王福寧

一、引言

天氣衍生品是建立在溫度、濕度、降水、風等天氣變量上的金融合約。自1999年第一份溫度期貨合約在芝加哥商品交易所（CME）交易以來，天氣衍生品已成為管理天氣風險的最重要的金融工具。

氣溫衍生品是天氣衍生品市場中最常見的一種類型，有一些文獻[1，3]涉及氣溫建模，其中Alaton[1]引入了隨月份變化波動率的Ornstein-Uhlenbeck （O-U）過程來模擬氣溫演化。Cao 和Wei[3]利用均值回歸模型模擬氣溫，建立了基于氣溫的動態(tài)評估模型。由于天氣衍生品市場是不完備的，所以經(jīng)典的金融衍生品定價方法，如Black-Scholes公式并不適用。 因此，研究者們從不同角度提出了多種方法，如邊際效用法[4]、指數(shù)建模[5]、均衡定價[6]、ARMA時間序列模型法[7-9]等。 Li Peng，Xiaoping Lu，Song-Ping Zhu[10]基于偏微分方程方法，利用效用無差異估值中提取的市場風險價格對天氣衍生品進行定價。Li Peng[11]對兩個典型過程的天氣衍生品進行了定價：Ornstein–Uhlenbeck過程和帶跳躍擴散的Ornstein–Uhlenbeck過程，并用單側Crank–Nicolson格式，分別求解這兩個過程對應的偏微分方程和積分微分方程。

本文擬在已有研究的基礎上，采用ARMA時間序列模型對鄭州市氣溫變化過程進行建模，并利用該模型進行氣溫預測，最后檢驗模型的準確性。

二、 數(shù)據(jù)與研究方法

（一）數(shù)據(jù)來源與預處理

鄭州是河南省的省會城市，是中國中部重要的交通樞紐和農(nóng)業(yè)城市。從中國氣象科學數(shù)據(jù)共享服務網(wǎng)收集了1980-2020年間的日平均氣溫數(shù)據(jù)，為了消除閏年的影響，剔除了所有閏年2月29日的日平均氣溫。因此，共有14965個觀測值，沒有缺失數(shù)據(jù)。利用鄭州市40年（1980-2019年）的日平均氣溫數(shù)據(jù)來構建氣溫預測模型，并用預測模型預測鄭州市2020年的日平均氣溫。

經(jīng)過Matlab R2019a 軟件處理，得到了40年的日平均氣溫的折線圖，如圖1所示。

（二）模型的建立

根據(jù)前文分析得出，鄭州市日平均氣溫數(shù)據(jù)的變化過程具有很強的季節(jié)性變化，可以用一些正弦函數(shù)來模擬季節(jié)相關性，函數(shù)形式如下：

式中，t表示時間，以天為單位，為相位角，日平均氣溫的季節(jié)性變化呈現(xiàn)出以一年為單位的周期性，為了數(shù)據(jù)統(tǒng)一，刪除閏年2月29日的氣溫數(shù)據(jù)，應取。因受到全球的溫室效應，每年的氣溫以微弱的趨勢增長，可以合理的假設這種微弱的變化是線性的，用Bt表示。因此，鄭州市日平均氣溫變化過程可寫為如下形式：

其中Tt為時間t的日平均氣溫，A、B、C以及是由歷史日平均氣溫數(shù)據(jù)擬合的參數(shù)，Xt為去除趨勢和季節(jié)性后的隨機變量。

為便于參數(shù)估計，將（2）式作如下等式變換：

整理可得：

因為和是常數(shù)，所以可將（4）式看成是一個線性方程：

即：

三、模型的參數(shù)估計與結果分析

（一）ARMA模型的估計

用Eviews 10軟件對公式（5）進行參數(shù)估計，得到結果如表1所示。

由表1可知，各項變量系數(shù)都顯著，但D-W值僅為0.547593，說明模型存在序列正相關性，需要對其進行修正。首先對隨機變量進行單位根檢驗，結果見表2。由表2可知，ADF檢驗的統(tǒng)計量為-43.61932，明顯小于在1%、5%、10%的顯著性水平下的臨界值，說明隨機變量沒有單位根，且序列平穩(wěn)。其次，通過對隨機變量繪制出自相關系數(shù)圖和偏自相關系數(shù)圖后，可以判斷出它是一個平滑的非白噪聲序列。因此，需要引入ARMA模型進行修正隨機變量，發(fā)現(xiàn)引入ARMA（2，2）后，各項系數(shù)顯著，D-W值為2.001 518，十分接近于2，說明模型不存在序列相關性，模型擬合的結果好，具體結果見表3。

