì)量、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的變化，其模型如下：

(10)

(11)

為了保證飛行器的安全性，整個(gè)飛行過程都應(yīng)滿足過程約束條件。文獻(xiàn)[25]指出在高超聲速飛行器上升段飛行中有三個(gè)最關(guān)心的過程約束，分別為彎矩、軸向推力加速度以及動(dòng)壓:

(12)

≤max

(13)

(14)

觀察式(12)～(14)可發(fā)現(xiàn)，一方面，不等式約束(12)、(14)均與速度有關(guān)，另一方面，約束(13)可以理解為對(duì)的約束，而恰恰是的控制輸入。因此，可以針對(duì)的動(dòng)態(tài)方程添加約束算法，從而同時(shí)滿足飛行器上升段的過程約束。

式(1)～(7)給出了六自由度高超聲速飛行器模型，相比于文獻(xiàn)[21]中的模型，轉(zhuǎn)化后的模型只是在表達(dá)方式上進(jìn)行了簡(jiǎn)化，實(shí)際的動(dòng)態(tài)關(guān)系并沒有發(fā)生變化。模型經(jīng)過轉(zhuǎn)化后，動(dòng)態(tài)關(guān)系更加明確，方便了后續(xù)控制器的設(shè)計(jì)工作。然而，高超聲速飛行器的運(yùn)動(dòng)受升力影響，其控制必然也要參考升力模型，而文獻(xiàn)[24]提供的升力系數(shù)擬合函數(shù)過于復(fù)雜，不利于展開控制器的設(shè)計(jì)。因此，本文還利用最小平方逼近，對(duì)擬合函數(shù)進(jìn)行簡(jiǎn)化，以適應(yīng)控制器的設(shè)計(jì)需要。經(jīng)過逼近，可改寫為如下形式：

(15)

式中：,,均為常數(shù)；Δ表示升力系數(shù)逼近誤差造成的升力誤差。升力系數(shù)逼近誤差如圖1所示。由圖可見，逼近誤差能夠保持在一個(gè)合理的范圍內(nèi)。

圖1 升力系數(shù)估計(jì)誤差Fig.1 Estimated errors of the lift coefficient

經(jīng)過對(duì)系統(tǒng)模型的轉(zhuǎn)化以及對(duì)升力系數(shù)的簡(jiǎn)化之后，即可展開基于六自由度高超聲速飛行器的考慮約束的制導(dǎo)與控制一體化設(shè)計(jì)。

2 控制器設(shè)計(jì)

完整的六自由度高超聲速飛行器模型具有高階次、強(qiáng)耦合、強(qiáng)非線性的特點(diǎn)，如何能夠在實(shí)現(xiàn)輸出穩(wěn)定跟蹤的同時(shí)滿足過程約束便成為了控制器設(shè)計(jì)的重點(diǎn)。

通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，制導(dǎo)控制一體化設(shè)計(jì)模型可以抽象為一類下三角形式的高階多維級(jí)聯(lián)系統(tǒng)，因此，反步法作為一種強(qiáng)大的適用于高階非線性系統(tǒng)的控制方法，在高超聲速飛行器控制中得到了廣泛的應(yīng)用，例如，文獻(xiàn)[26]就通過反步法設(shè)計(jì)了高超聲速飛行器縱向平面輸出追蹤控制器。然而，單純的反步法無法保證系統(tǒng)穩(wěn)定跟蹤的同時(shí)滿足飛行器的過程約束條件。為此，需要為一體化控制器添加約束算法，從而得到能夠滿足過程約束條件的制導(dǎo)控制一體化控制器。

2.1 一體化控制器設(shè)計(jì)

本文以反步動(dòng)態(tài)逆控制為基礎(chǔ)，對(duì)各子系統(tǒng)進(jìn)行分級(jí)設(shè)計(jì)。非線性動(dòng)態(tài)逆方法是飛行器非線性控制的一種有效方法，其實(shí)質(zhì)是用非線性逆和非線性函數(shù)對(duì)消被控對(duì)象的非線性，因此在處理強(qiáng)非線性、強(qiáng)耦合系統(tǒng)時(shí)其能具有較好的控制效果。

