金 波，郭佑星，王青元，孫鵬飛，馮曉云

（西南交通大學(xué) 電氣工程學(xué)院，四川 成都 611756）

近年來，我國(guó)城市化進(jìn)程不斷加快，城市圈范圍不斷擴(kuò)大，城市軌道交通領(lǐng)域既有線路延長(zhǎng)增站、超長(zhǎng)線路投入運(yùn)營(yíng)等情況時(shí)有發(fā)生，線路覆蓋的空間范圍也隨之不斷擴(kuò)大[1]。同時(shí)，居民出行因受到城市功能區(qū)域劃分影響而呈現(xiàn)一定的不均衡性，導(dǎo)致城市軌道交通客流需求出現(xiàn)時(shí)間和空間上的差異。為此，城市軌道交通運(yùn)營(yíng)方常采用大小交路開行方案，以便在滿足旅客運(yùn)輸需求的同時(shí)降低運(yùn)營(yíng)成本[2]。大小交路開行方案是列車開行方案的重要組成部分之一，規(guī)定了各運(yùn)營(yíng)時(shí)段內(nèi)不同交路類型的列車開行對(duì)數(shù)。大小交路的時(shí)刻表在編制過程中，需根據(jù)客流需求合理安排不同交路類型的列車開行次序和開行間隔[3-5]，從而明確各車次對(duì)應(yīng)的交路類型和到發(fā)時(shí)刻；大小交路的車底運(yùn)用計(jì)劃也需要根據(jù)車次的交路類型來調(diào)整中間和終端折返站的車底接續(xù)關(guān)系，從而明確各車次對(duì)應(yīng)的車底編號(hào)?？梢哉f，作為一種能夠平衡線路客流時(shí)空差異的有效方法，大小交路開行方案對(duì)時(shí)刻表和車底運(yùn)用計(jì)劃的編制均提出了更高的要求。

既有關(guān)于大小交路開行方案的研究中，部分學(xué)者主要關(guān)注于時(shí)刻表編制問題。文獻(xiàn)[1]針對(duì)考慮時(shí)變客流和大小交路的時(shí)刻表優(yōu)化問題，充分分析了大小交路開行方案對(duì)乘客等待時(shí)間和列車滿載率等指標(biāo)的影響。文獻(xiàn)[6]研究了不同大小交路開行方案對(duì)時(shí)刻表旅客服務(wù)質(zhì)量的影響，并通過混合整數(shù)規(guī)劃方法確定了最佳的小交路折返站位置和小交路開行頻次。文獻(xiàn)[7]在考慮共線交路形式下列車運(yùn)行合理排布、列車車次在換乘節(jié)點(diǎn)銜接優(yōu)化、車場(chǎng)的有效利用以及延誤影響等問題的基礎(chǔ)上，提出了共線交路時(shí)刻表編制方法。也有部分學(xué)者主要關(guān)注大小交路開行方案下的車底運(yùn)用計(jì)劃編制問題。文獻(xiàn)[8]在已知時(shí)刻表的基礎(chǔ)上，分別對(duì)不同時(shí)段內(nèi)的車底資源進(jìn)行合理安排，指定車底對(duì)應(yīng)的列車車次、出入車場(chǎng)等，從而實(shí)現(xiàn)滿足大小交路開行方案的車底運(yùn)用計(jì)劃編制。文獻(xiàn)[9]分析了不同大小交路方案對(duì)車底運(yùn)用計(jì)劃的影響，并給出了不同方案下的車底運(yùn)用數(shù)量計(jì)算數(shù)學(xué)模型。上述文獻(xiàn)均將時(shí)刻表和車底運(yùn)用計(jì)劃編制作為相互獨(dú)立的過程進(jìn)行研究，但將時(shí)刻表作為車底運(yùn)用計(jì)劃制定的前提和基礎(chǔ)，通過反復(fù)改進(jìn)得到可行開行方案的形式，不僅會(huì)導(dǎo)致編制流程復(fù)雜化，還會(huì)降低開行方案的質(zhì)量。

