優(yōu)秀試題一

【原題呈現(xiàn)】

（2021 年鹽城卷）3.北京2022年冬奧會會徽如圖1 所示，組成會徽的四個圖案中是軸對稱圖形的是（）

（圖1）

（2021 年徐州卷）8.如圖2，一枚圓形古錢幣的中間是一個正方形孔，已知圓的直徑與正方形的對角線之比為3∶1，則圓的面積約為正方形面積的（）

A.27倍 B.14倍 C.9倍 D.3倍

【試題評析】

考查目標方面，兩題分別考查了學生對軸對稱圖形的理解及對稱圖形性質(zhì)的認識，要求學生能根據(jù)生活中的圖案正確識別軸對稱圖形，利用對稱圖形的性質(zhì)進行相關(guān)數(shù)量關(guān)系的認定，從而計算簡單圖形的面積。情境呈現(xiàn)了數(shù)學之美，滲透了中國現(xiàn)代與古代的文化。

素養(yǎng)導向方面，兩題蘊含了對學生直觀想象素養(yǎng)的考查，要求學生對圖案的對稱性作出直觀判斷，并根據(jù)圓與正方形的對稱屬性抽象出基本圖形的數(shù)量關(guān)系。

（圖2）

教學建議方面，教學中要結(jié)合時代特色和中國文化，選擇能引發(fā)學生興趣、激發(fā)學生思考的情境，引導學生用數(shù)學的眼光去思考問題，用數(shù)學的方法去研究問題，體現(xiàn)數(shù)學的實際應(yīng)用價值。

優(yōu)秀試題二

【原題呈現(xiàn)】（2021年南京卷）

21.某市在實施居民用水定額管理前，對居民生活用水情況進行了調(diào)查。通過簡單隨機抽樣，獲得了100 個家庭去年的月均用水量數(shù)據(jù)，將這組數(shù)據(jù)按從小到大的順序排列，其中部分數(shù)據(jù)如下表：

序號月均用水量/t 1 2 1.3 1.3……25 4.5 26 4.5……50 6.4 51 6.8……75 11 76 13……99 25.6 100 28

（1）求這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)。已知這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為9.2t，你對它與中位數(shù)的差異有什么看法？

（2）為了鼓勵節(jié)約用水，要確定一個用水量的標準，超出這個標準的部分按1.5 倍價格收費。若要使75%的家庭水費支出不受影響，你覺得這個標準應(yīng)該定為多少？

【試題評析】

考查目標方面，本題考查了學生對中位數(shù)和平均數(shù)概念的理解，以及如何利用數(shù)據(jù)分析結(jié)果作出決斷。本題情境是生活中真實的場景，沒有設(shè)置煩瑣的計算，注重考查學生對統(tǒng)計量的理解，使學生感悟統(tǒng)計量的本質(zhì)內(nèi)涵。

素養(yǎng)導向方面，本題蘊含了對學生數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)的考查，答案較為開放，意在考查學生數(shù)據(jù)分析的意識與能力；要求學生將內(nèi)在信息相聯(lián)系，從中看出關(guān)聯(lián)性，考查學生用數(shù)學的眼光和思維分析現(xiàn)實世界的能力，體現(xiàn)了數(shù)據(jù)分析的基本思想方法。

教學建議方面，統(tǒng)計教學的有效方法是讓學生親身經(jīng)歷數(shù)據(jù)收集、整理、分析的全過程，教師可創(chuàng)設(shè)學生身邊的真實情境，在教學活動中讓學生形成讀懂數(shù)據(jù)的意識，掌握數(shù)據(jù)的分析方法，并能用數(shù)據(jù)分析的結(jié)果進行合理決策與判斷。

優(yōu)秀試題三

【原題呈現(xiàn)】（2021年連云港卷）

6.關(guān)于某個函數(shù)表達式，甲、乙、丙三位同學都正確地說出了該函數(shù)的一個特征。甲：函數(shù)圖象經(jīng)過點（-1，1）。乙：函數(shù)圖象經(jīng)過第四象限。丙：當x＞0 時，y隨x的增大而增大。則這個函數(shù)表達式可能是（）