系統(tǒng)輸出期望及其直至2階的導(dǎo)數(shù)均連續(xù)、有界。

1)子系統(tǒng)1

該系統(tǒng)以為輸入，為輸出。通過對(duì)約束(12)～(14)的分析可知，飛行器過程約束均可以通過對(duì)該系統(tǒng)的設(shè)計(jì)來完成。因此，速度子系統(tǒng)的控制目標(biāo)包括速度追蹤以及過程約束兩個(gè)部分。

最近的研究表明，通過引入控制障礙函數(shù)，可以使得許多基于李雅普諾夫函數(shù)或控制李雅普諾夫函數(shù)的控制技術(shù)良好地解決安全問題,而本文提出的一體化控制器正是基于李雅普諾夫函數(shù)設(shè)計(jì)的。針對(duì)這一特征，本文選擇控制李雅普諾夫函數(shù)、控制障礙函數(shù)結(jié)合二次規(guī)劃算法來設(shè)計(jì)帶約束的一體化控制器。

文獻(xiàn)[30]給出了通過二次規(guī)劃(QP)結(jié)合控制李雅普諾夫函數(shù)(CLF)、控制障礙函數(shù)(CBF)來處理約束問題的一般方法。

首先給出CLF以及CBF的定義：

考慮一般的仿射非線性系統(tǒng)

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(22)

(23)

則就是一個(gè)控制障礙函數(shù)(CBF)。

本文受文獻(xiàn)[30]的啟發(fā)，為速度子系統(tǒng)設(shè)計(jì)約束算法。速度子系統(tǒng)可改寫為如下緊湊形式：

(24)

該系統(tǒng)需要滿足以下三類約束：

(1)硬約束：代表了系統(tǒng)在任何時(shí)候都不應(yīng)被突破的約束條件。對(duì)于高超聲速飛行器的上升段飛行，約束式(12)、(14)是不可突破的硬約束；

(2)軟約束：只有當(dāng)硬約束滿足時(shí)，軟約束才可能滿足。對(duì)于速度子系統(tǒng)來說，其目的就在于追蹤速度期望，即驅(qū)動(dòng)-→0；

(3)輸入約束：這項(xiàng)約束描述了系統(tǒng)能被容許的輸入范圍。對(duì)于該子系統(tǒng)，輸入需滿足約束式(13)。

本文通過將硬約束、軟約束、輸入約束分別轉(zhuǎn)換為CBF、CLF，并將其與二次規(guī)劃算法相結(jié)合，建立基于CLF-CBF的QP算法，得到滿足高超聲速飛行器上升段過程約束的制導(dǎo)控制一體化控制器。

(1)轉(zhuǎn)化軟約束為CLF

本文首先從將軟約束轉(zhuǎn)化為CLF開始設(shè)計(jì)。軟約束條件可以改寫為基于速度追蹤誤差的形式：:=-→0。

(25)

于是，有

(26)

式中：>0。

由式(24)～(25)可知

(27)

因此可以通過設(shè)計(jì)控制器來滿足式(26)。由式(1)及式(27)，可得到滿足條件的動(dòng)態(tài)逆控制器

(28)

式中：=05>0為增益系數(shù)。當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)處于合理空間內(nèi)時(shí)，可知coscos≠0，此時(shí)不存在奇異的情況。

于是，由式(25)～(26)便可得描述為CLF的軟約束：

(29)

式中：≥0代表軟約束的松弛因子。需要指出的是，正是這個(gè)松弛因子使得該約束成為一個(gè)軟約束，即若設(shè)置=0就意味著該約束將成為一個(gè)“硬”約束：它將強(qiáng)制以速率指數(shù)收斂。

(2)轉(zhuǎn)化硬約束為CBF

該步驟的目的在于建立不等式約束使得硬約束條件必定能夠滿足。本文考慮的過程約束中有兩個(gè)硬約束條件：式(12)及式(14)，它們可以分別轉(zhuǎn)化為兩個(gè)連續(xù)可微的約束函數(shù)

