關(guān)英姿，文梓達(dá)，汪小衛(wèi)，張烽，崔乃剛

(1.哈爾濱工業(yè)大學(xué)航天學(xué)院，哈爾濱 150001；2. 中國運(yùn)載火箭技術(shù)研究院研究發(fā)展部，北京 100076)

0 引 言

太空電梯(后文簡稱“天梯”)是一種通過攀爬器沿繩索往返運(yùn)動將有效載荷從地球表面運(yùn)送到太空的新型天地往返運(yùn)輸系統(tǒng)。相比于運(yùn)載火箭、航天飛機(jī)等運(yùn)載器，天梯具有低成本、快速、安全、可靠、高效的特點(diǎn)，顛覆性地改變了現(xiàn)有進(jìn)入空間的方式。因此，天梯的成功部署和使用必將引起航天運(yùn)輸領(lǐng)域革命性的變革，是未來進(jìn)行大規(guī)模空間開發(fā)和確?？臻g優(yōu)勢的重要保障手段。

天梯的起源最早可追溯到1895年Tsiolkovsky提出的“赤道通天塔”的構(gòu)想。60余年后，Artsutanov提出了現(xiàn)代天梯的概念，此后這一概念被反復(fù)提及并不斷完善。然而限于當(dāng)時沒有一種材料的強(qiáng)度能夠滿足天梯繩索的要求，天梯技術(shù)的研究并沒有廣泛開展。直到1991年碳納米管材料的出現(xiàn)，使天梯的建造成為可能，于是20世紀(jì)90年代末掀起了天梯技術(shù)的研究熱潮，這一時期學(xué)者們主要對地球赤道天梯的總體構(gòu)建方案、各子系統(tǒng)方案以及建造和運(yùn)行天梯面臨的技術(shù)挑戰(zhàn)等進(jìn)行系統(tǒng)研究，隨后也出現(xiàn)針對月球天梯的研究。

國際太空電梯聯(lián)合會(International Space Elevator Consortium，ISEC)是致力于促進(jìn)天梯開發(fā)、建設(shè)和運(yùn)營的組織，從2010年起ISEC每年贊助一項(xiàng)關(guān)于天梯的重點(diǎn)主題研究，對天梯的總體架構(gòu)和發(fā)展路線進(jìn)行了詳細(xì)的闡述，并給出了天梯模擬器的軟件設(shè)計(jì)。2019年ISEC報告中提出了多級天梯的概念，多級天梯基于許多已有技術(shù)，有望使天梯比原計(jì)劃提早實(shí)現(xiàn)。近兩年ISEC報告針對未來空間任務(wù)對運(yùn)載能力和規(guī)模的強(qiáng)大需求，討論運(yùn)行在銀河港內(nèi)的太空電梯技術(shù)。

天梯是空間系繩的應(yīng)用之一，其本質(zhì)屬于超長繩系系統(tǒng)，是由延長繩系衛(wèi)星系統(tǒng)發(fā)展而來的。但是天梯系統(tǒng)的繩索長度遠(yuǎn)大于繩系衛(wèi)星的繩索長度，繩索本身的柔性特性往往不可忽略，因此天梯系統(tǒng)的部署和運(yùn)行中存在的由繩索柔性引起的動力學(xué)問題更為復(fù)雜。此外，對于天梯動力學(xué)研究還需考慮攀爬器運(yùn)動對繩索運(yùn)動特性的影響?？梢娞焯輨恿W(xué)研究對于了解和掌握天梯系統(tǒng)的動力學(xué)特性至關(guān)重要，是研究和部署天梯系統(tǒng)的前提和基礎(chǔ)。

近十年來,各國學(xué)者已從天梯力學(xué)原理、天梯系統(tǒng)可行性研究、天體總體方案構(gòu)建過渡到天梯運(yùn)行動力學(xué)和天梯部署動力學(xué)的研究。本文首先對天梯系統(tǒng)的組成和天梯初始部署方式進(jìn)行簡要的介紹；其次，針對天梯初始部署和運(yùn)行中存在的復(fù)雜動力學(xué)與控制問題，分別從天梯動力學(xué)建模、天梯穩(wěn)定性、天梯繩索振蕩、攀爬器運(yùn)動引起的繩索振蕩及振蕩抑制、天梯初始部署動力學(xué)五個方面分析歸納天梯動力學(xué)與控制的發(fā)展?fàn)顩r，最后結(jié)合目前天梯動力學(xué)與控制研究存在的難點(diǎn)及問題，提出后續(xù)的發(fā)展方向。

1 天梯系統(tǒng)的組成及初始部署形式

一個完整的地球赤道天梯系統(tǒng)如圖1所示，主要包括地面錨節(jié)點(diǎn)平臺、繩索(典型情況繩索長度可達(dá)10km)、攀爬器以及天頂錨。繩索與地球同步旋轉(zhuǎn)，靠地球引力和離心力的共同作用，使天梯保持在鉛垂位置。

圖1 天梯系統(tǒng)的組成Fig.1 Components of the space elevator

在NASA創(chuàng)新先進(jìn)概念研究所(NIAC)資助下，Edwards針對天梯系統(tǒng)總體方案開展了大量工作，闡述了天梯系統(tǒng)建立的必要性，研究了天梯系統(tǒng)的構(gòu)建方案、系統(tǒng)各組成部分的功能和質(zhì)量的確定等問題。此外，文獻(xiàn)[26]和[27]針對地面錨節(jié)點(diǎn)平臺和天頂錨進(jìn)行了專門討論。

