和蕓

【摘要】熟練掌握二次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)對(duì)于學(xué)生取得好的數(shù)學(xué)成績而言至關(guān)重要，通過對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)情況進(jìn)行分析發(fā)現(xiàn)，無論是在面對(duì)單一的函數(shù)題，還是在面對(duì)復(fù)雜的綜合題時(shí)，學(xué)生都存在一定的問題，沒有完整的解題策略，因此，深入探究二次函數(shù)的解題策略，對(duì)于學(xué)生學(xué)習(xí)成績的提升具有十分重要的意義.

【關(guān)鍵詞】二次函數(shù)學(xué);解題策略;數(shù)學(xué)能力

1 數(shù)形結(jié)合法

數(shù)形結(jié)合即是將題目中所給出的內(nèi)容轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的圖形，將數(shù)字與圖形進(jìn)行有機(jī)地結(jié)合，從而減輕解題的難度.同時(shí)，數(shù)形結(jié)合法也是在面對(duì)復(fù)雜題目時(shí)最為常用的方法，因此學(xué)生應(yīng)當(dāng)積極練習(xí).

例1如圖1所示，拋物線F：y=ax2+bx+c（c>0），與y軸于點(diǎn)C，直線L1經(jīng)過點(diǎn)C且平行于x軸，將L1向上平移t得到直線L2，設(shè)L1與拋物線F的交點(diǎn)為C，D，L2與拋物線F的交點(diǎn)為A，B，連接AC，BC.

（1）當(dāng)a=12，b=-32，c=1，t=2時(shí)，△ABC的形狀.

（2）若△ABC為直角三角形，求t的值.

解析 通過閱讀題目可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于第一問，需要學(xué)生找到題目中所蘊(yùn)含的拋物線信息，代入公式，求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)△ABC邊長間的關(guān)系確定其形狀.第二問則是根據(jù)二次函數(shù)的基本性質(zhì)，加之直角三角形的特點(diǎn)，求出未知變量.

解1 當(dāng)a=12，b=-32，c=1，t=2時(shí)，拋物線表達(dá)式則為y=12x2-32x+1，將x=0代入，可以得C點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），t=2時(shí)，y=3，此時(shí)由12x2-32x+1=3可得x1=-1，x2=4，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，3），B點(diǎn)坐標(biāo)為（4，3），根據(jù)勾股定理代入數(shù)據(jù)可以得到CA=5，CB=25，AB=5.此時(shí)存在CA2+CB2=AB2，所以當(dāng)a=12，b=-32，c=1，t=2時(shí)，△ABC為直角三角形.

解2 如圖2，設(shè)AB交y軸于E，交拋物線對(duì)稱軸于F，則F為AB中點(diǎn)，連接CF，由方程c+t=ax2+bx+c，可以得到ax2+bx-t=0.設(shè)其根為x1，x2，則有x1+x2=-ba，x1x2=-ta，AB=x1-x2=（x1+x2）2-4x1x2=b2+4ata.所以CF=12AB=b2+4at2a，在Rt△CEF中，CE=t，EF=-b2a，所以t2+-b2a2=（b2+4at2a）2，解得t=1a.

2 代數(shù)推理法

代數(shù)推理法是指以二次函數(shù)解析式y(tǒng)=ax2+bx+c為基礎(chǔ)，根據(jù)題目中給出的信息進(jìn)行解答，確定解析式中的未知量，最終求出具體的解析式的方法.在實(shí)際的解題中，學(xué)生要根據(jù)題目中給出的信息確定出函數(shù)解析式中a，b，c的變量值，在此基礎(chǔ)上求出解題所需的頂點(diǎn)式、零點(diǎn)式等多種表達(dá)形式，從而解答問題.

例2 如圖3所示，拋物線y=ax2+bx+c頂點(diǎn)坐標(biāo)為Q（2，-1），交y軸于點(diǎn)C（0，3），與x軸交于A，B兩點(diǎn)（A在右側(cè)），點(diǎn)P為其上動(dòng)點(diǎn)，從點(diǎn)C沿拋物線向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)且不重合，過P作PD∥y軸，交AC于點(diǎn)D.求函數(shù)的解析式;

解 根據(jù)題意，拋物線頂點(diǎn)為Q（2，-1），所以設(shè)拋物線為y=a（x-2）2-1（a≠0）.點(diǎn)C（0，3）在拋物線上，則有3=a（0-2）2-1，解得a=1，所以解析式為y=x2-4x+3.

3 轉(zhuǎn)換法

在運(yùn)用轉(zhuǎn)換法時(shí)，需要學(xué)生能夠靈活理解題目中給出材料，并將題目中給出的重點(diǎn)的材料轉(zhuǎn)換為二次函數(shù)所需的內(nèi)容，而后通過解答函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決實(shí)際的問題.

例3 如圖4所示的隧道長12m，寬4m，按圖中所示的坐標(biāo)系，拋物線可用y=-16x2+bx+c表示，且點(diǎn)C到OB的水平距離為3m，到地面OA的距離為172m.

（1）求拱頂D到地面OA的距離;

（2）高6m，寬4m的集裝箱車能否安全通過.

解1 由題意可知點(diǎn)B（0，4）、C（3，172）在拋物線上，將其代入可得c=4，172=-16×9+3b+c，

解得c=4，b=2，則拋物線方程為y=-16x2+2x+4，頂點(diǎn)式則為y=-16（x-6）2+10.

根據(jù)頂點(diǎn)式可以得到其頂點(diǎn)D坐標(biāo)為B（6，10），因此拱頂D到地面OA的距離為10m.

解2 通過分析題意可以得知，該車底部外側(cè)與地面的交點(diǎn)為（2，0）或者（10，0），將x=2或x=10代入y=-16x2+2x+4可得y=223>6，因此，該車可以通過.

數(shù)形結(jié)合法、代數(shù)推理法、轉(zhuǎn)換法作為解答二次函數(shù)相關(guān)題目常用的幾種方法，學(xué)生在課下應(yīng)當(dāng)積極練習(xí)，達(dá)到熟練掌握，如此才能夠在考試中靈活運(yùn)用，提高答題的效率，提高考試成績.

參考文獻(xiàn)：

[1]譚極陽，譚杰中.淺析二次函數(shù)中三角形面積最值問題的解題策略[J].理科考試研究，2021，28（2）：18-21.[2]黃湖.初中二次函數(shù)動(dòng)點(diǎn)問題解題策略研究[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2020（20）：77-78.

[3]李金華.二次函數(shù)綜合題型解題策略與技巧[J].數(shù)理化解題研究，2019（14）：6-7.