劉欣和

數(shù)學應用性問題體現(xiàn)了數(shù)學理論知識的應用場景。為了提高學生的學習效率，降低學生學習難度，初中數(shù)學教師有必要多讓學生接觸一些應用性問題，讓學生將理念同實踐充分地結合起來。通過多多實踐，學生可以豐富數(shù)學思維，學會數(shù)學方法，提升數(shù)學技能。教師應提醒學生在實踐中積累經(jīng)驗，學會總結歸納，提高數(shù)學邏輯思維能力，以出色的成績備戰(zhàn)中考。

1. 初中數(shù)學中考應用性問題剖析

初中數(shù)學應用性問題在中考中通常以壓軸題形式出現(xiàn)，考驗著學生解決綜合問題的能力。應用性問題通常具有分值大、難度高、綜合性強、解題步驟多的特點，重要性不言而喻。由于部分學生綜合能力偏差、邏輯思維能力較差、解題技巧掌握得不多，因而就導致在應用性問題上失分較多。所以說，應用性問題解決的好壞，在某種程度上將直接影響一名學生的中考數(shù)學成績。為了不讓學生因應用性問題過多丟分，教師在平日的教學過程中，有必要對學生進行專項優(yōu)化訓練，傳授學生一些解決應用性問題的技巧，提高學生解決應用性問題的能力。

縱觀近幾年的中考數(shù)學題，考查范圍大致集中在方程或方程組類、函數(shù)類、不等式類、幾何類和統(tǒng)計類。這幾類應用題幾乎涵蓋了初中數(shù)學的各個領域，且與人們的日常生活具有緊密的關聯(lián)性。為了提高學生的中考數(shù)學得分率，數(shù)學教師必須精選例題，準確把握中考動向，多選擇一些較為學生熟悉的熱點問題，有針對性地對學生進行指導訓練，讓學生把握好每一類題型的解題方法和解題技巧，為提高整體成績奠定基礎。

2. 數(shù)學中考應用性問題解題技巧

數(shù)學中考應用性問題的解題思路可以概括為閱讀、理解題干，將具體問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題，利用所學數(shù)學知識解決問題三大步。這是解決此類數(shù)學問題的最常用方法。當然，面對不同的數(shù)學問題，所選用的數(shù)學方法、所運用的數(shù)學知識也不盡相同，學生需要根據(jù)具體情況靈活掌握。下面，本文將以兩個數(shù)學應用題的解題思路和解題方法為例，分步進行探討，以期達到和各位同仁交流之目的。

2.1 方程類應用題

汶川發(fā)生地震后，為了盡快馳援震區(qū)，某帳篷廠需要完成24000頂帳篷的生產(chǎn)任務，每天的生產(chǎn)量比原來的多一半，且提前4天完成任務。問該廠原來每天生產(chǎn)多少頂帳篷？

為了順利解決問題，教師需要一步步地引導學生，理清邏輯關系和數(shù)量關系。

2.1.1 讀材料、分析問題、尋找等量關系

通過閱讀材料可以知道，要想順利解決這道應用題，首先要建立起等量關系來。根據(jù)題意，我們可以確定兩個等量關系：數(shù)量上的等量關系：由題意可知：擴大產(chǎn)能后每天的生產(chǎn)量比原來的多一半，也就是說，擴大產(chǎn)能后每天的生產(chǎn)量是原來的1.5 倍，如果設原來每天的生產(chǎn)量為X，則現(xiàn)在每天的生產(chǎn)量為1.5X;時間上的等量關系：由題意可知：由于擴大了產(chǎn)能，任務提前4天完成了。由此我們不難找到數(shù)量關系。擴大產(chǎn)能前，總共需要24000/X天才能完成生產(chǎn)任務，現(xiàn)在，只需用（24000/1.5X）天即可完成生產(chǎn)任務。

