葛水忠

一、學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)狀分析

部分學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中常常做錯(cuò)題，可能是他們的觀察、記憶、思維等能力偏弱導(dǎo)致。比如：（1）記憶能力偏弱。部分學(xué)生記憶能力較差，特別是短時(shí)記憶保持的時(shí)間較短，嚴(yán)重影響正常思維的發(fā)散。（2）思維出現(xiàn)斷層。由于部分學(xué)生對(duì)知識(shí)理解片面、受思維定式影響嚴(yán)重、思維呆板，在解決問題過程中出現(xiàn)知識(shí)銜接障礙。學(xué)生概念模糊，分析問題不全面，受思維定式影響，往往接收不到正確的信息，導(dǎo)致推理失敗。針對(duì)以上存在的問題，添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”既能及時(shí)彌補(bǔ)學(xué)生遺忘的“支架”，又能預(yù)防學(xué)生出現(xiàn)思維斷層，從而提高學(xué)生理解和獲取信息的能力，幫助學(xué)生思考問題、解決問題。

二、小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)添加的“數(shù)學(xué)符號(hào)”

本文的“數(shù)學(xué)符號(hào)”是指針對(duì)某一具體數(shù)學(xué)問題，由學(xué)生或師生共同創(chuàng)作，使用的數(shù)字、字母、運(yùn)算符號(hào)、關(guān)系符號(hào)以及字?jǐn)?shù)較少的其他文字、圖形、表格等數(shù)學(xué)元素、數(shù)學(xué)信息，不是常規(guī)意義上的數(shù)學(xué)符號(hào)，而是比常規(guī)數(shù)學(xué)符號(hào)的范圍更廣。由于部分學(xué)生短時(shí)記憶保持的時(shí)間較短，思維常常被打斷而出錯(cuò)。思維可視理論認(rèn)為可以將原先看不見、摸不著的思維借助某種形式全部或部分呈現(xiàn)出來，彌補(bǔ)了短時(shí)記憶保持時(shí)間短的缺陷。思維具有非常豐富的內(nèi)涵，它包括個(gè)體思考的維度、思考過程等豐富的心理活動(dòng)，需要依托圖示、圖示組合、語言等形式展現(xiàn)出來。根據(jù)思維可視理論，可以將知識(shí)從“抽象”變成“具體”，從“難以理解”變成“易于表達(dá)”，從“隱性”走向“顯性”，使獲取的知識(shí)融會(huì)貫通。添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”好像給思維建立了一個(gè)個(gè)橋墩，便于學(xué)生架起思維的橋梁，使學(xué)生的思維朝著正確的方向順利地解決問題。

三、“數(shù)學(xué)符號(hào)”的頂層設(shè)計(jì)

（一） 創(chuàng)設(shè)添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”的雙路徑模式

1.“數(shù)學(xué)符號(hào)”的縱向模式

思維可視理論認(rèn)為：學(xué)習(xí)者是主動(dòng)在腦中建立圖式，并能依據(jù)新信息不斷地修改與完善;圖式的建構(gòu)依賴于主體的經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知加工的過程。添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”的運(yùn)用與完善過程大致是大腦（思維）—手（寫畫符號(hào)）—眼（看符號(hào)）—大腦（思維）的循環(huán)過程，即用符號(hào)思考——運(yùn)用腦、眼、手和符號(hào)之間的互動(dòng)。

2.“數(shù)學(xué)符號(hào)”的橫向模式

要使學(xué)生較好地添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”，將數(shù)學(xué)思維真正內(nèi)化成自己的解題策略，隨時(shí)隨地能應(yīng)用，教師應(yīng)當(dāng)深入挖掘添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”建構(gòu)的路徑，幫助學(xué)生形成完整的建構(gòu)體系。筆者認(rèn)為可以通過以下幾方面進(jìn)行添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”的建構(gòu)。

（1）學(xué)生學(xué)會(huì)模仿教師添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”的示范，提取同類型題的數(shù)學(xué)信息，再基于自己的理解將獲取的信息添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”。（2）教師與學(xué)生合作添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”，針對(duì)教學(xué)難點(diǎn)，教師引導(dǎo)學(xué)生并共同商量確定，添加合適的“數(shù)學(xué)符號(hào)”。（3）學(xué)生自主添加合適的“數(shù)學(xué)符號(hào)”。學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷很多給題目添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”的過程，已經(jīng)具備添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”的能力，也可以創(chuàng)造有個(gè)性的“數(shù)學(xué)符號(hào)”。

