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        發(fā)展高中生數(shù)學(xué)高階思維的路徑思考

        2022-05-30 10:48:04羅豐
        新課程·上旬 2022年4期
        關(guān)鍵詞:值域單調(diào)條件

        羅豐

        數(shù)學(xué)高階思維是指學(xué)生通過(guò)題目中的各項(xiàng)已知條件找出隱含條件,再觀察數(shù)據(jù)之間的關(guān)系,分析解題思路。對(duì)學(xué)生來(lái)講,既要有較高的邏輯思維能力,又要有挖掘能力,這樣才能利用已學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)順利解答數(shù)學(xué)問(wèn)題。

        一、關(guān)注學(xué)生的空間想象能力

        高中數(shù)學(xué)幾何知識(shí)有復(fù)雜的空間圖形,學(xué)生要利用空間想象能力解決題目。所謂空間想象是指人腦在對(duì)已知信息進(jìn)行處理和對(duì)比之后,轉(zhuǎn)變成已學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程。學(xué)生一定要有較強(qiáng)的空間想象能力,才能接受知識(shí)、利用知識(shí)。從某種程度上講,想象力比知識(shí)更加重要?,F(xiàn)階段,信息化技術(shù)手段已經(jīng)走進(jìn)教室,教師可以利用信息技術(shù)為學(xué)生創(chuàng)造直觀的數(shù)學(xué)空間知識(shí),讓學(xué)生通過(guò)多媒體的幫助,迅速掌握關(guān)于幾何圖形的各類空間問(wèn)題,教師還可以引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察,大膽發(fā)揮想象,提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣。

        二、關(guān)注學(xué)生思維的簡(jiǎn)潔性

        很多高中數(shù)學(xué)例題中有著復(fù)雜的已知條件,也包含一些干擾條件,學(xué)生在解答題目時(shí),應(yīng)當(dāng)快速排除干擾項(xiàng),找出有用的條件,這就要求學(xué)生具備一定的刪繁就簡(jiǎn)能力。學(xué)生可以發(fā)掘條件中的矛盾,從而做到思維上的簡(jiǎn)潔性,例如,函數(shù)f(x)=x2-4+x2+kx(x∈R)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-2),則k的取值范圍為(? )。

        分析:有的學(xué)生往往受導(dǎo)數(shù)處理函數(shù)單調(diào)性的思維定式的影響,會(huì)聯(lián)想到用導(dǎo)數(shù)來(lái)解決本題,教師可以引導(dǎo)學(xué)生換種思維思考。首先,去絕對(duì)值符號(hào)可得f(x)=2x2+kx-4,x≥2或≤2kx+4,-2其次,“函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間為(-∞,-2)”這一條件學(xué)生應(yīng)當(dāng)如何更深刻地理解?教師可以將題目轉(zhuǎn)換成如下意思:已知(-∞,-2)為函數(shù)f(x)=x2-4+x2+kx(x∈R)的單調(diào)區(qū)間,k的取值范圍如何?學(xué)生經(jīng)過(guò)思考就會(huì)認(rèn)為不可以這樣轉(zhuǎn)化。因?yàn)樵}想表達(dá)的是(-∞,-2)為函數(shù)f(x)的單調(diào)減區(qū)間,且函數(shù)f(x)只在這一區(qū)間上為單調(diào)減函數(shù)。結(jié)合函數(shù)圖象可知,對(duì)稱軸x=-k/4在[-2,2]之間,于是可得出-2≤-k/4≤2且k>0,解得0

        三、重視學(xué)生思維的嚴(yán)謹(jǐn)性

        在解答高中數(shù)學(xué)題目時(shí),學(xué)生要全面思考問(wèn)題,用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度對(duì)待每一項(xiàng)已知條件,這樣才能將所有的可能結(jié)果進(jìn)行分析,最終解答出正確答案。依靠思維的嚴(yán)謹(jǐn)性可以讓學(xué)生知其然,并且知其所以然,這也是教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中的重點(diǎn)內(nèi)容之一。如下例題中,已知函數(shù)f(x)=ax/(x2+1),g(x)=sin4x-cos4x,若對(duì)于任意的x1∈R均存在x2∈R,并令g(x2)=f(x1),則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)_____。

        分析:g(x)=sin4x-cos4x=-cos2x∈[-1,1]。由條件易知函數(shù)f(x)的值域應(yīng)為函數(shù)g(x)值域的子集。f(x)的定義域?yàn)镽,因此接下來(lái)應(yīng)求函數(shù)f(x)的值域。

        解題方法1:

        首先對(duì)x進(jìn)行分類討論。

        當(dāng)x=0或a=0時(shí),f(x)=0。當(dāng)x>0時(shí),f(x)=ax/(x2+1)=a·1/(x+1/x),

        若a>0,則0

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