1.1 天梯繩索

繩索作為天梯系統(tǒng)的重要組成部分，是決定天梯系統(tǒng)規(guī)模的關(guān)鍵，因此在天梯概念提出后,研究者最先對構(gòu)成天梯系統(tǒng)的繩索進(jìn)行了大量研究，主要涉及繩索長度、繩索截面輪廓、繩索質(zhì)量的計(jì)算以及繩索材料的選擇等。

對天梯繩索進(jìn)行受力研究，得出繩索在地球同步軌道處所受拉力最大的結(jié)論，于是從繩索各截面等應(yīng)力的角度考慮，采用繩索橫截面積從地球同步軌道處向兩側(cè)逐漸減小的設(shè)計(jì)。定義了繩索的錐度比(地球同步軌道處的繩索橫截面積與地表錨點(diǎn)處的繩索橫截面積之比)來表示繩索橫截面積的變化，研究表明,在天梯繩索長度一定時，繩索錐度比取決于繩索材料的強(qiáng)度密度比。為避免地表錨點(diǎn)處繩索橫截面積過大，繩索材料需要具有極高的強(qiáng)度密度比。Edwards假設(shè)繩索材料強(qiáng)度為130 GPa，密度為1300 kg/m，計(jì)算得到繩索的錐度比為1.5，這使得部署天梯成為可能。

碳納米管一直被認(rèn)為是最有潛力的天梯繩索材料。目前單個碳納米管的強(qiáng)度已達(dá)到200 GPa，然而將碳納米管合成一定尺寸的帶狀天梯繩索十分困難，目前最好的結(jié)果是強(qiáng)度達(dá)到9.6 GPa，密度為1850 kg/m，這與Edwards研究中所假設(shè)的材料性能還有很大差距?？梢娭苽鋸?qiáng)度足夠的天梯繩索仍然是目前建造天梯最主要的挑戰(zhàn)之一。

1.2 攀爬器

攀爬器的本質(zhì)是一種帶有攀爬裝置的航天器，主要用于運(yùn)送有效載荷。Edwards的研究報告首次從用途、結(jié)構(gòu)、供能等方面詳細(xì)闡述了攀爬器。2013年ISEC報告針對系繩攀爬器的研究狀況進(jìn)行了總結(jié)。

攀爬器主要有以下3種用途：(1)用于對初始繩索進(jìn)行加固。天梯初始繩索部署完成后，由攀爬器攜帶與繩索相同的材料沿繩索移動，對繩索進(jìn)行加寬加厚，實(shí)現(xiàn)繩索的加固。(2)用于運(yùn)送有效載荷。天梯系統(tǒng)投入使用后，可以由攀爬器攜帶有效載荷運(yùn)送到任意軌道高度。(3)用于繩索修復(fù)。攀爬器將配備傳感器，以檢測系繩上的孔洞和撕裂，并配備設(shè)備進(jìn)行維修。針對不同的任務(wù)類型，要求設(shè)計(jì)不同類型的攀爬器，文獻(xiàn)中給出了6種不同類型的攀爬器，每種攀爬器具有各自的特點(diǎn)，并且供能方式也可能不同。

為實(shí)現(xiàn)攀爬器沿天梯繩索移動，Edwards給出了攀爬器的履帶和滾輪設(shè)計(jì)，其中履帶用于攀爬器抓附繩索，滾輪用于攀爬器在繩索上的移動。而Smitherman給出了不同的設(shè)計(jì)方案，攀爬器通過電磁懸浮，不與繩索接觸。

攀爬器的移動需要對其供能，目前提出的可用能源包括：太陽能、光束能源(激光、微波等)、沿繩索傳輸?shù)哪茉?電力、振動)以及攀爬器器載儲能(化學(xué)能、電池/超級電容器、核能)。為避免能源傳輸中斷，在攀爬器運(yùn)輸有效載荷時，應(yīng)選擇無線的能源傳輸方式對其進(jìn)行供能，如激光或者太陽能。2013年ISEC報告中總結(jié)了激光供能和太陽能供能的優(yōu)勢與不足，認(rèn)為采用兩種供能方式的混合設(shè)計(jì)是最優(yōu)的攀爬器供能方案。

當(dāng)攀爬器穿越大氣層時，可能會受到外界環(huán)境的影響(大風(fēng)、閃電、暴雨等)而造成損壞。因此有學(xué)者提出在40 km高度以下需對攀爬器作保護(hù)，他們設(shè)計(jì)的保護(hù)盒能夠?qū)⑴逝榔髋c外界環(huán)境隔開，起到有效的保護(hù)作用。

按照ISEC報告的研究結(jié)果，攀爬器的設(shè)計(jì)要求為：自身重量約為6 t，攜帶的有效載荷質(zhì)量為14 t，攀爬器能夠?qū)崿F(xiàn)每天發(fā)射，一周的時間可到達(dá)GEO軌道。研究者認(rèn)為，當(dāng)前技術(shù)能夠滿足上述要求，可實(shí)現(xiàn)攀爬器的設(shè)計(jì)與生產(chǎn)，保證未來天梯系統(tǒng)的運(yùn)行。

1.3 天梯的部署方式

天梯系統(tǒng)的構(gòu)建中繩索展開是天梯系統(tǒng)成功部署的關(guān)鍵。Edwards提出的地球天梯單向展開構(gòu)建方案如圖2所示。此外，Edwards還提出了雙向展開的天梯構(gòu)建方案。

圖2 天梯系統(tǒng)單向展開構(gòu)建示意圖[5]Fig.2 One-way deployment and construction of the space elevator[5]