2.2 根據(jù)等量關系，列方程

24000/X=（24000/1.5X）+4

2.3 解方程

方程不難，經(jīng)解得：x=2000

現(xiàn)在再來回顧一下解決此類問題的技巧。面對此類應用性問題，第一步是要設定一個未知數(shù)。設未知數(shù)通常有兩種思路，一種是直接根據(jù)問題所問，將最終所問設定成未知數(shù);另一種是尋找一個適宜的量，也就是說，根據(jù)題意看設哪個量方便就設哪個量。等將未知數(shù)求出來以后，再根據(jù)未知數(shù)同最終所問的量的關系來求出最終所問。通過讀題可以知道，此題問的是該廠原來每天生產(chǎn)多少頂帳篷。由于題中直接給出一個條件：擴大產(chǎn)能后每天的生產(chǎn)量是原來的1.5倍，所以，我們可以采取第一種設定未知數(shù)的方法，將問題所問（該廠原來每天生產(chǎn)多少頂帳篷）直接設定成未知數(shù)。解決這個問題的第二個關鍵是尋找等量關系。由于根據(jù)確定的24000頂帳篷的生產(chǎn)任務，我們可以通過帶有未知數(shù)的代數(shù)式表達出擴能前和擴能后為完成生產(chǎn)任務分別所需的天數(shù)。又由于題中說明了通過擴大產(chǎn)能使工廠提前4天完成了任務，所以，可以通過天數(shù)來建立等式。這是這個問題能夠得到解決的關鍵所在。

為了提高教學效率，數(shù)學教師應教會學生一通百通，即掌握了一道題的解決方法后，要能夠解決類似的許多問題。學生通過解決典型題捋清了解題思路，再面對同類問題時就可以在短時間內(nèi)找到問題的關鍵所在，從而順利將問題解決。教師要提醒學生進行驗算，將所求得結果帶回原題中檢驗一下，以驗證解得是否正確。以本題來說，學生可以將2000帶回去驗算一下。擴大產(chǎn)能前，工廠每天生產(chǎn)2000頂帳篷，為了完成24000頂帳篷的生產(chǎn)任務，需要12天。擴大產(chǎn)能后，工廠每天生產(chǎn)3000頂帳篷，為了完成24000頂帳篷的生產(chǎn)任務，則需要8天，正好提前4天完成了任務?？梢?，此題解得無誤。利用方程解數(shù)學應用題的關鍵是讀懂題意后捋清數(shù)量關系，進而列出等式。對于復雜一點的應用題，選擇合適的未知數(shù)列方程是關鍵的一步。得出未知數(shù)后，再在未知數(shù)與所要求的數(shù)之間建立數(shù)量關系，即可得出最終答案。運用方程解數(shù)學應用題的關鍵是通過準確尋找數(shù)量關系建立起等式來。只有建立起等式，才能求出未知數(shù)。未知數(shù)有時是直接要求的數(shù)，有時與要求的數(shù)具有一定的數(shù)量關系。總之，求出未知數(shù)后，距離最終解決問題就只差一步之遙了。

且看下面案例：一輛客車和一輛卡車同時從A地出發(fā)，沿同一公路同一方向行駛，客車的行駛速度是70km/h，卡車的行駛速度是60km/h，客車比卡車早1h經(jīng)過B地。問：A、B兩地間的路程是多少？

若想求得A、B兩地之間的距離，就要首先知道交通工具運行的時間和速度?，F(xiàn)在，客車和卡車的速度都已經(jīng)知道了，只是不知道它們運行的具體時間。不過，題中已經(jīng)說從A地到B地客車比卡車少用了1個小時。由此，我們就可以建立起等式來。由于A地到B地的距離是固定不變的，我們可以根據(jù)這個條件建立起數(shù)學等式?，F(xiàn)在，我們可以假設客車從A地到B地一共走了X小時，那么，卡車從A地到B地則需要走（X+1）小時。根據(jù)A地到B地的距離是固定的，現(xiàn)在建立起數(shù)學等式：

70X=60（X+1）

解方程得：X=6

現(xiàn)在知道了客車從A地到B地的運行時間。用時間乘以速度，就可得出全程距離了。

6×70=420

所以，A、B兩地間的路程是420km。

有的同學習慣將問題要求的最終結果設定為未知數(shù)。當然，這樣也同樣可以得出答案。不過，等量關系就需重新來進行確定。比如，就上面這個問題來說，我們?nèi)绻麑、B兩地間的路程設定為未知數(shù)，那么就要在交通工具運行時間上建立起等量關系來。根據(jù)題意我們知道：客車比卡車早1小時經(jīng)過B地?，F(xiàn)在，我們假設A、B兩地間的路程為X，那么，客車需要運行的時間是X/70，卡車需要運行的時間即是X/60，根據(jù)客車比卡車早1小時經(jīng)過B地這一已知條件，我們建立起等式關系：

