劉淑紅，范金錄，朱永全

（1.石家莊鐵道大學 工程力學系，河北 石家莊 050043；2.石家莊鐵道大學 土木工程學院，河北 石家莊 050043）

由于交通、采礦、水利水電、軍工及其他民用地下工程發(fā)展的需要，隧道與地下工程的建設發(fā)展迅猛，隧道的開挖改變了圍巖的應力狀態(tài)，且在圍巖產(chǎn)生塑性區(qū)。圍巖的應力狀態(tài)和塑性區(qū)是圍巖穩(wěn)定性評價和支護結(jié)構(gòu)設計的重要理論依據(jù)，并因此越來越受到學術界和工程界的廣泛關注。

未襯砌隧道也被稱為毛洞，可以看成無限大彈性體中的孔洞問題，復變函數(shù)解法是解決此類問題最有效的方法。在應用復變函數(shù)法求解圍巖的應力和位移解析解時，其中最為關鍵的一點是求解毛洞的映射函數(shù)。只有簡單形狀的孔口，如橢圓形孔，才有精確的映射函數(shù)。而由于圍巖級別的不同和隧道功能的日趨多樣，當下隧道的形狀也越來越多樣，對實際的毛洞，只能取級數(shù)的有限項組成的近似映射函數(shù)，現(xiàn)已有多種近似求法[1?4]。

基于復變函數(shù)方法，國內(nèi)外學者對于隧道圍巖彈性力學特性進行了大量研究，取得了較為豐碩的成果。施高萍等[5]獲得了不同跨高比和側(cè)壓力系數(shù)對矩形巷道邊應力分布的影響規(guī)律。唐治等[6]得出了直墻拱形巷道圍巖應力的解析表達式，分析了沿巷道邊界和巷道水平線方向的應力分布規(guī)律。近年來，很多學者推導出不同形狀隧道圍巖應力和位移的解析解表達式，如：Exadaktylos等[7]、Guan 等[8]、鄧濤等[9]、施有志等[10]分別研究了半圓形、馬蹄形和直墻拱形隧道，計算得到沿隧道邊的環(huán)向應力和位移的分布，并利用不同的數(shù)值軟件進行了驗證。劉淑紅等[11]利用有限元軟件AN?SYS，對曲墻馬蹄形斷面隧道考慮開挖引起的應力和位移的解析解進行了驗證。李巖松等[12]得到了非圓形隧道襯砌和圍巖應力及變形的解析解。扈世民等[13]采用有限元軟件ABAQUS數(shù)值模擬與現(xiàn)場監(jiān)測相結(jié)合的方法，研究了隧道開挖后，黃土圍巖應力場、位移場與塑性區(qū)的變化規(guī)律。宋浩然等[14]基于復變函數(shù)方法，借助Verruijt提供的保角映射公式，得到地面荷載及圍巖自重作用下淺埋隧道的圍巖應力場。

在圍巖中開挖隧道時會同時誘發(fā)隧道周圍的塑性區(qū)。塑性區(qū)的延伸又會增加襯砌的壓力，從而不可避免地降低隧道的安全性。針對處于雙軸不等擠壓應力狀態(tài)下的圍巖，Behnam等[15]、郭曉菲等[16]、Guo 等[17]、董海龍等[18]分別得到了圓形隧道附近塑性區(qū)范圍的解析解。高召寧等[19]兼顧了非軸對稱荷載作用和滲流場作用，得到了圓形隧道圍巖的應力和塑性區(qū)表達式。項彥勇等[20]提出了一個預測承載地層的圓形地鐵隧道開挖引起地層二次應力，及塑性區(qū)形狀和范圍的理論方法。郭佳奇等[21]利用圓形孔口塑性區(qū)研究成果，采用復變函數(shù)方法分析了橢圓孔口塑性區(qū)分布。Xu等[22]在考慮卸壓效果的基礎上提出了在圓形隧道頂?shù)装彘_槽的方法，實際上變成了兩個帶裂紋的圓形隧道的塑性區(qū)問題。Shi等[23]研究了馬蹄形隧道與隱伏溶洞之間的塑性區(qū)，得到能夠保證巖石安全的厚度計算方法。李鵬飛等[24]考慮應力釋放，得到了深埋圓形隧道襯砌的應力和變形的彈塑性解。

從上面文獻中可以看到，相關成果側(cè)重于對隧道毛洞圍巖中應力和位移的分布研究，并用數(shù)值方式進行了驗證，但多數(shù)成果只給出了沿簡單形狀毛洞邊的應力或位移的分布；塑性區(qū)范圍的研究多基于圓形毛洞圍巖，但由于數(shù)學的復雜性，少有關于工程中常見的非圓形毛洞圍巖的塑性區(qū)分布研究。

本文重點研究實際工程中常見的非圓形隧道毛洞圍巖的應力和塑性區(qū)。根據(jù)彈性理論，將長大深埋隧道毛洞圍巖簡化為帶有孔洞的無限大圍巖受雙向擠壓應力的平面應變問題。采用復變函數(shù)方法，推導得到隧道毛洞圍巖應力的解析解。將其代入Drucker-Prager屈服準則，估算出圍巖的塑性區(qū)范圍。以大斷面雙線鐵路隧道為例，首先，通過搜索邊界映射點的方法得到隧道毛洞的映射函數(shù)；其次，為證明應力解析解的正確性，給出隧道毛洞附近圍巖的應力分布；最后，討論了在較大與較小豎向擠壓應力作用下，側(cè)壓力系數(shù)對隧道毛洞圍巖塑性區(qū)的影響。