單向展開是指繩索自地球同步軌道處單向向下展開，并且隨著繩索的展開，航天器需要攜帶繩索一起向上移動以提升軌道高度，保證整個天梯系統(tǒng)的質(zhì)心在地球同步軌道之上。待繩索下端到達(dá)地面后錨定，航天器到達(dá)遠(yuǎn)端成為天頂錨。雙向展開則是繩索在地球同步軌道處同時向上向下展開，繩索完全展開后，繩索下端在地面錨定，而后地球同步軌道處的航天器向上移動到達(dá)繩索上端作為天頂錨。

研究表明，單向展開只需要對向下展開的繩索進(jìn)行控制，更容易實(shí)現(xiàn)天梯繩索的部署，但展開耗時較長。雙向展開需要同時控制繩索的上下兩端，控制較為復(fù)雜，但是部署時間短。考慮到部署時間與消耗燃料的關(guān)系，目前研究中對于天梯初始繩索構(gòu)建中多采用了雙向展開的繩索部署方式。

2 天梯動力學(xué)研究

前文所述的繩索從地球表面開始延伸到地球同步軌道以上高度的天梯稱作完全天梯(Full space elevator，SE)，也是通常意義上的天梯。2009年Woo提出了部分天梯(Partial space elevator，PSE)的概念。與規(guī)模為10km長的完全天梯不同，部分天梯中連接主衛(wèi)星和子衛(wèi)星的繩索長度較短(通常為10～100 km)，攀爬器在兩衛(wèi)星之間的繩索上爬行。因此部分天梯部署所需時間更短、成本更低、安全性更高，對于繩索的強(qiáng)度要求也相對較低，同時也降低了空間碎片碰撞繩索的風(fēng)險。以目前的技術(shù)來看，部分天梯更容易在近期實(shí)現(xiàn)。本文總結(jié)天梯動力學(xué)的發(fā)展?fàn)顩r，不僅包括完全天梯，還包括部分天梯。

2.1 天梯系統(tǒng)動力學(xué)模型

對于天梯來說，不同動力學(xué)模型的區(qū)別主要在于對天梯繩索的建模。常用的繩索模型包括剛性桿模型、集中質(zhì)量模型和連續(xù)體模型。

1)剛性桿模型

剛性桿模型忽略繩索的彈性，將天梯繩索簡化為剛性桿，包括考慮桿的質(zhì)量和不考慮桿的質(zhì)量的模型。剛性桿模型是最簡單的天梯動力學(xué)模型，容易得到運(yùn)動方程的解析解，但其精度較低，仿真得到的結(jié)果與實(shí)際偏差較大，一般用于對天梯繩索動力學(xué)特性的初步研究，如天梯穩(wěn)定性的研究和天梯繩索展開動力學(xué)特性研究。

2)集中質(zhì)量模型

集中質(zhì)量模型是將天梯繩索離散化成若干段，將每一段的繩索質(zhì)量集中于一個質(zhì)點(diǎn)處，質(zhì)點(diǎn)之間采用無質(zhì)量剛性桿或者無質(zhì)量彈簧連接，分別稱為“剛性桿-珠點(diǎn)”模型和“彈簧-珠點(diǎn)”模型。圖2示出了“彈簧-珠點(diǎn)”模型，該模型能夠表示出繩索展開中繩索長度變化導(dǎo)致的繩索質(zhì)量的變化，同時還能反映繩索的柔性特性，因此在天梯動力學(xué)研究中用于研究天梯部署動力學(xué)問題以及繩索振蕩的抑制問題。Williams考慮到天梯繩索的變截面特點(diǎn)，基于集中質(zhì)量的思想，建立了天梯繩索的絲帶模型，絲帶模型中各離散質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量不同，其質(zhì)量的變化反映了天梯繩索的錐化截面特性，更貼近天梯繩索的真實(shí)情況，是對彈簧-珠點(diǎn)模型的進(jìn)一步發(fā)展。

圖3 彈簧-珠點(diǎn)模型Fig.3 Spring-bead model

3)連續(xù)體模型

連續(xù)體模型直接將天梯繩索作為連續(xù)的柔性體建模，其形式是由一組偏微分矢量方程表示的數(shù)學(xué)模型。連續(xù)體模型雖然最能反映天梯繩索柔性特性，是一種較精確的數(shù)學(xué)模型，但是求解中需要用假定模態(tài)方法或有限差分方法對偏微分方程進(jìn)行離散，模型求解較為復(fù)雜，計(jì)算量龐大。目前采用連續(xù)體模型進(jìn)行的天梯動力學(xué)研究主要集中在天梯完全展開后繩索振蕩的研究上。

此外，早期在對天梯穩(wěn)定性的初步研究中，出現(xiàn)過考慮繩索彈性但不考慮繩索質(zhì)量的模型，該模型中天梯簡化成一個質(zhì)點(diǎn)通過一個長度為的不可伸縮的彈性繩索與地球赤道上的某點(diǎn)連接。為敘述方便我們將該模型稱為無質(zhì)量彈性繩索天梯模型。

2.2 天梯運(yùn)行動力學(xué)研究狀況

對于完全天梯來說，天梯運(yùn)行動力學(xué)是指天梯繩索已經(jīng)完全展開釋放并且地面錨已錨定后的天梯動力學(xué)，即初始部署完成后的情況。對于部分天梯亦指繩索已完全展開。