有學(xué)者進(jìn)一步提出了時(shí)刻表和車底運(yùn)用計(jì)劃協(xié)同優(yōu)化方法，如文獻(xiàn)[10]針對(duì)單一交路情況，綜合考慮運(yùn)營(yíng)成本和乘客出行費(fèi)用，并引入運(yùn)行安全、資源限制、列車容納能力等約束條件，構(gòu)建了城市軌道交通時(shí)刻表和車底運(yùn)用計(jì)劃協(xié)同優(yōu)化模型，但這種協(xié)同優(yōu)化的方法增加了模型的求解難度。文獻(xiàn)[11]在處理時(shí)刻表和車底運(yùn)用計(jì)劃協(xié)同優(yōu)化問題時(shí)提出了迭代非線性、混合整數(shù)線性規(guī)劃和近似混合線性整數(shù)3種求解方法，并對(duì)比了不同方法的求解效果。然而，文獻(xiàn)[10—11]僅針對(duì)單一交路情況下的協(xié)同優(yōu)化問題，無法處理大小交路開行方案場(chǎng)景。

基于上述既有研究成果中的不足，本文對(duì)大小交路開行方案下的時(shí)刻表與車底運(yùn)用計(jì)劃協(xié)同優(yōu)化問題進(jìn)行研究。在考慮大小交路開行方案對(duì)時(shí)刻表與車底運(yùn)用計(jì)劃影響的基礎(chǔ)上，以發(fā)車間隔、車底接續(xù)關(guān)系和大小交路開行次序?yàn)闆Q策變量，構(gòu)造能夠滿足大小交路開行方案下時(shí)刻表與車底運(yùn)用計(jì)劃編制要求的10個(gè)約束條件，建立以提升時(shí)刻表服務(wù)質(zhì)量和降低車底運(yùn)用成本為目標(biāo)的協(xié)同優(yōu)化模型。為求解該模型，引入輔助變量，將其重構(gòu)為混合整數(shù)線性規(guī)劃模型。依托廣州市地鐵2號(hào)線某工作日下的實(shí)際運(yùn)營(yíng)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)例分析，驗(yàn)證本文提出的城市軌道交通時(shí)刻表與車底運(yùn)用計(jì)劃協(xié)同優(yōu)化方法的有效性。

1 問題描述

城市軌道交通列車運(yùn)行計(jì)劃制定過程通常包括5個(gè)子過程，分別是：運(yùn)輸需求分析、列車開行方案制定、時(shí)刻表編制、車底運(yùn)用計(jì)劃編制和乘務(wù)安排計(jì)劃編制，各子過程依次進(jìn)行，如圖1所示[12]。在列車開行方案制定時(shí)，需要根據(jù)運(yùn)輸需求，合理確定列車停站計(jì)劃和列車交路計(jì)劃；其中的列車交路計(jì)劃制定時(shí)還需根據(jù)客流密度，合理確定各時(shí)段內(nèi)不同交路的開行數(shù)量，從而平衡服務(wù)質(zhì)量與運(yùn)營(yíng)成本。在時(shí)刻表編制時(shí)，需要根據(jù)制定好的列車開行方案，在注意發(fā)車間隔均衡性[13]的基礎(chǔ)上設(shè)定列車在車站等設(shè)施的到發(fā)時(shí)間。在車底運(yùn)用計(jì)劃編制時(shí)，需要根據(jù)制定好的列車開行方案以及時(shí)刻表，設(shè)定車底銜接關(guān)系。在乘務(wù)安排計(jì)劃編制時(shí)，則需要在完成上述工作的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步明確司機(jī)一段時(shí)間內(nèi)值乘的工作方案。

圖1 列車運(yùn)行計(jì)劃制定過程示意圖

在傳統(tǒng)的列車運(yùn)行計(jì)劃制定過程中，時(shí)刻表與車底運(yùn)用計(jì)劃編制作為流程中2個(gè)相互獨(dú)立的子過程往往需要單獨(dú)優(yōu)化與調(diào)整，但如果能統(tǒng)籌考慮這2個(gè)子過程，就可以在簡(jiǎn)化編制流程的同時(shí)提升列車運(yùn)行計(jì)劃質(zhì)量[10]，即：綜合考慮時(shí)刻表與車底運(yùn)用計(jì)劃的約束和目標(biāo)，協(xié)同完成兩者的編制。

