李 林

(天津商業(yè)大學(xué)信息工程學(xué)院，天津 300134)

0 引言

WSN用于目標(biāo)定位與追蹤、頻譜感知、自動雷達(dá)、導(dǎo)航及機(jī)器視覺等領(lǐng)域時，常需要節(jié)點協(xié)同估計同一個未知參數(shù)[1]。WSN中的每個節(jié)點用一組輸入觀測未知參數(shù)，由于環(huán)境復(fù)雜這些觀測值是未知目標(biāo)參數(shù)受多元噪聲(如環(huán)境或測量噪聲)干擾后的觀測值，由這些觀測數(shù)據(jù)所得到的參數(shù)與原始目標(biāo)參數(shù)相去甚遠(yuǎn)[2]。所以，如何從噪聲干擾中精確地估計出原始目標(biāo)參數(shù)是一個重要的問題[3]。參數(shù)估計算法已經(jīng)有了大量的研究，通常會選用一些自適應(yīng)算法作為參數(shù)估計算法，如線性預(yù)測算法、最速下降算法、遞歸最小二乘算法、平方根自適應(yīng)算法和最小均方自適應(yīng)LMS(least mean square)等。

本文基于CS提出了一種用于WSN稀疏參數(shù)估計的自適應(yīng)壓縮融合重構(gòu)(compressed combined reconstruct adaptive，CCRA)。首先，節(jié)點先將本地的全維參數(shù)估計值由一個感知矩陣變換到低維的估計值，即將估計值壓縮，節(jié)點僅傳輸壓縮后的估計值；其次，節(jié)點收集其鄰居節(jié)點壓縮后的估計值和自身的本地壓縮后的估計值融合。然后，節(jié)點通過重構(gòu)算法精確地重構(gòu)出全維的估計參數(shù)。最后，每個節(jié)點LMS 算法更新下一時刻自身的估計值，其中步長選用歸一化步長。CCRA 算法在不影響網(wǎng)絡(luò)的估計性能情況下，降低了網(wǎng)絡(luò)的通信負(fù)載。

本文首先描述WSN參數(shù)估計的問題，介紹了參數(shù)估計的數(shù)學(xué)模型；然后分析了基于LMS算法的估計策略，給出了集中式策略和分布式策略的理論推導(dǎo)，并分析二者特點；提出了一種用于WSN稀疏參數(shù)估計的CCRA策略，針對稀疏參數(shù)估計引入了CS理論；最后通過仿真與結(jié)果分析，對CCRA策略與其他策略進(jìn)行了對比分析，說明各自的有效性。

1 WSN參數(shù)估計

本文研究一個有N個節(jié)點的WSN。WSN參數(shù)估計的線性回歸模型可表示為

di(t)=WToui(t)+vi(t)

(1)

式中：di(t)為標(biāo)量觀測值；ui(t)為節(jié)點i在t時刻的回歸向量；Wo為未知的目標(biāo)參數(shù)向量；vi(t)為節(jié)點在觀測未知參數(shù)時的干擾。

2 LMS策略

本節(jié)給出了參數(shù)估計的集中式LMS策略以及分布式LMS策略的原理和數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程。

2.1 集中式LMS策略

為得到接近原始的未知目標(biāo)參數(shù)wo的估計值w，需要將參數(shù)估計的全局代價函數(shù)最小化，全局代價函數(shù)Jglobal(w)可表示為

(2)

式中E為期望。

假設(shè)ui是聯(lián)合廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程，則集中式LMS算法的遞歸公式可表示為

(3)

式中：μ為遞歸表達(dá)式的步長，μ>0；w(t)為t時刻對未知參數(shù)wo的先驗估計。

由式(3)可以看出，集中式策略每輪都需要一個中心節(jié)點來收集和處理網(wǎng)絡(luò)中所有節(jié)點的估計信息，這將帶來很大的通信負(fù)載。如果網(wǎng)絡(luò)中的節(jié)點之間通信鏈路失效或者更改，集中式LMS策略就很難運行，魯棒性較差。