1)天梯穩(wěn)定性研究

由于地面錨已錨定，因此此時的天梯穩(wěn)定性是指天梯的姿態(tài)穩(wěn)定性，即天梯系統(tǒng)在其靜平衡點(diǎn)附近的姿態(tài)運(yùn)動穩(wěn)定性。Beletskii等將天梯簡化為由一個質(zhì)點(diǎn)和一條無質(zhì)量柔性繩索組成，繩索的下端固定于地球赤道面內(nèi)地球表面某處，另一端與質(zhì)點(diǎn)松散連接。建立了描述天梯在赤道平面內(nèi)運(yùn)動的第一類拉格朗日方程，給出了質(zhì)點(diǎn)與繩索緊連接條件，在此基礎(chǔ)上應(yīng)用相平面方法研究了對應(yīng)6個不同參數(shù)區(qū)域靜平衡位置的運(yùn)動穩(wěn)定性，得到了靜平衡位置運(yùn)動穩(wěn)定性條件同質(zhì)點(diǎn)與繩索張緊連接條件完全一致的結(jié)論。

文獻(xiàn)[35]僅研究了天梯在靜平衡位置面內(nèi)運(yùn)動的穩(wěn)定性問題。而王振坤對天梯穩(wěn)定性的研究同時考慮了面內(nèi)運(yùn)動和面外運(yùn)動?；谛〗嵌冗\(yùn)動假設(shè)，對建立的赤道天梯兩自由度非線性動力學(xué)模型進(jìn)行簡化，應(yīng)用線性穩(wěn)定性定理對其拓?fù)涞葍r的線性化系統(tǒng)的平衡點(diǎn)進(jìn)行穩(wěn)定性分析，得到天梯系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近具有漸進(jìn)穩(wěn)定性特征的結(jié)論。

2)繩索本身的振蕩問題

繩索振蕩是天梯系統(tǒng)的動力學(xué)特性之一，許多學(xué)者采用模態(tài)分析的方法研究繩索的振蕩問題。Cohen等將天梯繩索采用一組可容許的基函數(shù)離散，并利用拉格朗日方程推導(dǎo)離散系統(tǒng)的運(yùn)動方程，在假設(shè)橫向振蕩和縱向振蕩解耦的情況下分別對兩種振蕩形式進(jìn)行了模態(tài)分析，得到了給定繩索特性下天梯的縱向振蕩和橫向振蕩的頻率和相應(yīng)的振型。Ohkawa等采用有限元方法對天梯繩索的連續(xù)體模型進(jìn)行離散，分析了帶有遠(yuǎn)端配重的繩索的橫向和縱向振蕩，發(fā)現(xiàn)遠(yuǎn)端配重能夠減小繩索自由端的位移。此外文獻(xiàn)[38]推導(dǎo)了保證系統(tǒng)穩(wěn)定情況下配重質(zhì)量滿足的不等式關(guān)系。

文獻(xiàn)[37]和[38]在研究繩索的振蕩時均沒有考慮空間環(huán)境的變化對繩索動態(tài)特性的影響，而在實(shí)際中天梯系統(tǒng)處于復(fù)雜的太空環(huán)境中，溫度、輻射等因素都可能會導(dǎo)致繩索的振蕩。Otsuka等假設(shè)天梯系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)，考慮溫度對楊氏模量的影響，采用繩索的集中質(zhì)量模型研究了溫度變化對天梯系統(tǒng)動力學(xué)特性的影響。研究表明，溫度變化會導(dǎo)致繩索的膨脹和收縮進(jìn)而產(chǎn)生科氏力,導(dǎo)致繩索的縱向振蕩和豎直方向上的拉伸和收縮。

3)攀爬器運(yùn)動產(chǎn)生的振蕩問題

天梯系統(tǒng)在軌運(yùn)行期間，需要利用攀爬器進(jìn)行有效載荷的運(yùn)輸，而攀爬器在繩索上運(yùn)動產(chǎn)生的科氏力會引起繩索的振蕩。因此，需要對攀爬器運(yùn)動引起的振蕩進(jìn)行研究。

國內(nèi)外學(xué)者針對這一問題進(jìn)行了大量研究，如表1所示。為了突出攀爬器的影響并簡化研究問題，研究中均忽略繩索本身產(chǎn)生的振蕩。Cohen等采用考慮繩索質(zhì)量的剛性桿模型，研究單個攀爬器在繩索上勻速向上或向下運(yùn)動對天梯繩索天平動的影響。研究表明攀爬器向上或向下運(yùn)動都會導(dǎo)致繩索的天平動，其中向下運(yùn)動導(dǎo)致的振蕩幅度更大，并且攀爬器引起的繩索振蕩是在平衡位置附近的無阻尼振蕩。而Lang利用廣義繩系物體仿真系統(tǒng)(Generalized tethered object simulation system, GTOSS)對天梯進(jìn)行時域模擬研究，獲得了攀爬器向上運(yùn)動并考慮空氣動力載荷時繩索動力學(xué)響應(yīng)和繩索內(nèi)應(yīng)力的數(shù)值結(jié)果。研究中向上運(yùn)動的攀爬器的運(yùn)動方式包括加速減速運(yùn)動、突然剎車等。研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)攀爬器加速和減速運(yùn)動時對繩索的縱向振蕩影響更劇烈。

