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        二次根式那些事兒

        2022-06-02 12:37:28蔣月蘭
        初中生世界·八年級 2022年8期
        關(guān)鍵詞:根號平方根根式

        二次根式是我們在學(xué)習(xí)了“整式”“分式”之后的又一類重要代數(shù)式。人們在探尋和研究它的過程中遇到了哪些事呢?下面,我們一起了解一下吧。

        一、根號的“追根溯源”

        早在1480年,德國人便開始用一個(gè)點(diǎn)來表示方根,如?3表示3的平方根,??3表示3的4次方根。到了16世紀(jì)初,平方根用小點(diǎn)帶上一條小尾巴來表示,就像一個(gè)小蝌蚪,因而很難統(tǒng)一標(biāo)準(zhǔn)。1525年,德國數(shù)學(xué)家魯?shù)婪虻拇鷶?shù)書中用√8表示8的平方根。顯然用“小鉤子”要比“小蝌蚪”好多了,不過后來又出現(xiàn)了新問題。相傳,兩個(gè)工作人員因?yàn)槭街械摹癧√g]2+100”產(chǎn)生了矛盾,差一點(diǎn)要上法庭打官司。究其原因,是因?yàn)樾°^子“[√]”的意義不明確,不知道它能管后面幾個(gè)字母及數(shù)字。

        后來,笛卡爾在他的《幾何學(xué)》中創(chuàng)設(shè)了現(xiàn)代的平方根號“[]”,在原書第一版中寫道:“如果我想求a2+b2的平方根,就寫作[a2+b2]。”笛卡爾的根號與魯?shù)婪虻母柕淖畲髤^(qū)別在于:笛卡爾考慮到被開方數(shù)有幾項(xiàng),而魯?shù)婪虻母枙鸹煜?/p>

        二、分母有理化

        黑白雙雄,縱橫江湖;雙劍合璧,天下無敵。這是武俠小說中的情景。在二次根式中也有這種相輔相成的“對子”。

        例1 ([2+3])([2-3])=1,2+[3]和[2-3]的積不含有根號,我們就說這兩個(gè)式子互為有理化因式,其中一個(gè)是另一個(gè)的有理化因式。于是,二次根式[2+32-3]就可以這樣化簡:

        [2+32-3=(2+3)(2+3)(2-3)(2+3)=(2+3)2]=[4+43+3]=[7+43]。

        像這樣,分子、分母同乘一個(gè)式子,把分母中的根號化去或把根號中的分母化去,叫作分母有理化。那么[4+7]的有理化因式是多少呢?你會對[4-74+7]進(jìn)行化簡嗎?試試看!

        三、逐步逼近法

        科學(xué)領(lǐng)域里用逐步逼近法處理問題是極為廣泛的。在物理、化學(xué)、生物諸多實(shí)驗(yàn)中,尋找某一反應(yīng)現(xiàn)象的最佳狀態(tài)時(shí),往往用到逐步逼近法。在數(shù)學(xué)計(jì)算中,“逐步逼近法”是常用的計(jì)算方法,比如估算二次根式的近似值就用到了逐步逼近法。

        例2 計(jì)算[13],用計(jì)算器可以立即知道[13]的近似值,但是若生活在荒島上,又未帶計(jì)算器和其他資料,人們就可以用逐步逼近法計(jì)算[13]的近似值,更重要的是,這種方法還可以運(yùn)用到其他問題中。

        第一次逼近:由于3<[13]<4,所以可設(shè)[13]=3+x(x是一個(gè)正的純小數(shù))。兩邊平方,得13=9+6x+x2。由于x是一個(gè)小量,所以x2是一個(gè)比x更小的高次小量,可以忽略掉,故13≈9+6x,即x≈[23]。所以[13]≈[323]。

        第二次逼近:設(shè)[13]=[323]+y,兩邊平方,得13=[1219+223y+y2]≈[1219+223y],所以y≈[-233]。于是[13]≈[323-233=11933≈3.606]。

        繼續(xù)逼近下去,可以得到更精確的近似值,你可以試試喲!

        四、巧合數(shù)

        數(shù)學(xué)中存在著許多著名的巧合,這些巧合往往是人們從許多不同的角度觀察到的。巧合是一種現(xiàn)象,它常會給人們帶來驚奇與不解。二次根式中就存在這種巧合。

        [223=223]是一對巧合數(shù),類似地,我們還可以找出其他巧合數(shù):[4415=4415],[5524]=[5524],[8863]=[8863]。我們知道,根號里面的數(shù)不能輕易地直接放到根號外面來,那么,為什么這些數(shù)可以呢?是巧合嗎?