2.2 分布式LMS策略

分布式LMS增量策略是最簡單的分布式策略，增量策略中節(jié)點的估計信息經(jīng)過一個單向的哈密頓回路在節(jié)點之間傳遞，每個節(jié)點將其信息傳輸給同方向的下一節(jié)點。對給定拓?fù)涞膫鞲衅骶W(wǎng)絡(luò)，這種策略在節(jié)點數(shù)目較多和拓?fù)鋸?fù)雜時魯棒性較差。

在分布式共識和擴(kuò)散LMS策略中，每個節(jié)點只需要與鄰居節(jié)點交換估計信息來獲取估計值，如圖1所示。如果2個節(jié)點可以直接通信，則定義這2個節(jié)點互為鄰居節(jié)點[3]。例如，節(jié)點7的鄰居節(jié)點定義為Ω7，Ω7包含節(jié)點7本身。每個節(jié)點需要計算其本地估計值，并從鄰居節(jié)點中獲取鄰居節(jié)點的本地估計。如圖1中，箭頭表示節(jié)點之間的通信鏈路，節(jié)點7的鄰居節(jié)點集合Ω7為節(jié)點3、5、6、7、8。這些節(jié)點可以與節(jié)點7直接通信。由于網(wǎng)絡(luò)采用分布式共識和擴(kuò)散策略，當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中一些節(jié)點不能正常通信，整個網(wǎng)絡(luò)仍能繼續(xù)工作。

圖1 分布式共識和擴(kuò)散LMS策略

分布式共識和擴(kuò)散LMS參數(shù)估計策略可以分為3個階段，分別是信息交換階段、適應(yīng)階段和融合階段。根據(jù)網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)洌?jié)點i賦予不同的融合系數(shù)來融合每個鄰居的估計值：

(4)

式中：γii為節(jié)點i自身估計值的融合系數(shù)；γij為其鄰居節(jié)點j在節(jié)點i的融合階段的融合系數(shù)。

融合系數(shù)需要滿足式(4)。

融合系數(shù)的計算多種規(guī)則，本文中選用的Metropolis規(guī)則為:

(5)

分布式共識策略與擴(kuò)散LMS策略的主要區(qū)別是：共識策略在適應(yīng)階段用加權(quán)融合后的估計值和本地估計值結(jié)合用來計算下一時刻的估計值，擴(kuò)散策略在數(shù)據(jù)融合后，適應(yīng)階段僅用融合后的估計值計算下一時刻估計值。選用分布式擴(kuò)散LMS策略，并給出推導(dǎo)過程。

分布式擴(kuò)散LMS策略中，節(jié)點需要從自身以及鄰居節(jié)點的估計值中尋求對未知參數(shù)wo的估計。在每個t時刻，節(jié)點i對wo的估計值為wi(t)，則下一時刻t+1的估計值的更新方程的遞歸表達(dá)式為

(6)

式中μi為節(jié)點i的LMS算法步長。

為了化簡更新方程，在wi處用泰勒級數(shù)展開式(6)大括號內(nèi)的最后一項去除步長的部分[di(t)-

uTi(t)wi]2，可得：

(7)

式中eij(t)=di(t)-uTi(t)wj。

同樣的，可以將其在wi(t)處也用泰勒級數(shù)展開，可得：

[di(t)-uTi(t)wi]2=e2i(t)-2ei(t)·
uTi(t)[wi-wj(t)]+o‖wi‖2

(8)

式中ei(t)=di(t)-uTi(t)wi。

將式(7)和式(8)帶入式(6)，因為融合系數(shù)滿足式(4)，則式(6)可表示為

在過去幾十年中，蛋白質(zhì)組學(xué)技術(shù)從出現(xiàn)到發(fā)展取得了巨大的進(jìn)步。蛋白質(zhì)組學(xué)技術(shù)可以定性、定量分析不同樣品中的蛋白質(zhì)種類及性質(zhì)[2]。蛋白質(zhì)組學(xué)技術(shù)一般包含樣品處理、質(zhì)譜測定和數(shù)據(jù)分析三個步驟。

(9)

式(9)中大括號內(nèi)部的式子是一個關(guān)于wi的函數(shù)f(wi)。為了得到wi(t+1)，則需要求出使得f(wi)最小的wi：

f′(wi)=0

(10)

