方永鋒，程正偉，張衛(wèi)華

(貴州工程應用技術學院機械工程學院，貴州畢節(jié) 551700)

0 引言

壓電智能結構由于其自身特有的正壓電與逆壓電效應，在航空航天、汽車、建筑等領域得到廣泛的應用，關于壓電材料的正壓電效應研究成果比較多[1-3]。文獻[4-6]研究了正壓電效應下的壓電結構的應用，給出了不同場合、不同工況下的壓電結構的應用原理與方法。相對來說，關于逆壓電條件下的結構分析研究起步較晚，成果較少，文獻[7]研究了空間桁架結構自適應控制，發(fā)現(xiàn)壓電結構在逆壓電條件下，可以使空間桁架結構達到自我控制、自我適應的效果。文獻[8]研究了壓電驅動裝的輸入域輸出,為月面巡視器提供了技術基礎。關于逆壓電條件下的結構可靠性研究的成果較少，文獻[9-10]研究了結構與系統(tǒng)的可靠性，給出了大數(shù)據(jù)條件下與區(qū)間條件下的結構與系統(tǒng)可靠性的計算方法。文獻[11-12]研究了壓電桁架結構在電載荷和機械載荷聯(lián)合作用下的可靠性分析，給出了壓電桁架結構的失效路徑，表明在逆壓電狀態(tài)下，可以明顯的提高結構的可靠度。文獻[13]研究了壓電陶瓷執(zhí)行器的力學行為，給出了其力學行為的計算模型，說明研究壓電陶瓷的力學可靠度對于工程實踐很有意義。

本文通過對逆壓電條件下的壓電懸臂梁的力學可靠性與電學可靠性進行研究，給出壓電懸臂梁在逆壓電狀態(tài)下的可靠度的計算方法。在此基礎上，對計算模型做進一步的簡化，用一個工程算例說明本文方法的優(yōu)點。

1 逆壓電條件下壓電懸臂梁抗力與電場強度分析

根據(jù)壓電懸臂梁服役條件、服役環(huán)境等條件與相關文獻[1-3]，本文采用壓電材料第二邊界條件的壓電本構方程，即機械加持，電路短路邊界條件的壓電本構方程為：

σ=cEε-eEE

(1)

D=eε+ΞE

(2)

式中：σ為應力向量；cE為短路彈性剛度系數(shù)矩陣；eE為短路壓電應力常數(shù)矩陣；ε為應變向量；e為壓電應力常數(shù)矩陣；E為電場強度向量；D為電位移向量；Ξ為極化后的夾持介電常數(shù)矩陣。

一般來說，壓電懸臂梁結構為中間是矩形鐵芯，上下兩層從內到外依次粘上PZT，采用電學串聯(lián)與力學疊加的方式，如圖1所示。

圖1 壓電懸臂梁

對于雙面粘有壓電材料的壓電懸臂梁，考慮其沿軸向伸長與縮短，則由式(1)、式(2)可得：

(3)

(4)

(5)

(6)

式中：Nu、Nd分別為壓電懸臂梁上、下壓電層產生的抗力；c11為cE在軸向的彈性模量；Au為壓電懸臂梁上壓電薄片壓電層的截面積；Lu為壓電懸臂梁上壓電層的長度；Δuu為懸臂梁上壓電層的軸向變形量；e33為e的垂直于軸向的壓電應力常數(shù)；hu為懸臂梁上壓電薄片的厚度；ΔEu為懸臂梁上壓電薄片的電勢差；Ad為壓電懸臂梁下壓電層的截面積；Ld為壓電懸臂梁下壓電層的長度；Δud為壓電懸臂梁下壓電層的軸向變形量；hd為懸臂梁下壓電薄片的厚度；ΔEd為懸臂梁下壓電薄片的電勢差；Qu、Qd分別為壓電懸臂梁上、下壓電層的電荷量；nu為壓電懸臂梁上壓電薄片層數(shù)；Ξ33為Ξ的垂直于軸向的壓電夾持常數(shù)；nd為壓電懸臂梁下壓電薄片層數(shù)。

2 逆壓電條件下壓電懸臂梁可靠度計算

逆壓電懸臂梁對于普通懸臂梁來說，具有智能化的微調作用，當懸臂梁的撓度超過一定范圍時，壓電層就會收到反饋，利用逆壓電效應對懸臂梁的進行修正，使得懸臂梁在規(guī)定的撓度范圍內服役。

設壓電懸臂梁允許超過的向下最大撓度為wl，其對應的轉角為θl，則壓電懸臂梁上層壓電層縮短位移為

(7)

壓電懸臂梁下層壓電層伸長位移為

(8)