【試題評析】

考查目標方面，本題考查了學生對正比例函數(shù)、反比例函數(shù)及簡單的二次函數(shù)的理解，要求學生在充分掌握三種函數(shù)圖象與性質(zhì)的相關(guān)知識下進行解答。

素養(yǎng)導向方面，本題蘊含了對學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的考查，要求學生能用數(shù)學符號語言（函數(shù)表達式）準確描述數(shù)學對象，將碎片化的信息抽象成數(shù)學對象，有利于學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的養(yǎng)成。

教學建議方面，數(shù)學抽象一般要經(jīng)歷尋找屬性、特征概括、數(shù)學表達、納入系統(tǒng)的過程。教學中，要注重讓學生學習不同函數(shù)的共同主線，結(jié)合數(shù)形理清函數(shù)學習的線索，形成知識的網(wǎng)格；合理設(shè)計抽象活動，引導學生從數(shù)學概念的生成過程中抽象出數(shù)學結(jié)論。

優(yōu)秀試題四

【原題呈現(xiàn)】（2021年鹽城卷）

21.如圖，點A是數(shù)軸上表示實數(shù)a的點。

【試題評析】

考查目標方面，考查了學生對尺規(guī)作圖、實數(shù)與數(shù)軸上點一一對應(yīng)關(guān)系、實數(shù)的大小比較等知識的掌握程度，要求學生在掌握尺規(guī)作圖的方法及在理解無理數(shù)概念的基礎(chǔ)上進行解答。

素養(yǎng)導向方面，本題蘊含了對學生數(shù)學抽象素養(yǎng)的考查，要求學生能夠識別復雜情境中的數(shù)學概念，根據(jù) 2 的意義與圖形表達間的聯(lián)系，借助數(shù)軸進行實數(shù)大小的直觀比較。

教學建議方面，數(shù)學抽象應(yīng)貫穿于課堂教學的全過程，教學中要以某一抽象活動為主線，讓學生感知無理數(shù)出現(xiàn)的必然性與必要性。教學中要合理采用不同的抽象方法，如基于概念的抽象、基于規(guī)則的抽象、基于方法的抽象等。

優(yōu)秀試題五

【原題呈現(xiàn)】（2021年鎮(zhèn)江卷）

16.如圖，輸入數(shù)值1921，按所示的程序運算（完成一個方框內(nèi)的運算后，把結(jié)果輸入下一個方框繼續(xù)進行運算），輸出的結(jié)果為（）

A.1840 B.1921 C.1949 D.2021

【試題評析】

考查目標方面，本題以數(shù)值轉(zhuǎn)換器為依托，考查了學生對有理數(shù)混合運算及算理算法理解的掌握情況，要求學生能根據(jù)程序列出算式，并進行正確的運算和判斷。

素養(yǎng)導向方面，本題蘊含了對學生數(shù)學運算素養(yǎng)的考查，要求學生能夠正確理解程序的表述，正確、迅速完成運算。在解題的過程中，學生要經(jīng)歷分析運算對象、嘗試運算方向、選擇運算規(guī)則、計算并判斷結(jié)果等環(huán)節(jié)，體現(xiàn)出數(shù)學運算也是數(shù)學思考的重要方式。

教學建議方面，正確、靈活、合理、簡潔是衡量學生數(shù)學運算素養(yǎng)的四個特征，教學中教師要結(jié)合具體情境，幫助學生理解“為什么這樣算”和“怎樣算”，要重視引導學生經(jīng)歷運算法則的生成過程，讓學生感受法則的合理性。幫助學生理解算理、掌握算法是教學的關(guān)鍵。

優(yōu)秀試題六

【原題呈現(xiàn)】（2021年泰州卷）

23.（1）如圖①，O為AB的中點，直線l1、l2分別經(jīng)過點O、B，且l1//l2。以點O為圓心，OA長為半徑畫弧交直線l2于點C，連接AC。求證：直線l1垂直平分AC。