(30)

(31)

由于約束(12)與約束(14)在該步驟的設(shè)計(jì)過程類似，本文僅針對(duì)約束(12)的設(shè)計(jì)過程展開說明。

考慮控制障礙函數(shù)

(32)

式(32)具有如下兩個(gè)重要的性質(zhì)：

對(duì)式(32)求導(dǎo)，可得

(33)

于是，可以設(shè)計(jì)反饋控制律

(34)

最終，硬約束(12)被轉(zhuǎn)換為了CBF的形式：

(35)

由于該條件本身是一個(gè)硬約束，因此在式(35)中并沒有引入松弛因子。

約束(14)的轉(zhuǎn)化步驟與此類似，不再贅述。取

(36)

可將硬約束(11)轉(zhuǎn)化為：

(37)

(3)輸入約束

最后考慮的是輸入約束問題。該約束可以轉(zhuǎn)化為如下的不等式形式：

0≤≤max

(38)

考慮到有可能存在輸入約束與硬約束相沖突的情況，因此有必要對(duì)這種情況進(jìn)行分析。由于本文研究的高超聲速飛行器采用零側(cè)滑機(jī)動(dòng)，因此式(1)可簡(jiǎn)化為

(39)

(4)基于CLF-CBF QP的約束控制器

(40)

式中：矩陣,由軟約束條件式(29)解得，

矩陣1,1由硬約束條件式(35)解得，

矩陣2,2由硬約束條件式(37)解得，

矩陣,由輸入約束式(38)解得，

矩陣與則需要通過分析QP的損失函數(shù)來確定。分析損失函數(shù)是平衡CLF能夠?qū)崿F(xiàn)控制目標(biāo)與松弛因子(目的在于保證CLF-CBF QP的有解性與連續(xù)性)之間矛盾的一種方法。

本文在構(gòu)建CLF時(shí)，通過將輸入設(shè)置為

(41)

(42)

由此可確定QP中的損失函數(shù)形式，可得

式中：表示松弛因子的懲罰度。

2)子系統(tǒng)2

該系統(tǒng)的控制目標(biāo)為使得,能夠分別跟蹤上各自的期望，而無需考慮約束問題，因此可直接通過反步動(dòng)態(tài)逆控制進(jìn)行設(shè)計(jì)。該系統(tǒng)可視為四階級(jí)聯(lián)系統(tǒng)，因此可分為以下四步進(jìn)行設(shè)計(jì)。

不同于子系統(tǒng)1中輸入以線性形式出現(xiàn)，該方程中的輸入以三角函數(shù)的形式出現(xiàn)在了動(dòng)態(tài)方程中，直接利用動(dòng)態(tài)逆方法變得不再便捷。為了解決這個(gè)問題，本文從李雅普諾夫穩(wěn)定性的角度上對(duì)該一階系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)。

取Lyapunov函數(shù)，如式(43)所示：

(43)

式中：=-,為期望橫移；=-,為期望高度。

對(duì)式(43)求導(dǎo)，可得

(44)

(45)

(46)

式中：,均為大于零的增益系數(shù)。

與第1步相同，在該系統(tǒng)中輸入同樣以三角函數(shù)的形式出現(xiàn)，因此仍然利用Lyapunov穩(wěn)定性思想進(jìn)行設(shè)計(jì)。

取Lyapunov函數(shù)，如式(47)所示：

(47)

對(duì)式(47)求導(dǎo)，可得

(48)

(49)

(50)

則式(45)～(46)可改寫為如下式所示：

(51)

對(duì)式(51)求導(dǎo)，可得

(52)

式中：

(53)

(54)

接著，對(duì)式(52)進(jìn)行移項(xiàng)，可得

(55)

因此，可設(shè)計(jì)傾側(cè)角的期望為

(56)

此時(shí)，對(duì)式(54)進(jìn)行移項(xiàng)，并將式(56)代入，即可將期望攻角設(shè)計(jì)為

(57)

