唐永魯，顧銀魯，宋楨楨

(銀川能源學(xué)院 基礎(chǔ)部,寧夏 銀川 750105)

吸煙在明世宗嘉靖年間就已經(jīng)開始，至今仍然有很大比例的成年公民和青少年在吸煙.2000年Castillo-Garsow等[1]第一次提出一個(gè)簡(jiǎn)單的戒煙模型，他們考慮了一個(gè)系統(tǒng)，將人群分為三個(gè)倉(cāng)室：潛在吸煙者、吸煙者和戒煙者.文獻(xiàn)[2-4]研究了具有健康教育的吸煙動(dòng)力學(xué)模型.

文獻(xiàn)[4]在Castillo-Garsow等[1]基礎(chǔ)上，考慮了健康教育的因素，并建立了如下微分系統(tǒng)

(1)

其中，P表示未受教育的潛在吸煙者，E表示受教育的潛在吸煙者，S表示吸煙者，Q表示永久戒煙者.

吸煙能引起吸煙者患腦部疾病、呼吸系統(tǒng)疾病、血管類疾病等，二手煙還會(huì)對(duì)非吸煙者產(chǎn)生嚴(yán)重的影響.近些年來(lái)，國(guó)家出臺(tái)各類政策：不允許在公共場(chǎng)合吸煙、吸煙有害健康宣傳等.受到這些因素的影響，有些吸煙者就會(huì)選擇臨時(shí)戒煙或者永久戒煙.文獻(xiàn)[5-7]主要針對(duì)含有臨時(shí)戒煙模型做了穩(wěn)定性分析.文獻(xiàn)[8]考慮了“媒體和政府對(duì)吸煙的不連續(xù)干預(yù)策略”.文獻(xiàn)[9]考慮了“人類行為”因素，建立模型并討論了模型的穩(wěn)定性.

文獻(xiàn)[5]建立如下模型

(2)

其中，P表示未受教育的潛在吸煙者，L表示偶爾吸煙者，S表示吸煙者，R表示暫時(shí)戒煙者，Q表示永久戒煙者.

1 模型建立

在已有文獻(xiàn)的基礎(chǔ)上,將所研究的人群分為5個(gè)倉(cāng)室：未受教育的潛在吸煙者P、受教育的潛在吸煙者E、吸煙者S、臨時(shí)戒煙者R和永久戒煙者Q，并建立如圖1所示的倉(cāng)室圖

圖1 模型的倉(cāng)室圖

對(duì)應(yīng)于倉(cāng)室圖的常微分方程如下

(3)

其中，Λ表示總?cè)藬?shù)，σ1表示潛在吸煙者的受教育率，β1表示P與S的有效接觸率，β2表示E與S的有效接觸率，δ1表示E的有效戒煙率，δ2表示S的有效臨時(shí)戒煙率，δ3表示E的有效永久戒煙率，γ表示R轉(zhuǎn)化到Q的有效轉(zhuǎn)化率，μ表示自然死亡率.

2 正性和有界性

定理1若P(0)>0,E(0)>0,S(0)>0,R(0)>0,Q(0)>0，則系統(tǒng)(3)的解P(t),E(t),S(t),R(t),Q(t)對(duì)于所有t>0都是正的.

證明假設(shè)結(jié)論不成立，則至少有一個(gè)不是正的.因此，有以下五種情況

(i)存在t1，使得：

P(t1)=0，P′(t1)<0,E(t)≥0,S(t)≥0,R(t)≥0,Q(t)≥0，0

(ii)存在t2，使得：

E(t2)=0，E′(t2)<0,P(t)≥0,S(t)≥0,R(t)≥0,Q(t)≥0，0

(iii)存在t3，使得：

S(t3)=0，S′(t3)<0,P(t)≥0,E(t)≥0,R(t)≥0,Q(t)≥0，0

(iv)存在t4，使得：

R(t4)=0，R′(t4)<0,P(t)≥0,E(t)≥0,S(t)≥0,Q(t)≥0，0

(vi)存在t5，使得：

Q(t5)=0，Q(t5)<0,P(t)≥0,E(t)≥0,S(t)≥0,R(t)≥0，0

由(i)可知：P′(t1)=Λ(1-σ1)>0，與P′(t1)<0矛盾.

由(ii)可知：E′(t2)=Λσ1>0，與E′(t2)<0矛盾.

由(iii)可知：S′(t3)=0，與S′(t3)<0矛盾.

由(iv)可知：R′(t4)=δ2S(t4)>0，與R′(t4)<0矛盾.

由(vi)可知：Q′(t5)=δ1E+δ3S+γR>0，與Q′(t5)<0矛盾.

綜上可得結(jié)論成立.

定理2系統(tǒng)(3)的所有可行解是有界的，并且可行域?yàn)?/p>

3 平衡點(diǎn)的存在性和基本再生數(shù)

在無(wú)煙平衡點(diǎn)E0處的雅可比矩陣為

其中

證明由系統(tǒng)(3)可得

β1P*+β2E*-(δ2+δ3+μ)=0.

(9)

將P*和E*代入(9)可得

a(S*)2+bS*+c=0,

(10)

其中a=β1β2(δ2+δ3+μ)，b=μβ2(δ2+δ3+μ)+β1(δ1+μ)(δ2+δ3+μ)-β1β2Λ，c=μ(δ1+μ)(δ2+δ3+μ)-β1Λ(1-σ1)(δ1+μ)-μβ2σ1Λ.

