張興筑

【摘要】 直角三角形是三角形中一類特殊的三角形，很多幾何問題需要借助直角三角形來解決，準(zhǔn)確判定或構(gòu)造直角三角形，是解決問題的關(guān)鍵. 本文舉例說明判定直角三角形的幾種方法.

【關(guān)鍵詞】 直角三角形;判定

1 根據(jù)三角形的角來判定

定義 如果三角形中有一個(gè)角是直角，那么這個(gè)三角形是直角三角形;

定理 如果三角形中有兩個(gè)角互余，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

例1 如圖1，已知正方形ABCD的邊長為5，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且AE=DF=2，BE與AF交于點(diǎn)G，點(diǎn)H是BF的中點(diǎn)，連接GH，求GH的長.

解 因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，

所以∠BAE=∠ADF=90°，

AB=AD.

在△BAE與△ADF中

AB=AD，∠BAE=∠ADF，AE=DF，

所以△BAE≌△ADF.

于是∠ABE=∠DAF.

因?yàn)椤螦BE+∠AEB=90°，

所以∠DAF+∠AEB=90°.

于是∠BGF=∠AGE=90°.

因?yàn)椤螩=90°，

BC=5，CF=3，

所以BF=BC2+CF2

=52+32

=34.

因?yàn)椤螧GF=90°，

點(diǎn)H是BF邊的中點(diǎn)，

所以GH=12BF=342.

2 根據(jù)三角形三邊的關(guān)系來判定

勾股定理的逆定理：如果三角形中兩條邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角.

例2 如圖2，在△ABC中，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，AB=5，AD=6，AC=13 . 求證：AB⊥AD .

證明 如圖2，延長AD到E，使DE=AD，連接CE.

因?yàn)辄c(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，

所以CD=BD.

在△CDE與△BDA中，

CD=BD，∠CDE=∠BDA，DE=AD，

所以△CDE≌△BDA.

于是∠CED=∠BAD，

CE=AB=5.

在△ACE中，CE=5，

AE=2AD=12，AC=13，

因?yàn)?2+122=132，

即CE2+AE2=AC2.

于是∠CED=90°.

從而∠BAD=90°.

所以AB⊥AD .

3 根據(jù)三角形的中線與邊的關(guān)系來判定

定理 如果三角形一條邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形.

例3 如圖3，在△ABC中，點(diǎn)E為邊AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)E的直線交BC邊于點(diǎn)F，點(diǎn)D為直線EF上一點(diǎn)，且AD=CD，過點(diǎn)A作AG∥BC交DE于點(diǎn)G，當(dāng)BF=AG時(shí)，求證：△ABC是直角三角形.圖3

證明 如圖3，連接AF.

因?yàn)锳D=CD，

點(diǎn)E為邊AC的中點(diǎn)，

所以DF⊥AC.

于是AF=CF.

因?yàn)辄c(diǎn)E為邊AC的中點(diǎn)，

AG∥BC，

所以∠AGE=∠CFE，AE=CE.

在△AEG和△CEF中，

∠AGE=∠CFE，∠AEG=∠CEF，AE=CE，

所以△AEG≌△CEF.

于是AG=CF.

因?yàn)锽F=AG，

所以BF=CF=AF，

即AF=12BC.

因此△ABC是直角三角形.

練習(xí)

1.如圖4，已知等邊△ABC的邊長為4，點(diǎn)D，E分別是AB，BC邊的中點(diǎn)，F(xiàn)為AC邊上的點(diǎn)，且∠C=2∠CEF，點(diǎn)G為EF的中點(diǎn)，連接DG，求DG的長.

2.如圖5，在正方形ABCD中，已知點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊AB上，且BF=13AF，請你判定DE與EF之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由.

3.如圖6，在△ABC中，∠ABC=5∠ACB，D是AC邊上的點(diǎn)，BD垂直于∠BAC的平分線AF，垂足為點(diǎn)F，M是BC邊的中點(diǎn)，E是線段BM上的一點(diǎn)，且EM=EF，求證：DE⊥BC.

4.如圖7，在△ABC中，AC=BC，點(diǎn)D為邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)E為AB邊上的一點(diǎn)，過點(diǎn)B作BF⊥CE，垂足為點(diǎn)F，BF與CD相交于點(diǎn)G，當(dāng)AE=CG時(shí)，求證：CD=AD .

答案

1.192.

2.DE=2EF，DE⊥EF.

3.提示：連接FM.

4.提示：過點(diǎn)A作AM⊥CE，垂足為點(diǎn)M，與CD的延長線交于點(diǎn)N.