梁雪梅

數(shù)形融合，是指通過數(shù)上構(gòu)形或形中覓數(shù)來求解的一類思維方式。在小學數(shù)學課程中，它既是一個主要的數(shù)學思維理論與方式，也是一個認識數(shù)學、學好數(shù)學的有效手段。人們在研究數(shù)的時候，總是要通過對形狀的直接認識來分析，使數(shù)更加清澈、透徹;而在研究形的時候，則總是偏離數(shù)的內(nèi)在實質(zhì)。所以，在小學數(shù)學課程中有機地滲入了數(shù)形融合思想，通過探索數(shù)和形間的聯(lián)系，就可以使疑難定義、困難問題都豁然開朗、迎刃而解。

1. 以形悟數(shù)，在直觀中建立概念

數(shù)概念是數(shù)理經(jīng)驗的種子，是發(fā)展學生思維能力的重要源頭。所以，學校在教育抽象化的數(shù)概念時，應用圖形的直觀形式來表現(xiàn)數(shù)的精確，讓學生在認識概念的同時抽象出數(shù)概念的內(nèi)容和外延，以便形成合理的、科學的數(shù)概念。在案例1：人教版四年級下冊“小數(shù)的近似數(shù)”中，強調(diào)“在表示接近數(shù)時，小數(shù)結(jié)尾的零不能去掉”。學生雖然能記住這種概念，但很容易和小數(shù)的性質(zhì)（小數(shù)的末尾添上零或去掉零，小數(shù)的大小不變）混淆。如何引導學生比較近似值七點八和七點八零的異同點呢？教學中筆者在數(shù)軸上表示出接近似值七點八和七點八零的取值范圍，讓學生更清楚地看出了為什么以七點八零結(jié)尾的零沒有去除，同時又深切地感受到七點八零比七點八更精確。而通過用幾何軸直接、形象的解析，不但有助于學生掌握接近數(shù)的定義，同時也在學生頭腦中形成了小數(shù)與接近值的模型，對精確到小數(shù)的位號有了更本質(zhì)的理解。

2. 以形解數(shù)，在連接中體悟方法

小學生的基本邏輯思考主要以表象思考為主，而抽象式思考則相對薄弱。在課堂教學中，將抽象式的數(shù)量關系通過直接的形象圖來表現(xiàn)，可以做到化隱為顯、化難為易，以便于將某些數(shù)學問題加以合理地轉(zhuǎn)化，使解法思路更為明確了。在案例2：教學人教版四年級下冊的“乘法分配律”后，發(fā)現(xiàn)了“1997×2013-1996×2014”一題。因為題目中的數(shù)值相當大，直接運算相當困難且易出錯，所以必須分二次使用乘法分配律來運算，能掌握的學生很少。于是筆者將這道題通過代數(shù)變形法加以教學，形象而直接地表示了此題的含義，準確率也大大提高了。在課堂教學時，利用圖形展開了下面的教學內(nèi)容：長方形ABCD和正方形AEFG，其中CD=2013， AD=1997， AE=2014， EF=1996。由圖可知，由于ABHG是二正方形交叉的區(qū)域，所以我們可以將原始的計算方式轉(zhuǎn)換為求二正方形的面積之差，亦即求正方形GDCH與長方形BEFH的積面之差，通過幾何學直接方便地得到正方形GDCH與正方形BEFH的寬都為1，所以，兩者之差：2013×1-1996×1=17。經(jīng)過如此直觀、形象的剖析，學生從數(shù)和形的連接中充分體會到了解題策略的多樣性。