顯然

a=β1β2(δ2+δ3+μ)>0，

因?yàn)?/p>

所以

μ(δ1+μ)(δ2+δ3+μ)-β1Λ(δ1+μ)<0.

再由

β2μ>β1(δ1+μ)，

可得

c=μ(δ1+μ)(δ2+δ3+μ)-β1Λ(1-σ1)(δ1+μ)-μβ2σ1Λ<0,

所以，(10)式有唯一的正解.

4 平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性分析

定理4當(dāng)R0≤1時(shí)，無(wú)煙平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的.

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

則

Λσ1-β2ES-(δ1+μ)E+β1PS+β2ES-(δ2+δ3+μ)S+

δ2S-(γ+μ)R+δ3S+δ1E+γR-μQ

因?yàn)镋0為無(wú)煙平衡點(diǎn)，所以σ1=0，即

因?yàn)镽0≤1，即β1Λ≤μ(δ2+δ3+μ)<μ2，所以

β1Λ-μ2<0.

綜上，V′≤0成立.

由LaSalle不變集原理[11-12]知，當(dāng)R0≤1時(shí)，無(wú)煙平衡點(diǎn)E0是全局漸近穩(wěn)定的.

則吸煙平衡點(diǎn)E*=(P*,E*,S*,R*,Q*)是全局漸近穩(wěn)定性的.

證明構(gòu)造Lyapunov函數(shù)

則V*的導(dǎo)數(shù)為

(11)

將E*=(P*,E*,S*,R*,Q*)代入系統(tǒng)(3)可得

(12)

把(12)式代入(11)式得

考慮下面的變量替換

(1-v)[zδ3S*+yδ1E*+uγR*-v(δ3S*+δ1E*+γR*)]

顯然

當(dāng)x,y,z,u,v滿足下列四個(gè)關(guān)系之一

u<1,v<1,z≥u≥v,y≥v,

u>1,v>1,z≤u≤v,y≤v,

u>1,v<1,u≥z≥v,y≥v,

u<1,v>1,u≤z≤v,y≤v,

時(shí)，有V*≤0成立.

由LaSalle不變集原理[11-12]，E*是全局漸近穩(wěn)定性的.

5 數(shù)值模擬

給出系統(tǒng)(3)的數(shù)值模擬來(lái)驗(yàn)證上面的理論證明.

例1令λ=0.2，σ1=0.5,β1=0.1,β2=0.07,δ1=0.5,δ2=0.09,δ3=0.3,γ=0.3,μ=0.1.經(jīng)過計(jì)算參數(shù)滿足定理4，給出初值(4.5,1,2,3,4)，則E0的全局穩(wěn)定性如圖2所示.

圖2 當(dāng)R0≤1時(shí)，無(wú)煙平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定性.

例2令λ=0.2，σ1=0.5,β1=0.09,β2=0.07,δ1=0.03,δ2=0.02,δ3=0.05,γ=0.07,μ=0.01.經(jīng)過計(jì)算參數(shù)滿足定理5，給出初值(4.5,1,2,3,4)，則E*的全局穩(wěn)定性如圖3所示.

圖3 當(dāng)R0>1時(shí)，吸煙平衡點(diǎn)E*是全局漸近穩(wěn)定性.

例3令λ=0.2，σ1=0.8,β1=0.1,β2=0.07,δ1=0.5,δ2=0.4,δ3=0.3,γ=0.3,μ=0.1.經(jīng)過計(jì)算參數(shù)滿足定理4，給出初值(4.5,1,2,3,4)，則E0的全局穩(wěn)定性如圖4所示.

圖4 當(dāng)σ1=0.8,δ2=0.4時(shí)，無(wú)煙平衡點(diǎn)E0全局漸近穩(wěn)定性.

6 結(jié)論

本文考慮了具有健康教育的戒煙模型，由定理4和定理5可知，基本再生數(shù)R0=1是病毒感染發(fā)生與否的閾值.

由圖2和圖4可以看出當(dāng)σ1和δ2的取值變大時(shí)，吸煙者明顯消失得更快，圖4中的P,E,S,R,Q比圖2更早的趨近于穩(wěn)定狀態(tài).這說(shuō)明如果提高戒煙教育成功率和出臺(tái)一些戒煙的措施，會(huì)有更多的人進(jìn)入戒煙的倉(cāng)室，能夠使吸煙者更快的消失.

和文獻(xiàn)[4]比較，本文把戒煙分為暫時(shí)戒煙和永久戒煙，這樣更加接近現(xiàn)實(shí)生活情況.文獻(xiàn)[4]中只討論了吸煙平衡點(diǎn)的局部漸近穩(wěn)定性，而本文給出了吸煙平衡點(diǎn)的全局漸近穩(wěn)定性.由于現(xiàn)在全國(guó)加強(qiáng)“吸煙有害健康”的教育宣傳，相對(duì)文獻(xiàn)[5]考慮“吸煙有害健康的健康教育”因素，使得模型更加復(fù)雜，也加大了模型討論的難度.

由以上結(jié)論可以給出以下建議：可以加強(qiáng)“吸煙有害健康”的教育宣傳，從而提高戒煙教育的成功率；也可以出臺(tái)一些政策，比如公共場(chǎng)合禁止吸煙，通過強(qiáng)迫人民去戒煙，達(dá)到提高戒煙率的目的.