對(duì)于大小交路開行方案下的列車運(yùn)行計(jì)劃，時(shí)刻表與車底運(yùn)用計(jì)劃的協(xié)同編制會(huì)比僅考慮單一交路時(shí)更為復(fù)雜，主要體現(xiàn)在以下2個(gè)方面。

（1）大小交路開行方案對(duì)時(shí)刻表產(chǎn)生影響。時(shí)刻表與旅客服務(wù)質(zhì)量密切相關(guān)，若發(fā)車間隔取值波動(dòng)較大，將增加旅客等待時(shí)間；大小交路開行方案下的時(shí)刻表編制更應(yīng)當(dāng)注意車次交路的均衡性，若不同交路類型的車次發(fā)車間隔不均衡，將造成非共線區(qū)段的旅客等待時(shí)間過長(zhǎng)。

（2）大小交路開行方案對(duì)車底運(yùn)用計(jì)劃產(chǎn)生影響。若某線路可開行大小交路列車，則該線路上的折返站數(shù)量不會(huì)少于2個(gè)，車底周轉(zhuǎn)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)因此將更為復(fù)雜；車底周轉(zhuǎn)同時(shí)還會(huì)受限于交路類型，例如車底獨(dú)立運(yùn)用時(shí)，運(yùn)用于某一交路上的車底將不會(huì)再擔(dān)任其他交路的運(yùn)用任務(wù)，因此車底接續(xù)時(shí)還需要考慮車底對(duì)應(yīng)的交路類型。

以某采用大小交路開行方案的線路為例進(jìn)行說明。該線路上設(shè)有2個(gè)折返站，按交路可將運(yùn)行區(qū)段劃分為大小交路重疊的共線區(qū)段和未重疊的非共線區(qū)段，如圖2所示。圖中：hi和hj分別為上行車次i和下行車次j的發(fā)車間隔。由圖2可知，給定列車交路計(jì)劃的情況下，協(xié)同優(yōu)化時(shí)刻表和車底運(yùn)用計(jì)劃時(shí)，需要在滿足實(shí)際運(yùn)營(yíng)約束的基礎(chǔ)上平衡上、下行列車的發(fā)車間隔hi和hj，協(xié)調(diào)大小交路的車底接續(xù)關(guān)系。這即是本文要重點(diǎn)解決的問題。

圖2 大小交路開行方案的時(shí)刻表

2 時(shí)刻表與車底運(yùn)用計(jì)劃協(xié)同優(yōu)化模型

2.1 參數(shù)與變量定義

定義如下模型參數(shù)：I為上行車次集合，i∈I；J為下行車次集合，j∈J；Nf和Ns分別為大交路和小交路的車次數(shù)量；[tsta，tend]為優(yōu)化時(shí)間段；[hmin，hmax]為發(fā)車間隔取值范圍；為折返作業(yè)最短時(shí)間，s；分別為共線區(qū)段上行和下行的旅行時(shí)間，s；w1和w2為目標(biāo)函數(shù)權(quán)重系數(shù)；M為1個(gè)極大正值；ε為1個(gè)極小正值；為非共線區(qū)段上行轉(zhuǎn)下行的總旅行時(shí)間（包括從共線區(qū)段終到站到非共線區(qū)段終到站和從非共線區(qū)段終到站到共線區(qū)段終到站的旅行時(shí)間），s；為非共線區(qū)段下行轉(zhuǎn)上行的總旅行時(shí)間，s。

除hi和hj之外，為體現(xiàn)車底接續(xù)關(guān)系和大小交路開行次序，再定義如下4對(duì)0-1決策變量：δi和δj分別確定車次i和車次j的交路類型，若為大交路取值為1，否則取值為0；γi和γj分別確定車次i和車次j的車底來源，若不來自車場(chǎng)則取值為1，否則取值為0；ηi和ηj分別確定車次i和車次j的車底是否進(jìn)入車場(chǎng)，若車底不進(jìn)入車場(chǎng)則取值為1，否則取值為0；分別判斷上行車次i與下行車次j、下行車次j與上行車次i車底的接續(xù)關(guān)系，若產(chǎn)生車底接續(xù)則取值為1，否則取值為0。