（圖①）

（2）如圖②，平面內(nèi)直線l1//l2//l3//l4，且相鄰兩直線間距離相等，點P、Q分別在直線l1、l4上，連接PQ。用圓規(guī)和無刻度的直尺在直線l4上求作一點D，使線段PD最短。（兩種工具分別只限使用一次，并保留作圖痕跡）

（圖②）

【試題評析】

考查目標方面，解決本題所運用的知識有等腰三角形三線合一、一條直線垂直于平行線中的一條則必然垂直于另一條直線等，都是學生必須理解與掌握的基本定理。

素養(yǎng)導向方面，本題將幾何推理與尺規(guī)作圖有機結(jié)合，具有源于教材、方法遷移、幾何推理等特點，突出考查了邏輯推理的核心素養(yǎng)。

教學建議方面，本題設(shè)計精巧，兩個小問之間存在遞進關(guān)系，第一問考查基礎(chǔ)知識與基本方法，其圖形結(jié)構(gòu)、作圖與證明方法為第二問的探究積累了活動經(jīng)驗，提供了探究思路。本題的圖形及結(jié)論在教材中有多處原型，充分挖掘和利用教材資源命制試題，可引導教師重視教材在教學中的作用。

優(yōu)秀試題七

【原題呈現(xiàn)】（2021年蘇州卷）

18.如圖，射線OM、ON互相垂直，OA=8，點B位于射線OM的上方，且在線段OA的垂直平分線l上，連接AB，AB=5。將線段AB繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到對應(yīng)線段A′B′，若點B′恰好落在射線ON上，則點A′到射線ON的距離d=____。

【試題評析】

考查目標方面，本題以圖形的旋轉(zhuǎn)為設(shè)問背景，考查了勾股定理、相似三角形、銳角三角函數(shù)等知識點，不同的學生有不同的解法，思維深刻的學生運算量很小，是一道體現(xiàn)“少算深思”的好題。

素養(yǎng)導向方面，本題在分析構(gòu)圖的基礎(chǔ)上需要考生有較強的邏輯推理能力，能根據(jù)條件推導出旋轉(zhuǎn)前后哪些對應(yīng)線段或角是相等的。

教學建議方面，作為一道填空題的較難題，本題較好地體現(xiàn)了區(qū)分選拔功能，教學時教師可安排學生交流不同的解法，然后讓學生在對比中找到更好的解法，積累解題經(jīng)驗，感悟旋轉(zhuǎn)變換中的“變與不變”。

優(yōu)秀試題八

【原題呈現(xiàn)】（2021年揚州卷）

28.甲、乙兩汽車出租公司均有50 輛汽車對外出租，下面是兩公司經(jīng)理的一段對話。

甲公司經(jīng)理：如果我公司每輛汽車月租費3000 元，那么50 輛汽車可以全部租出；如果每輛汽車的月租費每增加50 元，那么將少租出1輛汽車；另外，公司為每輛租出的汽車支付月維護費200元。

乙公司經(jīng)理：我公司每輛汽車月租費3500元，無論是否租出汽車，公司均需一次性支付月維護費共計1850元。

說明：①汽車數(shù)量為整數(shù)；②月利潤=月租車費-月維護費；③兩公司月利潤差=月利潤較高公司的利潤-月利潤較低公司的利潤。

在兩公司租出的汽車數(shù)量相等的條件下，根據(jù)上述信息，解決下列問題：

（1）當每個公司租出的汽車為10 輛時，甲公司的月利潤是____元；當每個公司租出的汽車為____輛時，兩公司的月利潤相等。

（2）求兩公司月利潤差的最大值。

（3）甲公司熱心公益事業(yè)，每租出1 輛汽車捐出a元（a＞0）給慈善機構(gòu)，如果捐款后甲公司剩余的月利潤仍高于乙公司月利潤，且當兩公司租出的汽車均為17 輛時，甲公司剩余的月利潤與乙公司月利潤之差最大，求a的取值范圍。

【試題評析】

考查目標方面，本題綜合考查一元二次方程、一次函數(shù)、二次函數(shù)等初中代數(shù)核心知識。

素養(yǎng)導向方面，數(shù)學核心素養(yǎng)要求學生會用數(shù)學的語言表達現(xiàn)實世界，在現(xiàn)實生活中構(gòu)建普適的數(shù)學模型，形成合理的判斷和決策，這道考題主要考查的是分析生活情境、選取數(shù)學模型（方程、函數(shù)）進行判斷和決策的能力。