第3步：針對(duì)如式(4)所示的一階系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)。該系統(tǒng)以,為輸入，,為輸出。

由式(4)可知，不同于前面兩級(jí)，該級(jí)的輸入以線性形式出現(xiàn)，且前面的非線性項(xiàng)均不為0。因此可以直接采用動(dòng)態(tài)逆思想對(duì)該級(jí)進(jìn)行設(shè)計(jì)，易得期望滾轉(zhuǎn)角速率以及期望俯仰角速率如下

(58)

(59)

式中：以及均為大于零的增益系數(shù)。

(60)

式中：,為時(shí)間常數(shù)；,為一階濾波器的輸出。

則式(58)～(59)可改寫為：

(61)

(62)

第4步：針對(duì)如式(5)所示的一階系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)。該系統(tǒng)以,為輸入，,為輸出，得到的是整個(gè)子系統(tǒng)2的輸入。

同樣，由式(5)可知，在該級(jí)中輸入仍然以線性方式出現(xiàn)，且其乘積項(xiàng)不為零，因此可由動(dòng)態(tài)逆思想，直接進(jìn)行控制器設(shè)計(jì)，控制器如下式所示：

(63)

(64)

式中：以及均為大于零的增益系數(shù)。

(65)

式中：,為時(shí)間常數(shù)；,為一階濾波器的輸出。

則式(63)～(64)可改寫為：

(66)

(67)

3)子系統(tǒng)3

該系統(tǒng)的控制目標(biāo)為保證飛行器的零側(cè)滑飛行模式。該系統(tǒng)可視為二階級(jí)聯(lián)系統(tǒng)，因此可以分兩步進(jìn)行設(shè)計(jì)。

第1步：針對(duì)如式(6)所示的一階系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，該系統(tǒng)以為輸入，為輸出。

利用動(dòng)態(tài)逆思想，由式(6)易得的期望動(dòng)態(tài)為：

(68)

式中：為大于零的增益系數(shù)；為期望側(cè)滑角，由于高超聲速飛行器采用零側(cè)滑機(jī)動(dòng)，因此有=0。此時(shí)，若能夠跟蹤，則就能跟蹤到。

第2步：針對(duì)如式(7)所示的一階系統(tǒng)進(jìn)行設(shè)計(jì)，該系統(tǒng)以為輸入，為輸出。

再一次利用動(dòng)態(tài)逆思想，由式(7)即可得

(69)

式中：為大于零的增益系數(shù)。

(70)

式中：為時(shí)間常數(shù)；為一階濾波器的輸出。

則式(69)可改寫為：

(71)

至此，子系統(tǒng)3設(shè)計(jì)完畢。

由式(40)以及式(66)～(67)、(71)便得到了整個(gè)系統(tǒng)的控制律。

(72)

不難發(fā)現(xiàn)，一體化控制律中利用了未知擾動(dòng)的信息，而這類信息往往是無法被直接測(cè)量的。因此，本文采用非線性干擾觀測(cè)器對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，從而使一體化控制律具有可行性。

2.2 觀測(cè)器設(shè)計(jì)

隨著擾動(dòng)估計(jì)和補(bǔ)償技術(shù)的發(fā)展，不確定系統(tǒng)的魯棒控制器設(shè)計(jì)變得更加便捷。而干擾觀測(cè)器(DO)作為一種可以根據(jù)問題需要處理不確定性估計(jì)的技術(shù)更是廣為人知。正是由于其便捷有效的優(yōu)勢(shì)，不斷有文獻(xiàn)基于DO提出各種各樣的控制器設(shè)計(jì)，如文獻(xiàn)[31-32]。為了增強(qiáng)非線性動(dòng)態(tài)逆控制的抗干擾能力以及應(yīng)對(duì)不確定氣動(dòng)參數(shù)的魯棒性，文獻(xiàn)[33]提出了一種適用于飛行器動(dòng)態(tài)逆控制的非線性干擾觀測(cè)器。