2.2 目標(biāo)函數(shù)

提升旅客服務(wù)質(zhì)量[14]和降低運(yùn)營(yíng)成本[15]是城市軌道交通列車運(yùn)行計(jì)劃優(yōu)化的主要目標(biāo)，因此提出的目標(biāo)函數(shù)由這2個(gè)目標(biāo)組成，分別是總發(fā)車間隔偏差Z1和總車底出入庫次數(shù)Z2，即

時(shí)刻表的旅客服務(wù)質(zhì)量與發(fā)車間隔偏差密切相關(guān)，偏差越小，旅客等待時(shí)間越小，服務(wù)質(zhì)量越高?？偘l(fā)車間隔偏差Z1為上、下行累計(jì)發(fā)車間隔偏差，可以表示為

其中，

式中：為平均發(fā)車間隔，s。

車底出入庫次數(shù)又直接影響到完成運(yùn)輸任務(wù)所需車底的作業(yè)成本，如果某車次的車底來自車場(chǎng)而非與其他車次產(chǎn)生接續(xù)，則γi或γj取值為0，并計(jì)為出入庫1次?？傑嚨壮鋈霂齑螖?shù)Z2為上、下行累計(jì)出入庫次數(shù)，可以表示為

2.3 約束條件

模型共包含10個(gè)約束條件。其中：共線區(qū)段車次始發(fā)與終到時(shí)間約束、優(yōu)化時(shí)間段約束和發(fā)車間隔約束這3個(gè)約束條件與時(shí)刻表相關(guān)，大小交路車次數(shù)量約束和大小交路車次均衡約束這2個(gè)約束條件與大小交路相關(guān)，車底接續(xù)唯一性約束、車底出入庫作業(yè)約束、車底接續(xù)的交路類型約束、車底接續(xù)的接續(xù)時(shí)間約束和折返作業(yè)的到發(fā)間隔約束這5個(gè)約束條件與車底接續(xù)相關(guān)。

3 混合整數(shù)線性規(guī)劃求解方法

4 實(shí)例分析

依托廣州市地鐵2號(hào)線某工作日下的實(shí)際運(yùn)營(yíng)數(shù)據(jù)進(jìn)行實(shí)例分析。首先選取運(yùn)行時(shí)段[7：00—8：00]進(jìn)行實(shí)際與優(yōu)化方案對(duì)比分析，驗(yàn)證所提出方法再降低車底使用成本和提升服務(wù)質(zhì)量方面的優(yōu)化效果；然后對(duì)復(fù)雜交路計(jì)劃和長(zhǎng)時(shí)段場(chǎng)景進(jìn)行了分析，驗(yàn)證所提出方法對(duì)于復(fù)雜交路計(jì)劃情況的適用性。該線路共有車站24座，車場(chǎng)2個(gè)，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖3所示。圖中：GZN站—JHWG站為大交路區(qū)段，JTL站—SYL站為小交路區(qū)段，JTL站和SYL站均為折返站。該線路發(fā)車間隔最小和最大值分別為120和360 s，折返站的最小折返作業(yè)時(shí)間為120 s，上、下行折返站的停站時(shí)間為45 s，最小到發(fā)間隔為60 s，共線區(qū)段和非共線區(qū)段的旅行時(shí)間見表1。

圖3 廣州地鐵2號(hào)線拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)

表1 共線區(qū)段和非共線區(qū)段的旅行時(shí)間

模型求解時(shí)，仿真運(yùn)行的計(jì)算機(jī)硬件環(huán)境為Intel（R）Core（TM）i5-6200U CPU，主頻2.40GHz，內(nèi)存8 GB；軟件環(huán)境為Windows10系統(tǒng)，使用MATLAB調(diào)用CPLEX。