教學建議方面，教學時教師要讓學生對現(xiàn)實生活問題充分審題與分析，恰當設(shè)出未知數(shù)、分析不同未知量之間的數(shù)量關(guān)系是列出方程或函數(shù)關(guān)系式的關(guān)鍵。此外，如果構(gòu)建函數(shù)解決實際問題，還應(yīng)特別注意自變量的取值范圍。

優(yōu)秀試題九

【原題呈現(xiàn)】（2021年南通卷）

25.如圖，正方形ABCD中，點E在邊AD上（不與端點A、D重合），點A關(guān)于直線BE的對稱點為點F，連接CF，設(shè)∠ABE=α。

（1）求∠BCF的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?。

（2）過點C作CG⊥直線AF，垂足為G，連接DG。判斷DG與CF的位置關(guān)系，并說明理由。

（3）將△ABE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到△CBH，點E的對應(yīng)點為點H，連接BF、HF。當△BFH為等腰三角形時，求sinα的值。

【試題評析】

考查目標方面，本題綜合考查了翻折、旋轉(zhuǎn)、銳角三角函數(shù)等知識點，是一道幾何綜合題。

素養(yǎng)導向方面，本題以正方形為問題背景，從軸對稱出發(fā)，漸次探究角度、直線位置關(guān)系，最后安排學生探究旋轉(zhuǎn)變換后的等腰三角形的存在性問題，有效地考查了學生的幾何直觀、邏輯推理等數(shù)學素養(yǎng)。

教學建議方面，本題的亮點是解法多樣，比如前兩問，學生可以運用八年級的知識與技能解答，也可利用“四點共圓”獲得簡潔的解法，體現(xiàn)了針對經(jīng)典問題的深刻理解和初等方法的求解追求。教師在開展該題的解題教學時可以引導學生進行解法展示與對比分析。

優(yōu)秀試題十

【原題呈現(xiàn)】（2021年常州卷）

26.【閱讀】通過構(gòu)造恰當?shù)膱D形，可以對線段長度、圖形面積大小等進行比較，直觀地得到一些不等關(guān)系或最值，這是“數(shù)形結(jié)合”思想的典型應(yīng)用。

【理解】（1）如圖①，AC⊥BC，CD⊥AB，垂足分別為C、D，E是AB的中點，連接CE。已知AD=a，BD=b（0＜a＜b）。

①分別求線段CE、CD的長（用含a、b的代數(shù)式表示）；

②比較大?。篊E____CD（填“＜”、“=”或“＞”），并用含a、b的代數(shù)式表示該大小關(guān)系。

（圖①）

（圖②）

①當m=1，n=2 時，l=____；當m=3，n=3 時，l=____；

②通過歸納猜想，可得l的最小值是____。請利用圖②構(gòu)造恰當?shù)膱D形，并說明你的猜想成立。

【試題評析】

考查目標方面，本題主要考查了垂線最短、勾股定理、反比例函數(shù)、數(shù)式變形與化簡等關(guān)鍵能力。本題構(gòu)思精巧，融“數(shù)、形”于一體，是一道華羅庚先生所說的“數(shù)缺形時少直觀”的好題。

素養(yǎng)導向方面，本題以“數(shù)形結(jié)合”作為鮮明的命題主線，兩個問題串由易及難、漸次生長，突出了對直觀想象素養(yǎng)的考查。第一問先給出學生熟悉的基本圖形，讓學生簡要運算比較、確認“垂線段最短”；第二問從特殊到一般，讓學生先猜想結(jié)論，再構(gòu)圖驗證。

教學建議方面，這道試題彰顯了數(shù)學中的“合情猜想—構(gòu)圖驗證”的研究方法。教學中，教師要重視對基本圖形及其性質(zhì)的研究路徑的引導；要注重培養(yǎng)學生從特殊到一般、類比轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學基本思想方法。