1 問題及彈性應力的解

圖1是平面應變狀態(tài)下，無限大非圓形隧道毛洞圍巖受雙向擠壓應力的荷載結(jié)構(gòu)示意圖。圖中：x軸為豎直軸，隧道結(jié)構(gòu)和荷載均關于豎直軸對稱；y軸為水平軸；巖體豎向無窮遠處應力為σ∞x；側(cè)壓系數(shù)為λ。

圖1 非圓形隧道毛洞荷載結(jié)構(gòu)示意圖

1.1 基本方程

1.2 求解應力函數(shù)

2 估算塑性區(qū)

3 算 例

以工程中常見的大斷面雙線鐵路隧道為例，先求出隧道毛洞的映射函數(shù)及隧道毛洞附近圍巖的應力分布，驗證上述推導過程得到的非圓形隧道毛洞圍巖應力解析解的正確性；再討論不同荷載作用下，隧道毛洞圍巖的塑性區(qū)分布規(guī)律。

3.1 映射函數(shù)

以Ⅳ級圍巖中的某座非圓形雙線鐵路隧道為例，給出了隧道毛洞的映射函數(shù)。此處圍巖的材料參數(shù)分別取值為：泊松比μ=0.32，黏聚力c=0.5 MPa，內(nèi)摩擦角φ=30°。采用搜索邊界映射點的方法[4]，得到該隧道毛洞的映射函數(shù)系數(shù)分別為：C1=0.653 4，C2=6.299 0，C3=?0.491 5，C4=0.306 7，C5=?0.148 3，C6=0.044 5，C7=0.003 8，C8=?0.014 9，C9=0.010 8，C10=?0.005 8，C11=0.003 8，C12=?0.002 9，C13=0.000 9，C14=0.001 9。隧道毛洞的實際洞形和映射洞形如圖2所示（坐標系以拱頂所在圓弧的圓心為原點）。由圖2可以看出，映射洞形和實際洞形吻合性較好，說明映射函數(shù)足夠精確。

圖2 實際洞形與映射洞形

3.2 應力分布

通過映射函數(shù)便可得到圍巖中的應力函數(shù)，并在此基礎上進一步求得隧道毛洞附近圍巖的應力分布。

圖3 應力等值線云圖（單位：MPa）

3.3 塑性區(qū)分布

在豎向擠壓應力較小與較大2種情況下，側(cè)壓系數(shù)不同時隧道毛洞圍巖的塑性區(qū)分布也不同。

圖4 不同側(cè)壓系數(shù)的塑性區(qū)（=1.3 MPa）

圖5 不同側(cè)壓系數(shù)的塑性區(qū)（=4.0 MPa）

由圖4和圖5可以進一步看出：側(cè)壓系數(shù)一定時，隨著荷載的增加，塑性區(qū)的范圍增大，且形狀發(fā)生改變；拱腰處塑性區(qū)主要由豎向擠壓應力產(chǎn)生，拱頂與仰拱處塑性區(qū)主要由水平擠壓應力產(chǎn)生。因此，在隧道設計和施工過程中，當圍巖側(cè)壓系數(shù)較小或較大時，須分別在拱腰、拱頂與仰拱處加強支護。

4 結(jié) 論

（1）在非圓形隧道毛洞附近存在明顯的應力集中。正應力關于豎直軸對稱，切應力關于豎直軸反對稱。離毛洞邊4倍毛洞寬度處，應力值穩(wěn)定，趨于所加荷載。

（2）當豎向擠壓應力較小時，側(cè)壓系數(shù)的改變影響隧道毛洞圍巖塑性區(qū)的位置。側(cè)壓系數(shù)較小時，拱腰處最早出現(xiàn)塑性區(qū)。隨著側(cè)壓系數(shù)的增大，逐漸向拱腳處移動。隨著側(cè)壓系數(shù)的繼續(xù)增大，拱頂處開始出現(xiàn)塑性區(qū)，拱腳處塑性區(qū)向仰拱中心擴展，并連成一體。

（3）當豎向擠壓應力較大時，側(cè)壓系數(shù)的改變影響隧道毛洞圍巖塑性區(qū)的形狀。隨著側(cè)壓系數(shù)的增大，塑性區(qū)的范圍由拱腰和拱腳處向拱頂和仰拱處擴展，隨后整個孔邊都出現(xiàn)塑性區(qū)。隨著側(cè)壓系數(shù)的繼續(xù)增大，拱腰和拱腳處塑性區(qū)變化不大，但拱頂和仰拱處塑性區(qū)范圍持續(xù)增加。

（4）側(cè)壓系數(shù)一定時，隨著荷載的增加，塑性區(qū)的范圍增大，且形狀發(fā)生改變。拱腰處塑性區(qū)主要由豎向擠壓應力產(chǎn)生，拱頂與仰拱處塑性區(qū)主要由水平擠壓應力產(chǎn)生。在隧道設計和施工過程中，當圍巖側(cè)壓系數(shù)較小或較大時，須分別在拱腰、拱頂與仰拱處加強支護。