3. 以形構(gòu)數(shù)，在過程中探究奧秘

數(shù)與形是研究的兩種對象，在處理某些抽象的、繁雜的、不好理解的教育問題時，運用形象、直接的來闡述繁雜、抽象思考的數(shù)學教育問題，在數(shù)上構(gòu)形、形中覓數(shù)，使繁雜提問簡潔化、抽象思考提問具體，化難為易，化抽象思考為直接，既充分調(diào)動了學生學習趣味，也促使了學習者思想能力的提高。案例3：人教版六年級上冊“數(shù)學廣角”解決特殊的分數(shù)加法計算：…在教學活動中，讓學生通過仔細地觀察計算中加數(shù)之間有哪些規(guī)律，然后依序類推，將無限多個加數(shù)相加，到底之和是什么？然后指導學生通過畫圖來思考，以此突出圖畫的重要性?？梢詫⒁婚L方形作為1，先取，然后取再加下去，就這么一直不斷地加下去，發(fā)現(xiàn)這樣一直不斷加下去，直到空白部分愈來愈小，一部分學生就縮小得沒有了，而陰影部分也占滿了整個長方形，很自然地得出了它的和無限逼近一，也就是等于一的道理。如此，通過數(shù)與形的結(jié)合，既使學生從繪畫中探索了數(shù)學的奧妙，也在探索的過程中更深入地體會極限的思維，從而體驗了探索數(shù)學奧妙的趣味過程。

4. 以數(shù)顯形，在觀察中理解本質(zhì)

在小學數(shù)學計算教學中，有意識地用形來引導學生從觀察中，找出了計算背后所蘊藏的算理，以之來揭示計算的全過程，讓學習者從觀察中真正掌握和領會。案例4：六年級下冊“數(shù)與形”中的基本計算題：1+2+3+…+99+100+99+…+3+2+1=？和1+3+5+…+197+199=？指導學生將其中的每一個加數(shù)都設想為一點，并通過從點陣圖中的分布中去探索、去觀察，進而找到以另一種視角去思維的經(jīng)典方法。由上到下一層一層數(shù)，就可以得到：1+2+3+4+5+6+7+8+9+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1，然后再仔細觀察，圖四按順時針方向轉(zhuǎn)動約45°就得出圖四中直視的所有正方形點陣圖形，也可以得出總數(shù)為10×10=100。然后再按照圖四由下向上沿著折線數(shù)，便可得到結(jié)果：1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。仔細觀察圖形，可以找到這二題都可以用同一方法10×10=100來運算的規(guī)律性。正是通過這樣的教育方法，不但讓學生看到了不同的運算可以用同一的形式來表現(xiàn)其所包含的本質(zhì)，而且讓學生可以從觀察中發(fā)現(xiàn)數(shù)和形的一一對應性，更深入地感悟到了計算方法的多樣性。

5. 以數(shù)想形，在對比中抽象本真

在實際課程中，學習者在樹立形象后，一般用數(shù)的抽象特征來解決形的直觀問題，而很少從多角度去探究概念和思維的本質(zhì)本真。但實踐證明，賦予了學習者充分的學習時間，使學習者把握數(shù)的具體特征，在探究過程中從各種視角去想象、分析、思維，從比較、概括過程中逐漸理解概念、抽出實質(zhì)，以使學習者的空間觀得以發(fā)揮，思維能力也得以訓練。案例5：根據(jù)人教版五年級數(shù)學課本“三角形的面積”的教學內(nèi)容，在給出三角形的面積公式后，有助于學習者理解“同底等高的三角形面積相同”這一特性。首先讓學生進行測量下三角形的面積，再讓學生進行想象，底為六高為四的三角形就只有這一個嗎？若不只一個，還可能是怎樣的？讓每個學生都進行頭腦大風暴，在對照中一一呈現(xiàn)。幫助學生從這個外形截然不同的三角形中展開比較，慢慢領會“同底等高的三角體積都相同”這一特性的本真。

