石平

【摘要】在拋物線背景下，直角三角形存在問題是動點坐標(biāo)確定的基本方法在特殊背景下的運用.圖形重組和重建能靈活的展現(xiàn)數(shù)學(xué)題解題方法美感少機械的數(shù)學(xué)推理和運算比例.通過分析繪圖找到符合條件的點然后再在"互余三角形"或者"三垂直模型"中利用相似或者勾股定理得到相應(yīng)的分式方程或者一元二次方程去進(jìn)行模型構(gòu)建.分類討論思想和待定系數(shù)法是基本方法，運用尺規(guī)畫圖尋找符合條件的點是解題關(guān)鍵.

【關(guān)鍵詞】解題技巧;直角三角形;拋物線型問題呈現(xiàn)

類型1 動點在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的確定直線上，且直線穿過已知定點所連線段.

如圖1，已知拋物線，與x軸交于點A，B兩點，與y軸交于點C.點 P 為拋物線的對稱軸x=上的動點，求使坐標(biāo).

類型2 動點在坐標(biāo)軸或平行于坐標(biāo)軸的確定直線上，且直線不穿過已知定點所連線段.

如圖1，已知拋物線，與x軸交于點A，B兩點，與y軸交于點C，點 D是點C關(guān)于對稱軸的對稱點.點 P為拋物線的對稱軸上的一個動點，求使為直角三角形的點P的坐標(biāo).

類型3 動點在拋物線上，且直線不穿過已知定點所連線段.

如圖1，已知拋物線，與x軸交于點A，B兩點，與 y軸交于點C.點 P為拋物線上的一個動點，求使為直角三角形的點P的坐標(biāo).

2 解題思路點撥

求交點坐標(biāo)的基本思路是一樣的，設(shè)動點橫坐標(biāo)，表示出縱坐標(biāo)，建立方程或方程組求解.在初等數(shù)學(xué)中表達(dá)垂直關(guān)系的方式?jīng)Q定了建立的方程或方程組的形式.或者說，對直角三角形的不同詮釋，決定了你列的是哪種方程.

以上三個類型中，前兩個可以用三種思路，但是第三個類型若用一，二思路所列方程非常復(fù)雜難解，所以，第三種思路應(yīng)當(dāng)作為基本思路和方法教會學(xué)生.所以，研究相似三角形的圖形構(gòu)建就顯得非常的重要.本文將通過類型1的求解，談?wù)劦谌N方法的構(gòu)圖方法和解題技巧.

3 構(gòu)圖技巧例析

這兩個基本圖形是相似三角形模型中的最典型的，圖"K"形圖，圖"三垂直模型"，這兩個圖是來源于同一個基本圖形（圖4）.

我個人看法，干脆叫"互余三角形".這類方法也就可以叫"互余三角形法".構(gòu)圖思路分兩步完成，以類型1為例.

第一步，用尺規(guī)作圖方法找到符合條件的點的可能位置.

分別以過 B，C兩點，作直線 BC的兩條垂線，交對稱軸于 P1，P2.以 BC為直徑畫圓交對稱軸于P3，P4.則符合條件的點有四處.

第二步，運用"互余三角形"構(gòu)建相似的直角三角形模型.

第三步，利用相似三角形對應(yīng)邊相等列出分式方程寫出解答過程.

解

分別以過 B，C兩點，作直線 BC的兩條垂線，交對稱軸于 P1，P2.以 BC為直徑畫圓交對稱軸于P3，P4.則符合條件的點有四個.

4 中考真題賞析

例1 二次函數(shù) y=ax2ax+3的圖像過點 A（6，0），且與y軸交于點B，點 M在該拋物線的對稱軸上，若△ABM 是以AB為直角邊的直角三角形，則點 M的坐標(biāo)

（2020年江蘇省無錫市）

解

參考文獻(xiàn)：

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[3]孫浩.走進(jìn)"特殊"圖形，探究突破策略——以拋物線與特殊三角形問題為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)"初中版，2020（6）：3.