式(1)～(7)所示的高超聲速飛行器動(dòng)態(tài)方程可以寫成如下所示的一般仿射非線性形式：

(73)

式中：

非線性干擾觀測(cè)器可設(shè)計(jì)為如下形式：

(74)

(75)

本文選取如下形式的()：

(76)

則有

(77)

由式(74)、(76)和(77)，可得觀測(cè)器誤差動(dòng)態(tài)為

(78)

在得到干擾估計(jì)值之后，將這些估計(jì)值代入到式(72)中，便能得到可行的一體化控制律，如下式所示：

(79)

3 穩(wěn)定性證明

針對(duì)上升段高超聲速飛行器系統(tǒng)(1)～(7)，若其具有有界的初始條件以及()∈Ω, Ω是一個(gè)足夠大且取值合理的緊集，則在假設(shè)1～3下，本文設(shè)計(jì)的制導(dǎo)與控制一體化控制器(79)，具有以下結(jié)論：

(1)當(dāng)→∞時(shí)，系統(tǒng)各狀態(tài)跟蹤誤差()-(),=1,2,…,11會(huì)收斂到原點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)。

(2)總是存在不變集Ω，使得對(duì)于所有的≥0，(0)∈Ω?()∈Ω。

該定理的證明分為兩部分進(jìn)行。

(1)證明狀態(tài)量追蹤誤差均能收斂到原點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)。

同推導(dǎo)過程相似，證明也采用分步進(jìn)行的方式。其中，速度子系統(tǒng)約束控制器的穩(wěn)定性已由定理1說明，其證明可參考文獻(xiàn)[30]，本文不再贅述；而反步動(dòng)態(tài)逆控制器的穩(wěn)定性證明過程中存在大量重復(fù)工作，為保證文章的可讀性，本文僅針對(duì)角速率子系統(tǒng)的證明進(jìn)行展開，其余動(dòng)態(tài)的證明與此類似，不再展開。

定義如下Lyapunov函數(shù)：

對(duì),=,,求導(dǎo)，可得

(80)

(81)

從而可知

(82)

由的定義、觀測(cè)器誤差有界以及一階濾波器誤差有界可知

(83)

由式(83)可知，追蹤誤差最終會(huì)收斂到原點(diǎn)的一個(gè)領(lǐng)域內(nèi)，即角速率子系統(tǒng)可實(shí)現(xiàn)狀態(tài)穩(wěn)定，且追蹤誤差有界。

基于角速率子系統(tǒng)的證明結(jié)論，便可展開對(duì)其余子系統(tǒng)的證明，證明思路均與此類似，為節(jié)約篇幅，不再贅述。需要注意的是，在進(jìn)行分級(jí)穩(wěn)定性證明的過程中，均需要考慮前級(jí)跟蹤誤差的影響。為得出系統(tǒng)輸出跟蹤誤差有界的結(jié)論，現(xiàn)對(duì)輸出,進(jìn)行展開證明。

定義Lyapunov函數(shù)如下：

對(duì),=,求導(dǎo)，可得

(84)

從而可知

(85)

由的定義以及式(85)，可知

(86)

由式(86)可知，追蹤誤差最終會(huì)收斂到原點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)，,穩(wěn)定。

綜上，當(dāng)→∞時(shí)，系統(tǒng)各狀態(tài)跟蹤誤差()-(),=1,2,…,11會(huì)收斂到原點(diǎn)的一個(gè)鄰域內(nèi)。

(2)證明總是存在不變集Ω，使得對(duì)于所有的≥0,(0)∈Ω?()∈Ω。

由,=1,2,…,11有界以及∈Ω，可定義

Ω={,=1,2,…,11|≤}

(87)

對(duì)求導(dǎo)，可得

(88)

于是可得

(89)

假設(shè)初值(0)均屬于集合Ω，且(0)≠。令式(82)小于等于，即

(90)

于是可得

(91)

易知(1-e- )(-(0)e- )關(guān)于時(shí)間單調(diào)增，其最大值為

(92)

因此，對(duì)于所有的≥0，若

(93)

