張寧

1 幾何模型

如圖1，點A是直線l外一定點，點B是直線l上一動點，以線段AB為邊作等邊三角形ABC，試確定點C的運動軌跡.

分析 當(dāng)?shù)冗吶切蜛BC的第三個頂點C在直線AB的右側(cè)時，如圖1，過點A作AB′⊥l，垂足為B′.以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將線段AB′繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AC′.連接B′C′，易知

△AB′B≌△AC′C，

所以∠AC′C=∠AB′B=90°，

即CC′⊥AC′.

因為點A是定點，直線l是定直線，所以點B′是定點，點C′是由點B′繞點A沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到的，所以點C′也是定點，直線AC′是定直線，根據(jù)“平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”，易知點C運動的軌跡是直線C′C.

當(dāng)?shù)冗吶切蜛BC的第三個頂點C在直線AB的左側(cè)時，如圖2，過點A作AB′⊥l，垂足為B′.以點A為旋轉(zhuǎn)中心，圖2將線段AB′繞點A沿順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AC′.連接B′C′，易知△AB′B≌△AC′C，所以

∠AC′C=∠AB′B=90°，

即CC′⊥AC′.

易知點C運動的軌跡是直線C′C.圖3

2 應(yīng)用舉例

例1

如圖3，在矩形ABCD中，AB=5，BC=53，點P在線段BC上運動（含B，C兩點），連接AP，以點A為中心，將線段AP逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AQ，連接DQ，則線段DQ的最小值為（? ）

（A）52. （B）52.

（C）533. （D） 3.

分析 求解本題的關(guān)鍵是確定點Q的運動軌跡.以點A為中心，將線段AP逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到AQ，連接PQ，則△APQ是等邊三角形.以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將線段AB沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE.連接EQ，則點Q在射線EQ上運動.因為點P在線段BC上運動，所以點Q的運動軌跡是一條線段.

如圖4，當(dāng)點P運動到點C時，點Q在直線CD上.由勾股定理，得

AC=AB2+BC2

=52+（53）2

=10.

因為AE=AB=5，

所以AE=CD=5，

從而易知點Q在線段AC的垂直平分線上，即點Q是線段AC的垂直平分線與直線CD的交點，當(dāng)點P在線段BC上運動，點Q的運動軌跡是線段EQ.

解 如圖3，以點A為旋轉(zhuǎn)中心，將線段AB沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到線段AE.連接BE，EQ，PQ.易知△ABP≌△AEQ，所以∠AEQ=∠ABP=90°，

即EQ⊥AE，易知點Q在射線EQ上運動.過點D作DQ′⊥EQ，垂足為Q′，則當(dāng)點Q運動到Q′時，線段DQ′有最小值.設(shè)EQ′交AD于點G，易得

∠GDQ′=∠EAG=30°，

所以AG=AEcos∠EAG=5cos30°=1033，

所以DG=AD-AG=53-1033=533，

所以DQ′=DG·cos∠GDQ′=DG·cos30°

=533×32=52，

故選（A）.

注 本題是一道以矩形為基本圖形，以動點問題為情境的幾何最值問題.本題涉及兩個動點，當(dāng)點P在線段BC上運動時，點Q隨之運動.欲求線段DQ的最小值，需確定點Q的運動軌跡，這是解決本題的關(guān)鍵.由圖4易知點Q的運動軌跡是線段EQ.文中介紹的等邊三角形的幾何模型在解決問題的過程中起到了方向指引的作用.當(dāng)然，本題也可采用特殊化策略，利用圖4可更簡潔求解.

例2 如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=4，點D是BC邊的中點，點P是AC邊上一個動點，連接PD，以PD為邊在PD的下方作等邊三角形PDQ，連接CQ，則CQ的最小值是（? ）

（A）32.??? （B） 1.

（C）2.（D）32.

解 如圖5，以點D為中心，將線段DC逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到DE，連接CE，則△CDE是等邊三角形.連接EQ，易知

△DEQ≌△DCP，

所以∠DEQ=∠DCP=90°，

即EQ⊥DE，

所以點Q在射線EQ上運動.

如圖6，當(dāng)點P運動到點A時，點Q運動到了Q′點，所以點Q的運動軌跡是線段EQ′.

如圖4，由垂直的性質(zhì)，易知當(dāng)CQ⊥EQ時，CQ取到最小值.因為△CDE是等邊三角形，所以

∠CED=60°.

又∠DEQ=90°，

所以∠CEQ=30°.

因為BC=4，

點D是BC邊的中點，

所以CE=CD=2.

由直角三角形的性質(zhì)，易得

CQ=12CE=1.

故選（B）.

注 本題是一道以等腰直角三角形和等邊三角形為基本圖形，以動點問題為情境的幾何最值問題.主要考查直角三角形的性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、垂直的性質(zhì)等知識，綜合性較強，具有一定的難度.求解本題的關(guān)鍵是確定點Q的運動軌跡，利用文中介紹的幾何模型容易確定，因此，只有熟練掌握常見幾何模型的性質(zhì)，解題時才能做到胸有成竹，正可謂“心中有模型，解法自然來”.