則求解關(guān)于wi的方程式(10)，可得出wi(t+1)的分布式更新函數(shù)為：

wi(t+1)+φi(t+1)+μiui(t)[di(t)-uTi(t)φi(t+1)]

(11)

(12)

式(11)為適應(yīng)階段，式(12)為融合階段。

3 用于WSN稀疏參數(shù)估計的CCRA策略

本節(jié)引入CS理論，提出了CCRA策略，給出了策略的算法步驟和流程圖，并對該策略做了穩(wěn)定性分析。在本節(jié)中沿用第2節(jié)的模型，并假定模型中未知參數(shù)向量wo是稀疏的，即wo中僅有少量的非零元素，其他元素均為零。

3.1 用于參數(shù)估計的CS

由于未知參數(shù)wo是稀疏的，若估計值w為準(zhǔn)確的，也應(yīng)該是稀疏的。若直接用標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)散策略將傳輸其全維估計值，特別的當(dāng)維數(shù)較高時，通信負(fù)載依然很大。CS理論可以通過少量的觀測值完整高概率地恢復(fù)出原始稀疏向量。當(dāng)未知目標(biāo)參數(shù)為稀疏向量時，引入CS，可以在完全不影響其估計性能的情況下降低通信負(fù)載。

用于參數(shù)估計的CS模型可表示為：

(13)

(14)

3.2 CCRA策略

與標(biāo)準(zhǔn)的分布式擴(kuò)散LMS策略相比，CCRA策略增加了2個階段，分別是壓縮階段和重構(gòu)階段。在每一時刻t，各個節(jié)點將自己的本地估計值壓縮，計算出本地壓縮估計。壓縮階段的方程為

(15)

式中Γi為滿足獨立同分布的高斯隨機(jī)矩陣。

鄰居節(jié)點之間交換各自的本地壓縮估計，如式(16)所示：

(16)

(17)

本文提出的CCRA策略將步長μ歸一化處理，用μ′代替標(biāo)準(zhǔn)擴(kuò)散策略中μ，μ′用式(18)計算：

(18)

適應(yīng)階段用式(18)得到的全維估計，計算出下一時刻的本地估計值并更新，更新方程如式(19)所示：

wi(t+1)=φi(t+1)+μ′iui(t)[di(t)-uTi(t)φi(t+1)]

(19)

CCRA策略架構(gòu)如圖2所示。

4 仿真結(jié)果與分析

本節(jié)對提出CCRA策略仿真，與其他策略對比，并分析仿真結(jié)果。通信負(fù)載包含傳輸?shù)臄?shù)據(jù)包數(shù)量、傳輸包投遞率和傳輸延遲。本節(jié)對比的其他基于LMS的策略與本文提出的2種策略相比，數(shù)據(jù)包投遞率和傳輸延遲沒有區(qū)別。所以本節(jié)與文獻(xiàn)[3，5]相同，在仿真對比中，采用傳輸?shù)臄?shù)據(jù)包數(shù)量來描述整個WSN的通信負(fù)載。

本節(jié)將用于稀疏參數(shù)估計的CCRA策略與其他分布式擴(kuò)散LMS策略(如DLMS、無合作LMS、NDLMS和RC-LMS)對比。為與其他分布式擴(kuò)散LMS策略在相同條件下對比，WSN拓?fù)涔?jié)點數(shù)量N=20。在仿真中，輸入回歸向量和未知稀疏參數(shù)向量的維數(shù)M=32，輸入回歸向量為AR-1[6]過程ui(t)=xi(t)+ρiui(t-1)的一個采樣ui(t)=[ui(t)ui(t-1)…ui(t-M+1)]T，相關(guān)系數(shù)ρi=0.5，xi(t)是一個σx,j=1的白噪聲過程。xi(t)是一個σx,j=1的白噪聲過程。由于M=32，則回歸輸入向量ui(t)為32×1的向量。每個節(jié)點回歸矩陣的跡為Ri=E(ui(t)uTi(t))。仿真時間t=1,2,…,T，其中T=2 000。