4.1 實(shí)際與優(yōu)化方案對(duì)比仿真

選取某工作日運(yùn)行時(shí)段7：00—8：00的時(shí)刻表進(jìn)行優(yōu)化。該時(shí)段內(nèi)的大小交路開行對(duì)數(shù)分別為18對(duì)和9對(duì)，大小交路車次數(shù)比例κ為2。本模型僅關(guān)注優(yōu)化時(shí)段內(nèi)的時(shí)刻表與車底運(yùn)用計(jì)劃優(yōu)化，并未考慮相鄰時(shí)段列車運(yùn)行線對(duì)本時(shí)段內(nèi)車底接續(xù)的影響，因此優(yōu)化時(shí)段內(nèi)的車底出入庫次數(shù)可按總車次數(shù)與總車底接續(xù)數(shù)之差計(jì)算。仿真時(shí)，首先進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化，分別獲得Z'*1和Z*2的取值為24.90和38.00；再根據(jù)式（44）和式（45），分別計(jì)算得到w1和w2的取值為0.040和0.026；然后利用CPLEX求解，得到優(yōu)化方案的目標(biāo)函數(shù)值見表2，優(yōu)化方案求解時(shí)間為54 s?；谔岢龅幕旌险麛?shù)線性規(guī)劃方法獲得優(yōu)化方案的時(shí)刻表，如圖4所示。

表2 優(yōu)化方案的目標(biāo)函數(shù)值

圖4 優(yōu)化方案時(shí)刻表

由表2可知：在不改變大小交路開行方案的情況下，優(yōu)化方案在運(yùn)行時(shí)段7：00—8：00的車底出入庫次數(shù)比實(shí)際方案下降4.65%，總發(fā)車間隔偏差下降94.80%，總目標(biāo)函數(shù)下降89.85%，這表明提出的優(yōu)化方法可以在降低時(shí)刻表運(yùn)營(yíng)成本的同時(shí)提高服務(wù)質(zhì)量。

由表2和圖4可知：在兼顧運(yùn)營(yíng)成本和服務(wù)質(zhì)量的情況下，模型中的約束確保了時(shí)刻表的可行性、大小交路的開行數(shù)量、以及車次的接續(xù)關(guān)系與時(shí)間等指標(biāo)均能滿足實(shí)際運(yùn)營(yíng)要求；形成的運(yùn)行圖實(shí)現(xiàn)了小交路與大交路均衡排布，能夠提高非共線區(qū)段旅客服務(wù)質(zhì)量，這說明模型中的約束式和式能夠確保不同類型交路的均衡性。

4.2 長(zhǎng)時(shí)段下復(fù)雜交路計(jì)劃仿真

在運(yùn)行時(shí)段7：00—8：00的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步選取該工作日運(yùn)行時(shí)段7：00—11：00的時(shí)刻表進(jìn)行優(yōu)化。該時(shí)段內(nèi)的列車交路計(jì)劃人為設(shè)定為見表3。由表3可知，相較于上一案例，該案例運(yùn)行時(shí)段的時(shí)間寬度更長(zhǎng)，而且大小交路的車次比例跟隨時(shí)間不斷變化，相應(yīng)地列車交路計(jì)劃也更為復(fù)雜。特別地，運(yùn)行時(shí)段10：00—11：00的小交路開行數(shù)量為零，那么大小交路車次均衡約束式（17）和式（18）不需要考慮。

表3 復(fù)雜交路計(jì)劃和長(zhǎng)時(shí)段仿真的列車交路計(jì)劃

為驗(yàn)證所提出的優(yōu)化方法對(duì)于復(fù)雜交路計(jì)劃和長(zhǎng)時(shí)段問題求解的可行性與適用性，按表3進(jìn)行仿真。仿真時(shí)，首先進(jìn)行單目標(biāo)優(yōu)化，分別獲得和的取值為240和43；再根據(jù)式（44）和式（45），分別計(jì)算得到w1和w2的取值為0.004和0.024；然后利用CPLEX求解，得到優(yōu)化方案的總發(fā)車間隔偏差為240 s，車底出入庫次數(shù)為43次，求解時(shí)間為115 s。優(yōu)化方案對(duì)應(yīng)的時(shí)刻表如圖5所示，車底運(yùn)用計(jì)劃見表4。表中：車次編號(hào)按照始發(fā)站的發(fā)車時(shí)間依次設(shè)置為1，2，…，81；u和d分別表示車次運(yùn)行方向?yàn)樯闲泻拖滦小?/p>