（X/70）+1=X/60

同樣可以求得X=420km。

可見，只要找到等量關系，不論怎樣設定未知數(shù)，均可求得最終答案。許多學生不會運用方程解決應用性問題，其存在的最大障礙就是捋不清應用性問題的邏輯關系。針對此類困難，數(shù)學教師無需過于著急，而應通過具體問題的解決一點點教會學生建立起數(shù)學邏輯思維來，找準解決問題的關鍵。且看下面這一例題：某校女生占全體學生數(shù)的52%，比男生多80人，這個學校有多少學生？要想順利解決這個應用性問題，學生必須具備一定的數(shù)學邏輯思維能力。根據(jù)問題所問，要求學?？偣灿卸嗌賹W生，就需要將該校的男生和女生加起來，這是最簡單的邏輯推理?？墒牵}中既未給男同學的具體數(shù)量，也沒有給出女同學的數(shù)量，只是給了兩個數(shù)量關系：一是說女生占全體學生數(shù)的52%，一是說女生比男生多80人。我們可以根據(jù)這兩個僅有的線索，建立初步的數(shù)量關系，然后再求得最終結果。現(xiàn)在，我們可以根據(jù)問題所問，直接設定該校共有X名學生，這樣，女生數(shù)就是52%X。根據(jù)“女生比男生多80人”這個已知條件，可以知道該校男生總數(shù)為52%X-80。這樣，將男生數(shù)和女生數(shù)加在一起就是學校學生的總?cè)藬?shù)，這是一個等量關系。學生如果能夠想到這一步，也需具備簡單的邏輯思維能力。

52%X+52%X-80=X

解方程得：X=2000

同理，如果將男生數(shù)或女生數(shù)設定為未知數(shù)，通過尋找相應的數(shù)量關系，最終也可求出答案來?？梢姡徽撊绾卧O定未知數(shù)，只要保持清醒的邏輯思維，進而建立起準確的數(shù)量關系，都是解決此類問題的關鍵。

2.4 方程組類應用題

某校組織學生到海邊去旅游，需要準備一批帳篷。供銷商提供兩種帳篷規(guī)格，一種是可供3人納涼的小帳篷，每頂價格是160元;一種是可供10人納涼的大帳篷，每頂價格是400 元。學?？偣仓Ц豆╀N商96000元，正好供2300名學生使用，請問：每種規(guī)格的帳篷學校各需采購多少？現(xiàn)有甲、乙兩種類型的卡車若干輛，甲類卡車可以同時運送4頂小帳篷和11頂大帳篷，乙類卡車可以運送8頂小帳篷和7頂大帳篷，應如何分配帳篷才能一次將所有帳篷運至度假地？面對此類問題首先仍要確定好未知數(shù)。我們可以首先設采購X頂小帳篷，采購Y頂大帳篷，則可得方程組如下：

160X+400Y=96000

3X+10Y=2300

很容易解得方程，求出兩個未知數(shù)：

X=100

Y=200

也就是說，總共需要采購100頂小帳篷和200頂大帳篷。下面考量車的安排。我們可以設安排甲類卡車X量，安排乙類卡車則為Y輛。那么甲類卡車共能運送4X頂小帳篷和11X頂大帳篷，乙類卡車共能運送8Y頂小帳篷和7Y頂大帳篷。下面建立方程組：

100=4X+8Y

200=11X+7Y

解不等式組得：

X=15

Y=5

總結：

利用方程解數(shù)學應用題的關鍵是讀懂題意后捋清數(shù)量關系，進而列出等式。對于復雜一點的應用題，選擇合適的未知數(shù)列方程是關鍵的一步。得出未知數(shù)后，再在未知數(shù)與所要求的數(shù)之間建立數(shù)量關系，即可得出最終答案。當然，并非所有應用性問題均需通過方程（或方程組）來解決。有時，具體運用何種數(shù)學方法還要結合具體問題特征。比如，涉及到幾何問題時，教師要提醒學生首先構圖，然后根據(jù)圖形特點尋找數(shù)形關系，尋找解題路徑。有時，學生需要借助于輔助線解決幾何類問題，這需要學生通過大量的實踐摸索出構筑輔助線的方法。教師應提醒學生在生活中留意觀察與數(shù)學問題相關的生產(chǎn)生活難題，如果學生經(jīng)常能夠運用數(shù)學知識解決此類問題，在中考時，面對應用性問題就不會發(fā)慌。在解決函數(shù)類應用性問題時，學生要準確辨識迷惑項，找準存在函數(shù)關系的兩個變量，這是至關重要的一步。在解決不等式類問題時，學生要確定上下限數(shù)值，這樣才能夠構建起符合題意的不等式來。