表1 攀爬器產(chǎn)生的振蕩問題研究狀況Table 1 Research status on oscillation caused by climbers

Williams和Ishikawa等采用集中質(zhì)量繩索模型，并且考慮了天梯繩索變截面特性，研究了單一攀爬器以不同速度在繩索上勻速運(yùn)動對繩索振蕩的影響。研究發(fā)現(xiàn)速度的增加會導(dǎo)致繩索橫向振蕩幅度的增加，并且速度和繩索橫向振蕩振幅之間不為線性關(guān)系。文獻(xiàn)[42]計(jì)算得到攀爬器向上和向下運(yùn)動引起的繩索振蕩周期大約為5天，與Cohen等得到的結(jié)果基本一致。文獻(xiàn)[34]和[42]中還研究了攀爬器質(zhì)量對繩索運(yùn)動的影響，攀爬器質(zhì)量的增加會導(dǎo)致繩索振蕩幅度的增加，但不會影響振蕩的周期。

Ohkawa等采用天梯繩索的連續(xù)體模型推導(dǎo)了單一攀爬器在繩索上運(yùn)動時的運(yùn)動方程，并將運(yùn)動方程表征為一個分布參數(shù)系統(tǒng)，對攀爬器以恒定速度運(yùn)動時天梯繩索的橫向振蕩進(jìn)行了模態(tài)分析。

王振坤采用天梯繩索的剛性桿模型，并通過力來控制攀爬器的運(yùn)動，研究了攀爬器以半正弦函數(shù)加速再勻速最后以半正弦函數(shù)減速的運(yùn)動時，系統(tǒng)面內(nèi)橫向振蕩角度隨時間的變化和科氏力隨時間的變化，研究表明攀爬器運(yùn)行產(chǎn)生的科氏力是造成系統(tǒng)振蕩的外部激勵，并僅在赤道平面內(nèi)對系統(tǒng)造成擾動，極限殘余振蕩角度幅值在10度量級。

上述文獻(xiàn)中使用了兩種攀爬器模型，一種是用攀爬器上方和下方的繩索的長度來表示攀爬器的位置，用攀爬器上方/下方系繩長度的變化率代表攀爬器沿系繩的移動速度，稱作攀爬器的運(yùn)動學(xué)模型。另一種是通過力來控制攀爬器的運(yùn)動，根據(jù)攀爬器在軌道坐標(biāo)系中的當(dāng)前位置定義兩個矢量，通過對兩個矢量進(jìn)行計(jì)算判斷攀爬器所在的繩索位置，通過攀爬器的位置反映攀爬器的運(yùn)動，稱作攀爬器的動力學(xué)模型。Williams基于兩種攀爬器模型對采用運(yùn)動學(xué)攀爬器模型和動力學(xué)攀爬器的天梯系統(tǒng)進(jìn)行了天梯系統(tǒng)的模態(tài)分析，結(jié)果表明兩種不同攀爬器模型下天梯系統(tǒng)的模態(tài)分析結(jié)果基本一致，可見對于研究攀爬器運(yùn)動對天梯繩索振蕩的影響，攀爬器運(yùn)動學(xué)模型的精度滿足要求。

對于部分天梯，也有針對攀爬器產(chǎn)生的振蕩問題的研究。Woo等建立了考慮繩索質(zhì)量的部分天梯的繩索剛性桿模型，使用拉格朗日方程推導(dǎo)了部分天梯的非線性運(yùn)動學(xué)方程，并在平衡位置附近對方程進(jìn)行線性化處理得到數(shù)值解。文中分別研究了單一攀爬器以先加速后勻速最后減速在繩索上向上向下運(yùn)動對繩索的動態(tài)響應(yīng)，其中加速和減速期間速度以正弦函數(shù)形式變化。仿真結(jié)果表明，攀爬器的運(yùn)動導(dǎo)致了部分天梯繩索的振蕩，低頻振蕩占主導(dǎo)地位并且改變系統(tǒng)參數(shù)，如繩索的厚度和攀爬器的質(zhì)量，對響應(yīng)的性質(zhì)影響不大。

而Sun等將部分天梯的繩索近似等效為柔性梁，利用絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)公式建立繩索的動力學(xué)模型，并引入繩索分布質(zhì)量和彈性影響，是一種高精度的動力學(xué)模型。針對主衛(wèi)星和子衛(wèi)星之間兩種不同的空間相對位置，分別研究了單一攀爬器在繩索上向上和向下運(yùn)動對繩索的動態(tài)響應(yīng)。研究發(fā)現(xiàn)主、子衛(wèi)星的相對位置與攀爬器的運(yùn)動方向相比對繩索的動態(tài)響應(yīng)影響可以忽略。

4)攀爬器運(yùn)動引起的繩索振蕩的抑制

國內(nèi)外學(xué)者主要針對部分天梯研究了攀爬器運(yùn)動引起的振蕩的抑制問題，如表2所示。研究中采用的天梯繩索模型包括剛性桿模型和利用絕對節(jié)點(diǎn)坐標(biāo)法建立的高精度有限元模型。其中，剛性桿模型不考慮繩索質(zhì)量，將整個系統(tǒng)按照多體系留系統(tǒng)進(jìn)行處理。有限元模型與剛性桿模型相比，精度更高，文獻(xiàn)[49]中引入可變長度的模型來反映攀爬器沿著繩索的移動以及繩索在末端衛(wèi)星上的展開和收回。

表2 攀爬器運(yùn)動引起的繩索振蕩抑制研究概況Table 2 Research status on oscillation suppression of cable caused by the motion of climbers

學(xué)者們分別針對單個攀爬器和多個攀爬器在天梯繩索上運(yùn)動進(jìn)行了振蕩抑制的研究。對于單個攀爬器，文獻(xiàn)[45]和[49]中攀爬器以恒定速度沿繩索向上和向下運(yùn)動，研究了攀爬器速度對系統(tǒng)天平動的影響，系統(tǒng)的振蕩幅度隨攀爬器速度的增加而增加；研究了在攀爬器運(yùn)動的同時展開端體對系統(tǒng)天平動的影響。文獻(xiàn)[47]和[48]研究了單個攀爬器在繩索上以可變速度運(yùn)動的情況。