6. 以數(shù)釋形，在明理中構(gòu)建概念

圖象直接、形象地把握著人的視線，在數(shù)學課堂中也是這樣，但在有些教學實踐過程中，教師單純地憑直接圖像展示數(shù)學課堂，有時非但無法很好地理解圖像，也無法掌握圖像背后的精神，有時甚至影響到數(shù)學課堂的本真。這時，教師需用數(shù)來闡釋圖像的價值和圖像后所蘊含的特點、規(guī)律等，讓學習者更好地認識圖象，從而使形達到更好的教學效果。案例6：在人教版六年級下冊“圖像的擴大與變小”課程中，教師給出了幾樣不同尺寸的長方形國旗，并詢問學習者：這幾幅圖中，哪幾幅看上去舒適，外形也一致？原因為何？在這些提問的引導下，學習者初步了解在實際生活中什么外形是正規(guī)的。在此基礎上，進一步讓學習者去探究長擴大的倍數(shù)是否與寬擴大的倍數(shù)相等。體會擴大和變小的“大小不同，外形相同”，以便更加理解比的實質(zhì)意義和比在實際生活中的運用，為以后的教學打下了基礎。

7. 數(shù)形互譯，在融合中構(gòu)建新知

數(shù)與形相融合的實例，在小學數(shù)學課程與教材中比比皆是。在數(shù)學課程中，將算理定義和運算常用數(shù)與形一一對接，讓學習者切身地感受進行算理的流程，從而深入了解算理的實質(zhì);在定義課程中，通過數(shù)形結(jié)合，幫助學生在了解定義的同時，以形的直觀來增進對數(shù)的認識，并以數(shù)的真實來提升學習者對形的體驗，使其更進一步地構(gòu)建數(shù)理新知;在計算數(shù)學廣角的課程中，更離不開數(shù)與形的融合，通過數(shù)與形讓學習者在認識的深入程度上降低了認識困難，從而增強了解題的能力。案例7：在人教版六年級上冊“數(shù)學廣角”的練習題中發(fā)現(xiàn)了完全平方公式，用現(xiàn)代小學知識點怎樣了解（a+b）2=a2+2ab+b2，我們應該根據(jù)圖形用面積計算的知識來思考。（a+b）2只能看成邊長是a+b的大方塊面積，在大方塊中分出一組邊長為a的長方塊、一組邊長為b的中方塊和兩個相等的長方塊，認為大方塊面積等于a2+2ab+b2，所以得到（a+b）2==a2+2ab+b2。另外，在容斥問題、行程提問中，圖是個好助手，甚至于應該說如果脫離了圖，小學生就很難認識這一類提問。但在課堂教學中將數(shù)與形有機地融合起來，既可充分調(diào)動學生的學習興趣，也可促進學習者積極主動地掌握，進而高效建構(gòu)新知，使課堂教學工作到達合理、高效的程度。

8. 數(shù)形互譯，在理解中提升思維

人教版六年級下冊“策略問題”中有一個練習：一只螞蟻，從一個6×5網(wǎng)格的左下角A點處，要爬到右上角的B點去，如果其中間只有一個4×1的長方形空格，而其他都是長方形，那么螞蟻從A點爬到B點的最短路徑有多少種爬法？這個題目如果用列舉法處理，將相當復雜而且容易出錯。若透過數(shù)形相結(jié)，并將題中的數(shù)量聯(lián)系轉(zhuǎn)換成形式聯(lián)系，便可更直接、簡潔地探討出數(shù)學語言的奧妙。這樣，就很容易計算出從A到B的最短路線，共一百八十二條。這樣，就將數(shù)的精確體現(xiàn)在形的直觀上，二者和諧融合，讓數(shù)、形都充滿生命力，從而達到了教育的效果，進而更好地提高了中小學生的思維能力。

結(jié)束語：

總之，在小學數(shù)學課程中，將數(shù)與形有機地融合一起，以形的形式直接展現(xiàn)數(shù)的奧妙，以數(shù)的形式精確掀開圖形中所蘊涵的實質(zhì)，讓數(shù)形結(jié)合和相融，從而有助于學習者建立數(shù)的基本概念，深入認識數(shù)的實質(zhì)，讓解題思路和步驟更為具體，同時使學習者體驗探索數(shù)學教育奧妙的整個流程，從而更好地展現(xiàn)科學知識生成的整個流程，并以此鍛煉學習者的思想、提高學習者的數(shù)理素養(yǎng)，切實提高課堂教學效率。