鐘 瑞,韓建衛(wèi),王 拴,紀(jì) 緯,張立彬

(哈爾濱工業(yè)大學(xué)(深圳) 實(shí)驗(yàn)與創(chuàng)新實(shí)踐教育中心，廣東 深圳 518055)

望遠(yuǎn)鏡是一種非?；?、常用的目視光學(xué)儀器，了解其工作原理、掌握其組裝方法及其放大率的測(cè)定方法對(duì)進(jìn)一步掌握更復(fù)雜的光學(xué)儀器的使用都是非常必要的。當(dāng)前的物理實(shí)驗(yàn)教材中，自組望遠(yuǎn)鏡放大率的測(cè)定大多采用視角直接比較法[1]。這種方法簡(jiǎn)單直接，無(wú)須額外增加實(shí)驗(yàn)器材，但是存在以下問(wèn)題：由于人眼的直接觀察距離有限，通常在1～1.5 m范圍以內(nèi)，超過(guò)2 m之后，用兩只眼睛同時(shí)觀察目標(biāo)尺實(shí)物及其經(jīng)望遠(yuǎn)鏡放大后的像較為困難，因此測(cè)量其放大率時(shí)，目標(biāo)尺與物鏡的距離(即物距)不能過(guò)大，通常限制在2 m以內(nèi)；而另一方面，若物距太小，測(cè)得的望遠(yuǎn)鏡放大率結(jié)果與其理論值相對(duì)誤差會(huì)比較大。為克服以上矛盾，有文獻(xiàn)提出了游碼法[2]、分劃板法[3]、比較板法[4]、成像公式法[4]等諸多改進(jìn)方法。筆者在實(shí)驗(yàn)教學(xué)過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，針對(duì)物距較小的情況，對(duì)望遠(yuǎn)鏡放大率的計(jì)算公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)匦拚?，即可在不額外增加實(shí)驗(yàn)器材、采用較短物距的前提下，精確地測(cè)得自組望遠(yuǎn)鏡的放大率，使學(xué)生更加深刻理解望遠(yuǎn)鏡成像原理。

1 開(kāi)普勒望遠(yuǎn)鏡放大率的理論值

開(kāi)普勒望遠(yuǎn)鏡的工作原理如圖1所示，其物鏡和目鏡均為凸透鏡，焦距分別為f1和f2(f1>f2)，物鏡的后焦面和目鏡的前焦面非常靠近，幾乎重合。位于無(wú)窮遠(yuǎn)的物，先經(jīng)物鏡成一實(shí)像，像高為y′，位于物鏡的后焦面上。該實(shí)像位于目鏡的一倍焦距以內(nèi)，且非?？拷跨R的前焦面，然后經(jīng)目鏡成一放大的虛像。人眼從望遠(yuǎn)鏡的目鏡中觀察到的即為該放大的虛像，其像高為y″。放大后的虛像相較于被觀察的實(shí)物，其對(duì)人眼的張角增大了，即人眼觀察該物體的視角放大了。

圖1 開(kāi)普勒望遠(yuǎn)鏡的工作原理

望遠(yuǎn)鏡的視角放大率定義為：用望遠(yuǎn)鏡觀察物體時(shí)該物體的像對(duì)人眼的視角與人眼直接觀察該物體時(shí)的視角的比值，由于視角很小，可以用其正切值代替。如圖1所示，經(jīng)過(guò)簡(jiǎn)單的幾何推導(dǎo)，結(jié)合物鏡的后焦面和目鏡的前焦面幾乎重合這一近似條件，可得到望遠(yuǎn)鏡的無(wú)窮遠(yuǎn)視角放大率理論值Γ0為

(1)

即開(kāi)普勒望遠(yuǎn)鏡的無(wú)窮遠(yuǎn)視角放大率理論值為其物鏡與目鏡的焦距之比。

2 視角直接比較法測(cè)望遠(yuǎn)鏡的放大率

具體操作如圖2所示。將目標(biāo)尺上的上、下指標(biāo)間距設(shè)置為d1，然后將目標(biāo)尺放置于距離望遠(yuǎn)鏡物鏡一定位置處，仔細(xì)調(diào)節(jié)物鏡和目鏡位置，直至能從目鏡中看到清晰的上、下指標(biāo)的放大像。

圖2 視角直接比較法測(cè)望遠(yuǎn)鏡的放大率實(shí)驗(yàn)裝置

測(cè)量時(shí)，用一只眼睛從望遠(yuǎn)鏡目鏡中觀察經(jīng)望遠(yuǎn)鏡放大后的上、下指標(biāo)的像(間距為d2)，另一只眼睛直接觀察目標(biāo)尺實(shí)物。經(jīng)過(guò)眼睛的適應(yīng)性練習(xí)，并仔細(xì)調(diào)節(jié)物鏡和目鏡，消除視差，使得目標(biāo)尺與指標(biāo)像位于同一平面內(nèi)且目標(biāo)尺處于指標(biāo)像的中間，如圖3所示。然后利用目標(biāo)尺直接測(cè)量指標(biāo)像的間距d2，則該自組望遠(yuǎn)鏡的放大率測(cè)量值Γ1為

(2)

該實(shí)驗(yàn)滿足薄透鏡對(duì)近軸光線的成像條件，物距u、像距v、薄透鏡焦距f的關(guān)系滿足高斯公式。

(3)