Shi等研究了繩索上有三個攀爬器的情況，其中中間的攀爬器靜止不動，兩端的攀爬器可沿繩索上下移動。作者研究了兩端的攀爬器以不同的組合方式運(yùn)動時對繩索振蕩的影響。研究表明攀爬器同時向相反方向移動的天平動幅度小于攀爬器同時向相同方向移動的天平動幅度。

繩索振蕩的控制中選取的控制輸入包括繩索的張力、攀爬器的速度和加速度。文獻(xiàn)[45]針對三體繩系系統(tǒng)，選擇攀爬器下部繩索所受張力作為控制輸入，采用滑模控制律對張力進(jìn)行控制。研究表明這種控制策略對抑制攀爬器的振蕩非常有效。文獻(xiàn)[48]分別采用攀爬器上部繩索所受張力最小的最優(yōu)控制律和攀爬器移動時間最小的最優(yōu)控制律,研究基于天梯系統(tǒng)啞鈴模型和連續(xù)體模型的繩索振蕩的抑制問題，結(jié)果表明,采用高保真連續(xù)體模型和簡單的啞鈴模型獲得的天梯的動態(tài)性能基本一致，高保真模型更適用于驗(yàn)證由啞鈴模型提出的控制策略。同時，文獻(xiàn)[46]選擇移動的攀爬器加速度作為控制輸入通過找到攀爬器速度的最佳軌跡，最小化運(yùn)行時間的成本函數(shù)。文獻(xiàn)[47]選擇攀爬器上端繩索長度變化率和繩索總長的變化率作為控制輸入，采用與攀爬器和子衛(wèi)星相對擺角、擺角變化率以及繩長變化的線性組合的控制律對其進(jìn)行控制。文獻(xiàn)[46]指出，所提出的速度控制比文獻(xiàn)[45]中提出的張力控制有效，同時速度控制能夠轉(zhuǎn)化成張力控制。

為了提升天梯的運(yùn)輸效率，Li等提出了一種具有平行繩索和多攀爬器的部分天梯設(shè)計(jì)。當(dāng)兩條繩索上的攀爬器運(yùn)動相同時，平行繩索的部分天梯可以按照一般的部分天梯進(jìn)行研究。文獻(xiàn)[50]中研究發(fā)現(xiàn)當(dāng)多個攀爬器的瞬時運(yùn)動不同時繩索會發(fā)生碰撞，可能加劇部分天梯的天平動，因此采用平行繩索的設(shè)計(jì)需要對攀爬器的運(yùn)行軌跡進(jìn)行優(yōu)化以避免兩根繩索之間的相互碰撞。在此基礎(chǔ)上，文獻(xiàn)[51]針對平行繩索的部分天梯提出了最小化攀爬器上端加速和最小化系統(tǒng)總擺動的最優(yōu)控制策略，其中系統(tǒng)的總擺角最小化通過控制攀爬器的速度實(shí)現(xiàn)。研究表明，該控制策略在提升運(yùn)輸效率的同時也對平行天梯末端體的天平動起到較好的抑制效果。

2.3 天梯部署動力學(xué)研究狀況

天梯的初始部署是通過繩索展開實(shí)現(xiàn)的。針對天梯系統(tǒng)初始構(gòu)建過程，研究者主要研究了以下三個方面的問題：1)天梯系統(tǒng)的軌道穩(wěn)定性問題；2)天梯繩索展開動力學(xué)與控制問題；3)天梯繩索展開過程中燃料的消耗問題。

1)天梯系統(tǒng)的軌道穩(wěn)定性問題

天梯繩索的初始部署是十分困難的，難點(diǎn)之一是繩索展開過程中天梯的軌道可能是不穩(wěn)定的，因此許多學(xué)者對天梯錨定前繩索展開中的軌道穩(wěn)定性問題以及軌道保持問題進(jìn)行了研究。

Mantri基于繩索展開過程的動力學(xué)仿真對天梯初始部署中的軌道穩(wěn)定性進(jìn)行了研究。為了研究繩索質(zhì)量對展開過程的影響，分別采用不考慮繩索質(zhì)量的啞鈴模型和考慮繩索質(zhì)量的剛性桿-珠點(diǎn)模型對天梯進(jìn)行動力學(xué)建模，假設(shè)繩索從地球同步靜止軌道同時向地球和遠(yuǎn)離地球的方向恒速展開，展開過程中推力器的推力大小相等、方向相反。文中定義天梯軌道偏心率小于等于0.01時，認(rèn)為軌道是穩(wěn)定的。從仿真結(jié)果中發(fā)現(xiàn)，展開過程中當(dāng)繩索長度達(dá)到9×10km時軌道就不穩(wěn)定了，因此無控條件下長度為10km的天梯繩索無法全部展開，可能墜落到地面。Mantri利用有質(zhì)量和無質(zhì)量繩索天梯動力學(xué)模型得到的天梯展開過程中質(zhì)心隨繩長的變化以及面內(nèi)擺角隨繩長的變化十分相似，證明了完全可以采用不考慮繩索質(zhì)量的簡化模型來研究天梯繩索初始部署的軌道穩(wěn)定性問題。