式(7)和式(8)代入式(3)～式(6)分別計算得到在不同ΔEu和ΔEd下的壓電懸臂梁的力學輸出與電學輸出。

壓電懸臂梁中間鐵芯在外界載荷下，允許的向下最大撓度為wl，其產生的抗力為

(9)

式中：L為懸臂梁鐵芯的長度；E為鐵芯的彈性模量；I為鐵芯的慣性矩。

由式(3)～式(6)和式(9)可得到逆壓電條件下壓電懸臂梁的極限狀態(tài)方程：

(10)

(11)

式(10)、式(11)計算所得可靠度為P(f)和P(J)，由于壓電懸臂梁既要考慮力學可靠又要考慮電學可靠，因此逆壓電條件下的壓電懸臂梁可認為由兩者組成的串聯(lián)系統(tǒng)。因此逆壓電條件下壓電懸臂梁的最終可靠度為

P=P(f)·P(J)

(12)

式(10)和式(11)是隱式方程，為方便計算，用一次二階矩法進行進一步的簡化運算。

3 逆壓電條件下壓電懸臂梁可靠度計算的簡化

式(3)～式(9)中參數(shù)的均值與標準差如表1所示。

表1 式(3)～式(8)中參數(shù)的均值與方差

續(xù)表

假設表1中的所有參數(shù)都是無關的，則由式(3)～式(6)可得各式的均值與方差計算公式如下：

(13)

式中：

μu1=μc11μAuμΔuu
μu2=μe31μAuμΔEu

(14)

(15)

(16)

式中：

μd1=μc11μAdμΔμd
μd2=μe31μAdμΔEd

(17)

(18)

式中：

μu11=μe31μAuμΔuu
μu22=μΞ33μAuμΔEu

(19)

(20)

式中：

μd11=μe31μAdμΔud
μd22=μΞ33μAdμΔEd

由式(9)可得Δuu的均值與方差：

(21)

(22)

式中：

由式(8)可得Δud的均值與方差：

(23)

(24)

式中：

由式(9)可得F的均值和方差：

(25)

(26)

式中：

μElw=3μEμlμwl

由式(10)和式(11)得到逆壓電條件下壓電懸臂梁的力學可靠度計算公式：

(27)

式中：

(28)

式中：μQJ、σQJ分別為QJ的均值與標準差；μQM=max{μQu，μQd}；σQM=max{σQu，σQd}。

P(f)=P-1(βf)

(29)

P(J)=P-1(βJ)

(30)

由式(27)、式(28)及式(14)也可得逆壓電條件下壓電懸臂梁的可靠度。

4 算例

壓電懸臂梁參數(shù)都服從正態(tài)分布，其均值如表2所示，變異系數(shù)為0.005[8]。

表2 壓電懸臂梁參數(shù)及其均值

在不同電壓下，由式(27)、式(28)計算所得可靠性指標與可靠度如表3所示。

表3 不同電壓下的壓電懸臂梁的力學與電學可靠度指標

由式(10)、式(11)，用蒙特卡洛方法(MC)分別計算106次，所得可靠度如表4所示。

表4 MC計算不同電壓下的壓電懸臂梁的力學與電學可靠度

壓電懸臂梁最終可靠度如表5所示。

表5 不同電壓下的壓電懸臂梁的可靠度

由表3可以看出，在未加電壓的情況下，壓電懸臂梁的初始設計的力學可靠度要比加電壓之后的可靠度要低，而加電壓之后，壓電懸臂梁的可靠度要明顯的提高不少，這也是設計智能壓電懸臂梁的目的。對于電學可靠度來說，未加電壓的可靠度表中顯示是一樣的，這是由于數(shù)據(jù)精度的原因，但實際上在仿真時，未加電壓的可靠度要比加載電壓的可靠度高，這是因為懸臂梁的壓電層在空載狀態(tài)下，加載電壓后，懸臂梁的電學可靠度在使用狀態(tài)下降低。從表4可以看出，本文處理方法與極限狀態(tài)法結果一致，說明一次二階矩法是可行的。表5根據(jù)串聯(lián)系統(tǒng)原理，取得最后的可靠度，顯示加載電壓后的可靠度比未加載電壓的可靠度高。

5 結論

文中給出了逆壓電條件下壓電懸臂梁的力學輸出與電學輸出數(shù)學模型；由逆壓電條件下壓電懸臂梁力學可靠性和電學可靠性計算的極限狀態(tài)方程，按照串聯(lián)系統(tǒng)可靠性計算方法，給出了逆壓電懸臂梁的可靠度計算公式；利用一次二階矩法，給出了逆壓電狀態(tài)下壓電懸臂梁的的可靠度簡便計算模型，2個算例說明，該模型簡便易行，具有實用性和可行性。