則不等式(89)成立。

若(0)=，根據(jù)式(93)可知，

(94)

當(dāng)=0以及(0)=時(shí)，不等式(89)自然成立。當(dāng)>0時(shí)，則由不等式(94)，同樣可以得到≥的結(jié)論。因此，對(duì)于所有的≥0，若有≥以及(0)∈Ω，則不等式(93)成立，即

(95)

因此，Ω是一個(gè)不變集。且對(duì)于任意給定的緊集Ω，總可以通過設(shè)計(jì)合適的參數(shù)使得Ω是一個(gè)不變集。

由∈Ω可知的有界性，又有界，于是有界，且收斂于緊集Ω:

(96)

因?yàn)棣?span id="yui0i00" class="subscript">被假設(shè)為了一個(gè)足夠大的緊集，所以其可大到足以包括Ω，即Ω?Ω。所以，若有≥，則所有于=0時(shí)刻起始于Ω的狀態(tài)量(),(),…,()，對(duì)于所有的>0，都會(huì)留在集合Ω內(nèi)，即Ω是一個(gè)不變集。

4 仿真校驗(yàn)

為了驗(yàn)證本文提出的制導(dǎo)控制一體化控制器能夠有效處理高超聲速飛行器上升段約束制導(dǎo)控制問題，本文利用文獻(xiàn)[21]中給出的完整的高超聲速飛行器模型，進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

采用如下的指數(shù)函數(shù)作為系統(tǒng)的輸出期望：

該組輸出期望表示了飛行器在上升段要實(shí)現(xiàn)由馬赫數(shù)4提速至馬赫數(shù)10，橫向軌跡糾偏10000 m以及高度從12000 m爬升至30000 m的要求。同時(shí)需要注意的是，由于高超聲速飛行器采用零側(cè)滑機(jī)動(dòng)模式，因此應(yīng)有期望側(cè)滑角=0。

過程約束邊界取值如下：

,,均取如下函數(shù)：

仿真中的飛行器參數(shù)、控制器參數(shù)、觀測(cè)器參數(shù)以及狀態(tài)量初值見表1～4。

表1 飛行器參數(shù)Table 1 Parameters used in the simulation

表2 控制器參數(shù)Table 2 Parameters for the controller

表3 觀測(cè)器參數(shù)Table 3 Parameter for observer

為了模擬高超聲速飛行器上升段時(shí)，飛行器偏離軌道且有繼續(xù)偏離的趨勢(shì)，本仿真將初始航跡方位角設(shè)置為一個(gè)負(fù)數(shù)。除此以外，各狀態(tài)量初始值見表4。

表4 狀態(tài)量初始值Table 4 Initial values of the state variables

為說明本文提出的約束下制導(dǎo)與控制一體化算法，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)飛行器的三維追蹤控制，還能保持對(duì)過程約束條件的滿足，在相同的仿真條件下，本文與文獻(xiàn)[15]提出的基于塊反步動(dòng)態(tài)逆法的制導(dǎo)控制一體化方法進(jìn)行對(duì)比仿真，以驗(yàn)證本文提出算法在處理過程約束上的優(yōu)越性。

圖2給出了系統(tǒng)輸出動(dòng)態(tài)的響應(yīng)曲線。由圖2(a)、2(b)可知，相比于文獻(xiàn)[15]所提出的算法，本文所提的帶約束的一體化算法在橫向移動(dòng)以及高度追蹤的動(dòng)態(tài)性能以及穩(wěn)態(tài)性能方面僅有很小的差

圖2 輸出動(dòng)態(tài)響應(yīng)Fig.2 Output dynamic responses

別。而由圖2(c)可知，由于約束算法作用在速度控制上的效果，速度響應(yīng)曲線呈現(xiàn)出一個(gè)較小的波動(dòng)，但最終也能夠?qū)崿F(xiàn)速度追蹤。