（二）預測結果

根據(jù)上述分析所得的時間序列ARMA模型，運用Eviews10軟件對鄭州市2020年的日平均氣溫進行預測，發(fā)現(xiàn)所構建的模型比較好，見圖2。

本文通過計算偏差比率、方差比率和協(xié)方差比率進一步驗證了模型的準確性，其三個比率值計算結果分別為0.000645，0.000794，0.998561。從這三個值中可看出偏差比率和方差比率的值較小，協(xié)方差比率值較大，且三個值和1，說明該模型預測較好。

四、 基于蒙特卡洛方法對氣溫衍生品定價

選取累積制冷指數(shù)（cooling degree days，CDDs）為研究對象，探討氣溫的期貨定價問題。 CDDs的表達式為：

其中是基準溫度，基準溫度一般是65華氏度或18 攝氏度，根據(jù)我國國情，選擇。Ti是第i天的日平均氣溫。

假設期權的合約期限在T1和T2之間，且T2是合約的到期日，r為無風險利率，C為名義價值，S（T）為到期時標的資產(chǎn)的實際價格，F(xiàn)（t）為遠期合約在時間t時的價值，原理上，當無風險利率為常數(shù)，期貨合約和遠期合約有相同的到期日和交割日時，其期貨合約的價格等于遠期合約的價格。即

這里的E為風險中性測度下的期望，我們假定風險市場價格為0。

選擇CDDs期貨合約為例，預期合約的終值為預期的CDDs值，即CDDs在時刻t的期貨價值為：

根據(jù)上式（11）可知，是已知的，只需用蒙特卡洛方法計算。

選擇2020.8.1-2020.8.31為合約期限，合約的名義價值C=100，即每點CDDs指數(shù)為100元，采用蒙特卡洛方法，計算出這一時期內(nèi)CDDs值。當經(jīng)過100000次模擬后，發(fā)現(xiàn)CDDs模擬值趨于穩(wěn)定，達到仿真要求。

五、展望

我國的天氣特征具有復雜性且受到多種因素的影響，天氣的變化與各個行業(yè)以及我們的生活息息相關，如2021年河南7.20強降雨事件，給各個行業(yè)的發(fā)展和市民的生活帶來了諸多影響，農(nóng)業(yè)生產(chǎn)損失更是高達上億元。因此開發(fā)出適應我國的天氣衍生品用于應對天氣風險具有一定的現(xiàn)實意義，而我國目前的天氣衍生產(chǎn)品市場亟待完善，需要來自金融市場、法律甚至是媒體等多方共同努力來促進天氣衍生品市場的蓬勃發(fā)展。

參考文獻：

[1] Alaton， Djehiche and Stillberger.On Modelling and Pricing WeatherDerivatives.Applied Mathematical Finance，2002，9：1-20.

[2] Bhowan A.Temperature derivatives School of Computational and Applied Mathematics，University of Wiwatersrand.2003.

[3] Cao M.and Wei J.Weather derivatives valuation and market price of weather risk. Future Markets， 2005，24（11）：1065-1089.

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[5] Gregor Dorfleitner，Maximilian Wimmer. The pricing of temperature futures at the Chicago Mercantile Exchange[J].Journal of Banking and Finance， 2009，34（6）：1360-1370.

[6] Yongheon Lee， Shmuel S. Oren. An equilibrium pricing model for weather derivatives in a multi-commodity setting[J]. Energy Economics， 2009， 31（5）：702-713.

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[9] 李嫣然.天氣金融衍生品定價研究—基于ARMA的時間序列模型[J].保險職業(yè)學院學報，2017，31（04）：28-33.

[10] Li Peng， Xiaoping Lu， Song-Ping Zhu. Pricing weather derivatives with the market price of risk extracted from the utility indifference valuation， Computers and Mathematics with Applications， 2020，79： 3394C3409.

[11] Li Peng. The valuation of weather derivatives using one sided Crank-Nicolson schemes. Computational Economics，2020.

作者單位：華北水利水電大學數(shù)學與統(tǒng)計學院