圖5 復(fù)雜交路計(jì)劃和長(zhǎng)時(shí)段仿真下的優(yōu)化方案時(shí)刻表

表4 復(fù)雜交路計(jì)劃和長(zhǎng)時(shí)段仿真的車底運(yùn)用計(jì)劃

由圖5和表4可知：大小交路的排布和開行數(shù)量，以及車次的接續(xù)關(guān)系與時(shí)間均滿足約束要求，符合實(shí)際應(yīng)用要求；對(duì)于小交路，在開始階段（時(shí)段8：00—9：00）車底從車場(chǎng)出發(fā)進(jìn)行小交路車次運(yùn)輸任務(wù)，在結(jié)束階段（時(shí)段9：00—10：00）車底完成小交路運(yùn)輸任務(wù)后返回車場(chǎng)；小交路列車在中間折返站進(jìn)行折返作業(yè)，能夠確保車底有序接續(xù)。

仿真結(jié)果表明：即便是對(duì)于長(zhǎng)時(shí)段下的復(fù)雜交路情況，提出的優(yōu)化方法同樣可以在兼顧時(shí)刻表與車底運(yùn)用效率的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)一體化編制；在計(jì)算效率方面，由于問題規(guī)模和求解復(fù)雜度有所提升，優(yōu)化時(shí)間相應(yīng)上升，但仍然滿足時(shí)刻表與車底運(yùn)用計(jì)劃離線編制要求。

5 結(jié)語

本文在分析大小交路開行方案對(duì)時(shí)刻表與車底運(yùn)用計(jì)劃影響的基礎(chǔ)上，提出了考慮大小交路的城市軌道交通時(shí)刻表與車底運(yùn)用計(jì)劃協(xié)同優(yōu)化方法，包括時(shí)刻表與車底運(yùn)用計(jì)劃協(xié)同優(yōu)化模型及相應(yīng)的求解方法。設(shè)計(jì)協(xié)同優(yōu)化模型的目標(biāo)函數(shù)由2個(gè)優(yōu)化目標(biāo)組成，分別是：從發(fā)車間隔層面提升旅客服務(wù)質(zhì)量和從車底周轉(zhuǎn)層面降低運(yùn)營(yíng)成本；將發(fā)車間隔、車底接續(xù)關(guān)系和大小交路開行次序作為決策變量，構(gòu)建出10組能夠統(tǒng)籌大小交路開行方案下時(shí)刻表和車底運(yùn)用計(jì)劃二者關(guān)系的約束條件。為使模型可以被有效求解，又引入輔助變量，將提出的協(xié)同優(yōu)化模型重構(gòu)為混合整數(shù)線性規(guī)劃模型。依托廣州地鐵2號(hào)線實(shí)際運(yùn)營(yíng)數(shù)據(jù)進(jìn)行仿真的實(shí)例結(jié)果表明，優(yōu)化方案較實(shí)際方案可降低車底出入庫次數(shù)約4.65%，降低總發(fā)車間隔偏差約94.80%，證明了本文提出的協(xié)同優(yōu)化方法不僅能在完成列車運(yùn)行計(jì)劃的情況下從發(fā)車間隔層面提升旅客服務(wù)質(zhì)量、有效降低車底使用成本，還可適用于長(zhǎng)時(shí)段下復(fù)雜交路計(jì)劃的情況。實(shí)例分析也同時(shí)表明，本文方法能夠切實(shí)簡(jiǎn)化對(duì)時(shí)刻表和車底運(yùn)用計(jì)劃的編制流程，以一體化優(yōu)化的形式避免計(jì)劃編制時(shí)對(duì)二者的反復(fù)修改，有效降低不均衡客流下的列車運(yùn)行計(jì)劃編制難度，而這正是本研究與既往研究中將大小交路情況下時(shí)刻表和車底運(yùn)用計(jì)劃作為獨(dú)立問題分別攻克的最大不同。

本文僅從發(fā)車間隔的角度評(píng)價(jià)旅客服務(wù)質(zhì)量。后續(xù)研究中，還可對(duì)服務(wù)質(zhì)量的評(píng)價(jià)指標(biāo)進(jìn)行適當(dāng)細(xì)化，并進(jìn)一步考慮客流特性對(duì)大小交路開行方案及其運(yùn)行計(jì)劃編制的影響。