Nicola等采用減少能量動量方法(Reduced energy momentum method, REMM)評估天梯徑向相對平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性。首先采用剛性模型，推導(dǎo)出當(dāng)啞鈴衛(wèi)星兩質(zhì)量間的距離大于軌道半徑的0.63569倍時，啞鈴衛(wèi)星徑向相對平衡位置將失去穩(wěn)定性，即軌道不穩(wěn)定。隨后，采用連續(xù)質(zhì)量繩索模型研究了相對徑向位置穩(wěn)定性問題。研究結(jié)果表明,連續(xù)體模型的天梯系統(tǒng)在展開過程中是不穩(wěn)定的，可以通過在地球靜止軌道上增加衛(wèi)星使系統(tǒng)在展開過程中穩(wěn)定，并且衛(wèi)星的質(zhì)量隨著繩索長度的變化而改變。

Noboru等對天梯繩索已全部展開但繩索下端未錨定情況下天梯的軌道保持問題進(jìn)行了研究。假設(shè)部署過程中燃料沒有消耗，忽略天梯系統(tǒng)天平動的影響。文中設(shè)計(jì)了一條參考軌道，使天梯及其質(zhì)心在保持地球靜止軌道速率的情況下沿地球靜止位置垂直上升。采用推力控制天梯使其能夠跟蹤參考軌跡，同時采用線性控制穩(wěn)定參考軌跡。數(shù)值仿真驗(yàn)證了所提出的軌道控制策略的有效性，但是由于該控制策略基于較為簡單的啞鈴模型，同時沒有考慮部署過程中燃料的消耗帶來的質(zhì)量變化，與實(shí)際情況存在較大差距，仍然需要后續(xù)進(jìn)一步的深入研究。

2)天梯繩索展開動力學(xué)與控制問題

目前天梯繩索展開動力學(xué)控制方面的文獻(xiàn)較少，公開發(fā)表的文獻(xiàn)均是針對雙向展開方案進(jìn)行仿真研究的，對繩索展開中的動力學(xué)行為、繩索展開控制方式的研究并不深入。

Lang研究了繩索無控展開時的情況，發(fā)現(xiàn)如果在繩索展開階段不對繩索進(jìn)行控制，會造成系統(tǒng)質(zhì)心軌道高度不斷降低，最終導(dǎo)致繩索墜毀，部署失敗。隨后Lang提出了分階段展開控制方案，將繩索的展開部署分為初始階段、中間階段、大氣進(jìn)入階段和末階段4個階段。在中間階段對上端體進(jìn)行水平和垂直方向速度控制。文中僅給出了初始段和中間段的仿真結(jié)果，仿真結(jié)束時下端繩索長度已達(dá)35×10km。

Yamagiwa等建立天梯繩索的集中質(zhì)量模型，選擇基于展開速率的控制方式對天梯繩索的展開過程進(jìn)行研究。設(shè)計(jì)了兩種展開控制方案。方案1中,上下端體展開速度均沿鉛垂方向，且繩索展開速度與相應(yīng)端體的速度相同并保持恒定。方案2中,繩索的展開速度是變化的，上下端體鉛垂方向的速度由設(shè)定的繩索張力閾值來控制，并控制端體水平方向位置保持在±250 km范圍內(nèi)。仿真結(jié)果表明，兩種展開控制方案均能實(shí)現(xiàn)繩索的展開。其中，前者展開過程繩索最大橫向振蕩可達(dá)300 km。后者繩索最大橫向振蕩可達(dá)700 km。

3)天梯繩索展開過程中的燃料消耗問題

日本靜岡大學(xué)Yamagiwa教授的團(tuán)隊(duì)對天梯繩索展開過程中燃料消耗問題進(jìn)行了研究。發(fā)現(xiàn)適當(dāng)控制繩索展開速度可以減少消耗推進(jìn)劑的質(zhì)量。但是研究中的上下端端體質(zhì)量并未包含展開過程需消耗的燃料質(zhì)量，也沒有考慮燃料消耗帶來的端體質(zhì)量變化，研究條件與實(shí)際相差較大，會導(dǎo)致仿真結(jié)果與實(shí)際有出入;也沒有討論繩索振蕩導(dǎo)致的天梯無法成功展開的問題。因此，在未來關(guān)于天梯繩索展開控制的研究中，需要研究繩索下端質(zhì)量較大(包含消耗大量推進(jìn)劑的質(zhì)量)情況下繩索展開過程中燃料的消耗問題。

3 天梯動力學(xué)與控制研究的發(fā)展方向

3.1 天梯動力學(xué)建模方面

動力學(xué)模型是研究天梯初始展開部署動力學(xué)特性以及攀爬器運(yùn)行期間天梯繩索動力學(xué)特性的基礎(chǔ)。針對所研究的動力學(xué)問題特點(diǎn)選擇適合的動力學(xué)模型是問題研究的關(guān)鍵。在早期天梯系統(tǒng)運(yùn)行動力學(xué)研究中多采用剛性模型，初步得到了天梯系統(tǒng)基本的動力學(xué)特性。隨后許多學(xué)者采用考慮繩索柔性的集中質(zhì)量模型研究天梯系統(tǒng)初始展開部署中的繩索動力學(xué)特性。針對攀爬器運(yùn)動引起的天梯繩索振蕩問題研究多采用集中質(zhì)量模型和連續(xù)體模型。

然而上述動力學(xué)模型在精細(xì)化上仍存在不足，為了更深入的研究天梯系統(tǒng)展開部署動力學(xué)特性和運(yùn)行中攀爬器與繩索的耦合運(yùn)動特性，未來需要建立更為精確的天梯初始部署動力學(xué)和運(yùn)行動力學(xué)模型，主要考慮以下三方面：