        觀察可得規(guī)律[a+aa2-1]=[aaa2-1](a>0且a≠1),那么這個(gè)式子是恒等式嗎?我們不妨來推理一下。

        [a+aa2-1]=[a(a2-1)a2-1+aa2-1]

        =[a3a2-1]=[aaa2-1]。

        太妙啦!如果你不滿足于此,有更大膽的猜想,不妨以三次方根為例試試看。不要忘記,猜想成為真理,是要經(jīng)過嚴(yán)格證明的喲!

        五、見招拆招

        我們在解決數(shù)學(xué)問題的過程中,往往會遇到?jīng)]有學(xué)過的知識。出題人會制造干擾因素迷惑我們,此時(shí)要跳出思維圈,抓住問題本質(zhì),理性分析,嚴(yán)密推理,做到“見招拆招”。比如,二次根式中的復(fù)合二次根式是我們沒學(xué)過的知識,如何見招拆招呢?我們追尋其本質(zhì),開方是平方的逆運(yùn)算,反過來,我們只需將復(fù)合二次根式的被開方式變形成完全平方形式,即可進(jìn)行開方運(yùn)算了。

        例3 計(jì)算:[4+23]。

        [分析]因?yàn)閇4=(3)2+1],所以4+[23=3+23+1=(3)2+23+]1=[(3+1)2]。

        解:[4+23]=[(3+1)2]=[3+1]=[3+1]。

        實(shí)際上,本題就是利用配方法化簡形如[a+2b]( a,b是正有理數(shù),b不是完全平方數(shù))這樣的二次根式,將它的被開方式配成完全平方的形式即可。你能利用上述方法化簡[7-210]嗎?試試看!

        六、跨界融合

        我們耳熟能詳?shù)脑~語“跨界融合”是隨著互聯(lián)網(wǎng)高速發(fā)展涌現(xiàn)出的熱詞中的一個(gè)。毫不夸張地說,我們已經(jīng)進(jìn)入到跨界融合的時(shí)代,行業(yè)間交叉、整合、互相滲透已經(jīng)常態(tài)化。數(shù)學(xué)也不例外,數(shù)學(xué)中常常用“跨界融合”(數(shù)形結(jié)合)的方法解決問題。二次根式中就有通過“跨界融合”(數(shù)形結(jié)合)的辦法解決的問題。

        例4 求代數(shù)式[52+(8-x)2]+[12+x2]的最小值。

        解:如圖1,C為線段BD上一動點(diǎn),分別過點(diǎn)B、D作AB⊥BD,ED⊥BD,連接AC、EC。已知AB=5,DE=1,BD=8,設(shè)CD=x,則 [AC+CE=52+(8-x)2+12+x2]。

        <E:\初中生\初中生 八年級7-8\蔣月蘭-1.tif><E:\初中生\初中生 八年級7-8\蔣月蘭-2.tif>

        圖1? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圖2

        當(dāng)A、C、E三點(diǎn)共線時(shí)(如圖2),AC+CE的距離最短,即為AE的長。過點(diǎn)A作DE的垂線,垂足為F,則AF=BD=8,EF=DF+DE=AB+DE=5+1=6,可得AE=10。

        此時(shí)二次根式遇上了圖形,竟是如此簡單、妙趣橫生!我們不禁想起大數(shù)學(xué)家華羅庚的一段話:數(shù)缺形時(shí)少直觀,形少數(shù)時(shí)難入微;數(shù)形結(jié)合百般好,隔離分家萬事休!

        請你嘗試仿照上面的“跨界融合”(數(shù)形結(jié)合)的方法,求代數(shù)式[x2+4+y2+9]的最小值,其中x+y=12,x>0,y>0。

        關(guān)于二次根式的精彩趣事還有很多很多,在此就不一一列舉了。其實(shí),不僅僅是二次根式,數(shù)學(xué)知識體系中的每個(gè)知識點(diǎn)都有其“成長”的過程,都有許多的“趣事”“巧合”“跨界”等待我們?nèi)バ蕾p、發(fā)現(xiàn)。

        (作者單位:江蘇省無錫市新吳區(qū)第一實(shí)驗(yàn)學(xué)校)

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