圖3 放大像的尺寸測(cè)量

受實(shí)驗(yàn)室空間所限，實(shí)際的測(cè)量實(shí)驗(yàn)中，物距不可能無(wú)限遠(yuǎn)，加之人眼觀察距離的限制，采用視角直接比較法測(cè)望遠(yuǎn)鏡的放大率時(shí)，物距通常在2 m以內(nèi)。在這種條件下，由式(3)可知，物鏡對(duì)目標(biāo)尺的上、下指標(biāo)成的實(shí)像位于物鏡的一倍和二倍焦距之間，且物距越小，像距越大，即該實(shí)像離物鏡的后焦面越遠(yuǎn)。因此，物距越小，實(shí)際的放大率與式(1)計(jì)算得到的理論值差別越大，需要對(duì)計(jì)算公式(1)做修正。

3 開(kāi)普勒望遠(yuǎn)鏡放大率計(jì)算公式的修正

如圖4所示，設(shè)被觀察物的高度為y，其與望遠(yuǎn)鏡物鏡的間距為u1，經(jīng)物鏡成的實(shí)像高度為y′，該實(shí)像與物鏡的間距為v1，與目鏡的間距為u2，物鏡與目鏡的間距為L(zhǎng)。

圖4 開(kāi)普勒望遠(yuǎn)鏡觀察有限遠(yuǎn)物體時(shí)的光路

望遠(yuǎn)鏡的視角放大率計(jì)算值Γ2為

(4)

其中

(5)

(6)

根據(jù)高斯公式

(7)

由式(4)-(7)得到修正后的望遠(yuǎn)鏡的視角放大率計(jì)算值Γ2為

(8)

可以看到，修正后的計(jì)算公式中不含目鏡的焦距f2，看似與目鏡的焦距無(wú)關(guān)。實(shí)際上，為了達(dá)到最佳的效果，該表達(dá)式中的物鏡與目鏡的間距L必須調(diào)節(jié)到一個(gè)合適的值。因此，修正后的放大率計(jì)算公式其實(shí)是與目鏡的焦距相關(guān)的。

4 實(shí)驗(yàn)結(jié)果

實(shí)驗(yàn)裝置如圖2所示，物鏡和目鏡用相同型號(hào)的光學(xué)底座置于滑軌上，物鏡焦距f1=225 mm，目鏡焦距f2=45 mm，改變目標(biāo)尺與物鏡的間距(即物距u1)，測(cè)得不同物距對(duì)應(yīng)的放大率數(shù)據(jù)如表1所示，由此得到自組望遠(yuǎn)鏡放大率的測(cè)量值Γ1、修正后的計(jì)算值Γ2與物距u1的關(guān)系曲線如圖5所示。

表1 視角直接比較法測(cè)望遠(yuǎn)鏡的放大率數(shù)據(jù)

圖5 自組望遠(yuǎn)鏡的放大率與物距的關(guān)系曲線

為了使測(cè)量結(jié)果更精確，需要注意兩個(gè)細(xì)節(jié)：仔細(xì)調(diào)節(jié)，消除視差，使得目標(biāo)尺與指標(biāo)像位于同一平面內(nèi)且目標(biāo)尺處于指標(biāo)像的中間；當(dāng)物距較遠(yuǎn)時(shí)，觀察者用目標(biāo)尺測(cè)量指標(biāo)像的尺寸時(shí)，可能看不清目標(biāo)尺上的刻度(因人而異，一般情況下，超過(guò)1.5 m就看不清)，可以兩個(gè)人配合測(cè)量，觀察者從目鏡位置觀察，配合者將一把直尺沿水平方向緊靠目標(biāo)尺并沿豎直方向移動(dòng)，當(dāng)觀察者觀察到直尺的某條邊分別與上、下指標(biāo)像的邊對(duì)齊時(shí)，讓配合者讀出目標(biāo)尺上與直尺的這條邊對(duì)齊的刻度，兩次讀數(shù)之差即為指標(biāo)像的間距d2。

5 結(jié) 語(yǔ)

由表1及圖5所示實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以得到以下結(jié)論：

(1)隨著物距的增大，視角直接比較法測(cè)得的望遠(yuǎn)鏡放大率Γ1與無(wú)窮遠(yuǎn)視角放大率理論值Γ0的相對(duì)誤差呈下降趨勢(shì)；

(2)當(dāng)物距小于2.5 m時(shí)，視角直接比較法測(cè)得的望遠(yuǎn)鏡放大率Γ1與無(wú)窮遠(yuǎn)視角放大率理論值Γ0的相對(duì)誤差較大，超過(guò)5%；

(3)視角直接比較法測(cè)得的望遠(yuǎn)鏡放大率Γ1與修正后的計(jì)算值Γ2非常接近，即使在物距小于1.5 m時(shí)，二者的相對(duì)誤差也非常小。

通過(guò)對(duì)開(kāi)普勒望遠(yuǎn)鏡的放大率計(jì)算公式進(jìn)行修正，并結(jié)合實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，成功地對(duì)視角直接比較法進(jìn)行了改進(jìn)。該改進(jìn)方法可以讓實(shí)驗(yàn)者在物距較短的情況下精確測(cè)量自組望遠(yuǎn)鏡的放大率，解決了學(xué)生在實(shí)驗(yàn)時(shí)遇到的實(shí)驗(yàn)空間受限、人眼觀察距離受限的問(wèn)題。