每個節(jié)點的噪聲vi(t)是一個0均值的高斯過程。每個節(jié)點的輸入回歸向量和噪聲都在時間和空間上相互獨立。仿真中稀疏目標(biāo)參數(shù)向量的稀疏度為2，感知矩陣Γi是一個固定的D×M的高斯隨機(jī)矩陣D=12，滿足R.I.P性質(zhì)。無合作LMS、DLMS和RC-DLMS這些固定步長策略的步長μ=0.01。自適應(yīng)步長策略NDLMS和本文提出的CCRA策略設(shè)置為μ′=0.4/uTi(t)ui(t)。RC-LMS的能耗參數(shù)選為性能和通信負(fù)載可以兼顧的0.5。

仿真中所有曲線均為50次獨立運行的平均值。圖3中可以看出在520輪時，本文提出的CCRA的全局MSD已經(jīng)低于-50 dB，而其他擴(kuò)散LMS策略均需要在1 200輪之后才接近于-50 dB。圖3中可以看出，本文提出的CCRA策略在收斂速度上快于其他擴(kuò)散LMS策略，在穩(wěn)態(tài)的性能上優(yōu)于其他策略。為進(jìn)一步的分析評估幾種策略在穩(wěn)定狀態(tài)的網(wǎng)絡(luò)估計性能，取后500個時刻的數(shù)據(jù)描述穩(wěn)定狀態(tài)，將這500個時刻的瞬時值做平均。如圖4所示，CCRA策略在穩(wěn)定狀態(tài)的MSD在-55 dB左右，其他策略的MSD均高于CCRA策略，節(jié)點的平均MSD如表1所示。

圖3 網(wǎng)絡(luò)平均MSD性能對比圖

圖4 各節(jié)點穩(wěn)定狀態(tài)MSD性能對比圖

表1 穩(wěn)定狀態(tài)下的平均MSD對比 dB

DLMS和NDLMS策略和標(biāo)準(zhǔn)的擴(kuò)散策略的通信負(fù)載相同，RC-DLMS和CCRA策略降低通信量的方式是不同，RC-DLMS是降低數(shù)據(jù)包個數(shù)而CCRA是降低單個數(shù)據(jù)包的長度。為便于比較，用所需通信數(shù)據(jù)向量的總維數(shù)來描述通信負(fù)載。無合作LMS中節(jié)點不與其他節(jié)點通信不作考慮，4種策略的通信負(fù)載隨時間的比較如表2所示。

表2 4種策略的通信負(fù)載對比(CCRA) %

DLMS和NDLMS的擴(kuò)散策略單位時刻需要傳送12 800維信息，而RC-DLMS需要傳輸6 400維數(shù)據(jù)，即50%的通信負(fù)載下，在收斂速度和MSD性能上接近DLMS和NDLMS。本文提出的CCRA策略在仿真中只需要傳輸4 800維數(shù)據(jù)，收斂速度優(yōu)于DLMS策略和NDLMS策略，MSD性能優(yōu)于這2種標(biāo)準(zhǔn)策略。針對稀疏參數(shù)的估計，本文提出的CCRA策略僅傳輸壓縮后的估計信息，在不影響網(wǎng)絡(luò)估計性能的情況下，顯著降低了WSN所需的通信負(fù)載，其中CCRA策略對網(wǎng)絡(luò)的收斂速度和MSD性能有所改善。

5 結(jié)束語

本文給出了WSN參數(shù)估計問題的數(shù)學(xué)模型。介紹了集中式LMS策略和分布式LMS策略的優(yōu)劣，指出WSN中更適用與分布式策略。針對大多數(shù)應(yīng)用中所估計的未知參數(shù)是稀疏的這一特點，提出了一種用于WSN稀疏參數(shù)估計的低功耗稀疏參數(shù)估計策略CCRA，給出該策略的全局狀態(tài)空間模型，并證明了CCRA策略的收斂性。仿真結(jié)果表明，目標(biāo)未知參數(shù)是稀疏參數(shù)時，CCRA策略在不影響網(wǎng)絡(luò)估計性能的情況下，與其他低負(fù)載策略相比，降低了通信負(fù)載。