1)考慮繩索截面形狀特性的繩索動力學(xué)模型

按等應(yīng)力設(shè)計(jì)的天梯繩索橫截面尺寸是變化的，目前的繩索模型中僅考慮了繩索橫截面積變化導(dǎo)致的繩索質(zhì)量變化，而沒有考慮繩索的形狀特性。然而繩索截面形狀特性對繩索不同方向彎曲剛度、截面慣性特性、扭轉(zhuǎn)變形等均有影響，因此應(yīng)建立考慮繩索截面形狀特性的繩索動力學(xué)模型。

2)建立精確的攀爬器動力學(xué)模型

攀爬器是天梯系統(tǒng)的重要組成部分。目前對于攀爬器模型多采用運(yùn)動學(xué)模型，也就是通過攀爬器前后繩長的變化來表示攀爬器的位置和速度。雖然也給出了攀爬器的動力學(xué)模型，但給出的各種力模型較粗略，因此需要針對攀爬器的運(yùn)動機(jī)理建立更為精確的攀爬器動力學(xué)模型。

3)對空間環(huán)境力的精確建模

天梯系統(tǒng)動力學(xué)建模需要考慮許多環(huán)境因素，如太陽和熱輻射，大氣中的氣動力，以及太陽和月亮的潮汐力等。其中最主要的環(huán)境力就是氣動力。天梯初始部署中，繩索和繩索下端錨體將跨真空、稀薄大氣、稠密大氣層，大氣特性變化顯著，特別是稠密大氣層內(nèi)，氣動力對繩索展開的動力學(xué)特性有較大影響，因此需對不同區(qū)域繩索和下端體的氣動力進(jìn)行精確建模。

3.2 天梯初始部署中的動力學(xué)與控制問題

天梯系統(tǒng)本質(zhì)上是空間超長繩系系統(tǒng)，天梯繩索的展開過程中由于處于復(fù)雜的空間環(huán)境以及繩索的大柔性，因此表現(xiàn)出十分復(fù)雜的動力學(xué)行為，如果不進(jìn)行有效控制，將存在非常復(fù)雜的動力學(xué)問題，可能會出現(xiàn)繩索打結(jié)、繩索振蕩幅值過大、繩索其它部位先于繩索下端接觸地面等情況。需要考慮繩索的大柔性、強(qiáng)非線性以及復(fù)雜空間環(huán)境等。為保證繩索可靠展開，需要研究繩索展開的軌跡規(guī)劃問題，研究滿足特定任務(wù)要求(擺角要求、展開時間要求等)，同時符合繩索本身的動力學(xué)約束、展開過程中繩索能承受的最大張力等過程約束和繩索上下端體終端約束條件下的最優(yōu)展開軌跡問題。在此基礎(chǔ)上研究最優(yōu)軌跡的跟蹤控制問題，探索新的控制方法，設(shè)計(jì)最佳的繩索展開控制律。

3.3 攀爬器運(yùn)動引起的繩索振蕩及振蕩抑制問題

天梯系統(tǒng)從本質(zhì)上來說是不穩(wěn)定的，這是因?yàn)榕逝榔鬟\(yùn)動過程中作用于攀爬器上的科里奧利力垂直于繩索，會引起繩索的天平動，若這種天平動不被很好地抑制，就會導(dǎo)致天梯系統(tǒng)的傾斜。目前對于單個攀爬器以不同速度、加速度方式運(yùn)動導(dǎo)致的天梯繩索的振蕩已進(jìn)行了詳細(xì)的研究，考慮到天梯的實(shí)際運(yùn)行情況，未來的研究重點(diǎn)應(yīng)是多攀爬器同時運(yùn)動的繩索響應(yīng)問題。此外，關(guān)于繩索振蕩抑制問題，目前都是針對部分天梯進(jìn)行研究的，但部分天梯的繩索長度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于完全天梯的繩索長度，繩索振蕩的幅度遠(yuǎn)小于完全天梯，部分天梯抑制天平動的控制策略不一定適用于完全天梯，需針對完全天梯開展攀爬器運(yùn)動引起的繩索振蕩抑制研究。

4 結(jié)束語

天梯作為一種全新的空間運(yùn)輸概念，逐漸受到國內(nèi)外學(xué)者的廣泛關(guān)注。然而在天梯的構(gòu)建過程中還有許多問題有待解決，其中天梯動力學(xué)與控制問題就是需要解決的重要問題之一。本文回顧了國內(nèi)外天梯動力學(xué)與控制的研究狀況，從天梯動力學(xué)建模、天梯運(yùn)行過程中的繩索動力學(xué)、天梯初始部署動力學(xué)與控制等方面梳理了天梯動力學(xué)與控制中的關(guān)鍵問題，結(jié)合目前研究存在的難點(diǎn)及問題，提出了天梯動力學(xué)與控制研究的后續(xù)發(fā)展方向。

天梯系統(tǒng)是十分復(fù)雜的空間運(yùn)輸系統(tǒng)，雖然目前許多學(xué)者對天梯動力學(xué)與控制問題進(jìn)行了較為深入的研究，對有望成為天梯繩索材料的碳納米管料特性的研究也不斷深入，但建造天梯仍然存在諸多困難和挑戰(zhàn)，包括滿足強(qiáng)度和尺寸要求的天梯繩索的制備、地面錨節(jié)點(diǎn)平臺的選址建造、繩索展開控制、系統(tǒng)完全部署后的在軌穩(wěn)定運(yùn)行等問題。未來研究中需要針對上述難點(diǎn)問題進(jìn)一步進(jìn)行深入研究以尋找解決途徑。