圖3給出了飛行器飛行航跡角的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線。由圖3可知，本文所提算法在動(dòng)態(tài)響應(yīng)以及穩(wěn)態(tài)誤差上與文獻(xiàn)[15]具有相近的性能。在響應(yīng)曲線前段產(chǎn)生的略微偏差，其原因也主要來自于速度變化帶來的影響。

圖4給出了飛行器氣動(dòng)角的動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線。從

圖3 飛行航跡角Fig.3 Flight path angles

圖4 氣動(dòng)角Fig.4 Aerodynamic angle

圖4(a)可以看出本文所提的約束一體化算法相比于文獻(xiàn)[15]的方法在攻角動(dòng)態(tài)上有細(xì)微差別，造成這種細(xì)微差別的原因也主要在于速度的影響。由圖4(b)可知，和文獻(xiàn)[15]一樣，本文所提的算法，同樣能夠使側(cè)滑角始終保持在0附近，僅通過傾側(cè)角實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)彎，保證了飛行器的零側(cè)滑機(jī)動(dòng)。

圖5 角速度Fig.5 Angular velocity

圖5給出了飛行器三軸角速度的響應(yīng)曲線。三軸角速度在動(dòng)態(tài)響應(yīng)上均與文獻(xiàn)[15]所提方法具有相似的性能，其中以俯仰角速度的區(qū)別最為明顯，這是由攻角以及速度在動(dòng)態(tài)響應(yīng)上的區(qū)別共同引起的。

圖6給出了過程約束情況。由圖6(a)可見，文獻(xiàn)[15]所提方法并不能有效保證過程約束的滿足，而本文提出的方法則能夠有效保持對(duì)動(dòng)壓的約束。由圖6(b)可知，本文提出的算法正是通過對(duì)推力的調(diào)節(jié)，同時(shí)實(shí)現(xiàn)了速度追蹤以及約束滿足。由圖6(c)可見，系統(tǒng)同時(shí)還能實(shí)現(xiàn)對(duì)彎矩約束的保持。

圖6 過程約束Fig.6 Path constraints

綜上，本文提出的算法，不僅能夠?qū)崿F(xiàn)干擾下的三維制導(dǎo)與控制一體化控制，還能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)過程約束的保持，保證了飛行器的安全性。另一方面，本文提出的控制算法，雖然從動(dòng)態(tài)響應(yīng)曲線上看與文獻(xiàn)[15]所提的方法具有相似性，但計(jì)算量卻要明顯多于文獻(xiàn)[15]所提算法，因此在計(jì)算速度方面要遜色許多。

5 結(jié) 論

本文同時(shí)考慮了飛行器過程約束以及遭遇外界擾動(dòng)的情況，設(shè)計(jì)了一種基于CBF的制導(dǎo)與控制一體化控制器，使得飛行器以三軸力矩以及推力作為輸入直接實(shí)現(xiàn)對(duì)高度、橫移以及速度追蹤的同時(shí)，實(shí)現(xiàn)了對(duì)過程約束的保持，確保了飛行器的安全性。具體地，首先對(duì)過程約束條件進(jìn)行分析，對(duì)速度追蹤系統(tǒng)添加CLF-CBF QP算法以同時(shí)實(shí)現(xiàn)速度追蹤以及約束保持。接著，通過組合動(dòng)態(tài)逆以及反步法的方式，設(shè)計(jì)了一體化控制器，實(shí)現(xiàn)標(biāo)稱情況下位置/姿態(tài)系統(tǒng)的追蹤，并且添加干擾觀測(cè)器以增強(qiáng)算法的魯棒性。然后，基于Lyapunov方程對(duì)閉環(huán)系統(tǒng)進(jìn)行了詳細(xì)的穩(wěn)定性證明，證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。通過仿真對(duì)比，驗(yàn)證了本文提出的一體化控制器不僅能夠?qū)崿F(xiàn)輸出追蹤還能實(shí)現(xiàn)約束保持。相比于以往只關(guān)注于縱向平面或者輸出追蹤問題的一體化控制研究，本文提出的制導(dǎo)控制一體化控制器還能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)約束的保持，從而更具實(shí)用性。