倪鈺皓

在學(xué)習(xí)反比例函數(shù)時(shí)，我發(fā)現(xiàn)，由反比例函數(shù)[y]=[kx]（k為常數(shù)，且k≠0）圖像上的任一點(diǎn)作橫、縱軸垂線，與兩個(gè)坐標(biāo)軸圍成的矩形的面積是個(gè)定值，等于[k]。這個(gè)矩形，我稱之為這個(gè)點(diǎn)的“k矩形”，即[Sk矩形]=[k]。在解決一些問題時(shí)，利用“k矩形”，我得到了簡(jiǎn)便的解法。

例題 如圖1，雙曲線[y]=[kx]（其中k>0，x>0）經(jīng)過矩形OABC的邊AB上的中點(diǎn)F，交邊BC于點(diǎn)E，求證：E點(diǎn)是BC的中點(diǎn)。

證法一：

設(shè)點(diǎn)F（a，b）。

∵點(diǎn)F在反比例函數(shù)[y]=[kx]上，

∴ab=k。

∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，

∴B（a，2b），

∴BC=a。

∵點(diǎn)E在BC上，

∴E點(diǎn)的縱坐標(biāo)=B點(diǎn)的縱坐標(biāo)=2b。

∵點(diǎn)E在反比例函數(shù)[y]=[kx]上，

∴E點(diǎn)的橫坐標(biāo)×E點(diǎn)的縱坐標(biāo)=ab，

∴點(diǎn)E的橫坐標(biāo)=[a2]，

∴CE=[a2]=[12BC]，

∴E點(diǎn)是BC的中點(diǎn)。

證法二：

如圖2，連接OE、OB、OF。

∵點(diǎn)E、F都在反比例函數(shù)[y]=[kx]上，

∴S△OAF=S△OCE。

又∵點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，

∴[S△OAF=12S△OAB]。

∵在矩形OABC中，

∴S[△OAB]=S[△OCB]，

∴S[△OCE]=[12S△OCB]，

∴E點(diǎn)是BC的中點(diǎn)。

證法一是通過設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)，利用反比例函數(shù)上點(diǎn)的坐標(biāo)特征及矩形的特征，轉(zhuǎn)化已知點(diǎn)和未知點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到線段長(zhǎng)度證得中點(diǎn)，我們可以稱這種方法為解析法;證法二是利用反比例函數(shù)k的幾何含義及矩形的圖形特征，得到圖形面積之間的關(guān)系，用面積法證得中點(diǎn)，我們可以稱這種方法為幾何法。兩種證法各有特點(diǎn)，此處，顯然幾何法優(yōu)于解析法。而本題還可以得出更一般的結(jié)論，即將“F是AB的中點(diǎn)”改為“F在AB上，且[AFAB]=[n]”，則可得[CECB]=[n]。

變式 如圖3，雙曲線[y]=[kx]（其中k>0，x>0）經(jīng)過矩形OABC對(duì)角線的交點(diǎn)M，交AB于點(diǎn)F，交BC于點(diǎn)E，四邊形OFBE的面積為9，則k=? ? ? ? ? ? 。

同學(xué)們可以仿照例題，運(yùn)用反比例函數(shù)k的幾何含義來解一解變式，相信你能得到有用的解題經(jīng)驗(yàn)。

教師點(diǎn)評(píng)

小作者在學(xué)習(xí)過程中，能夠主動(dòng)思考，善于總結(jié)歸納，有較強(qiáng)的探究能力;面對(duì)問題時(shí)，能夠給出多種證法并分析其優(yōu)劣，擇優(yōu)而做。同時(shí)，對(duì)相關(guān)的變式問題，小作者還能達(dá)到舉一反三、觸類旁通的效果，值得大家學(xué)習(xí)。

（指導(dǎo)教師：陳雪霞）