（二）添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”的內(nèi)容

通過整理，筆者發(fā)現(xiàn)添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”提高解決問題的能力的范圍很廣。從教學(xué)內(nèi)容上來說，添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”不僅可以增進(jìn)學(xué)生對(duì)“數(shù)與代數(shù)”及“幾何與圖形”等內(nèi)容的理解，還能增強(qiáng)對(duì)“綜合實(shí)踐”等內(nèi)容的理解。從類型來看，添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”不僅可以促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)概念，還能促進(jìn)學(xué)生理解數(shù)學(xué)問題，從而更好地解決問題。

（三）“數(shù)學(xué)符號(hào)”的類型

以學(xué)生添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”的功能為劃分標(biāo)準(zhǔn)，筆者將添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”分為以下三類： 解析型“數(shù)學(xué)符號(hào)”、提示型“數(shù)學(xué)符號(hào)”、橋墩型“數(shù)學(xué)符號(hào)”。

1.解析型“數(shù)學(xué)符號(hào)”

解析型“數(shù)學(xué)符號(hào)”主要應(yīng)用于對(duì)數(shù)學(xué)問題的條件與問題的分解與解讀。學(xué)生解題難，有時(shí)候就難在無法正確辨析句子的要求，閱讀審題能力欠缺。解析型符號(hào)的存在能幫助學(xué)生將隱性的條件信息“顯性”化，從而降低了解題難度。

比多比少問題是學(xué)生常見的基礎(chǔ)性問題，但是很多學(xué)生解題時(shí)頭腦中并不清楚究竟誰多、誰少，對(duì)題意的理解模糊導(dǎo)致解題錯(cuò)誤。上圖用〇和漢字“大”“小”的標(biāo)注法，讓學(xué)生明確題目中誰是較大數(shù)，誰是較小數(shù)，這樣就容易列出正確的算式。

2.提示型“數(shù)學(xué)符號(hào)”

提示型“數(shù)學(xué)符號(hào)”，針對(duì)易錯(cuò)點(diǎn)，讓學(xué)生明確解題思路，提醒學(xué)生使用正確的方法解決問題。有時(shí)候?qū)W生解決問題前在大腦中要先想起一些公式、計(jì)算方法、計(jì)算目的等，這樣才可以正確地解決問題。部分學(xué)生只是憑一些零碎的經(jīng)驗(yàn)就列式解答，往往容易出錯(cuò)。提示型符號(hào)能幫助學(xué)生回憶公式、計(jì)算方法、計(jì)算目的，把隱性的要點(diǎn)“顯性”化，使學(xué)生熟記這些數(shù)學(xué)要點(diǎn)，理清解題思路，掃清解題障礙。

3.橋墩型“數(shù)學(xué)符號(hào)”

橋墩型“數(shù)學(xué)符號(hào)”，主要是為了避免學(xué)生在思考較復(fù)雜的問題時(shí)因短時(shí)記憶保持較短而容易出錯(cuò)，而添加的中間結(jié)果或其他符號(hào)。有些問題需要學(xué)生把每一步思考過程都在腦子里完成，部分學(xué)生短時(shí)記憶能力較差，在解決問題時(shí)顧此失彼，思路常常被打斷。他們?cè)谒伎枷乱徊綍r(shí)忘記了上一步的結(jié)果，如果學(xué)生能在適當(dāng)?shù)奈恢冒堰@個(gè)中間的結(jié)果記下來，可以使學(xué)生減少錯(cuò)誤。添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”能使思考過程顯性化，學(xué)生看到添加的“數(shù)學(xué)符號(hào)”，能從這些“數(shù)學(xué)符號(hào)”出發(fā)再次開始思考、推理與操作，這樣可以大大減少出錯(cuò)的可能。

例如，約分344÷4時(shí)，學(xué)生容易忘記了34÷4的余數(shù)“2”。學(xué)生可以在十位4下面添加余數(shù)“2”，方便學(xué)生把2與個(gè)位上的4合成24，再除以4。這個(gè)“2”就是我們所說的“橋墩”，它連接了34÷4商8余2和24÷4=6，使學(xué)生的思路得到暢通。

四、添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”的教學(xué)實(shí)施策略

策略一：要針對(duì)易錯(cuò)點(diǎn)添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”

不要為了添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”而添加，添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”應(yīng)該是有目的、有效果的，或是為了解析問題，或?yàn)榱祟A(yù)防學(xué)生出現(xiàn)思維斷層而提示學(xué)生，或?yàn)樗季S增設(shè)必要的“橋墩”。學(xué)生在解決不容易出錯(cuò)的問題時(shí)就不需要添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”。遇到易錯(cuò)點(diǎn)，教師和學(xué)生要想方設(shè)法添加合適的“數(shù)學(xué)符號(hào)”。添加的“數(shù)學(xué)符號(hào)”應(yīng)當(dāng)對(duì)減少錯(cuò)誤、突破難點(diǎn)起到有效的作用。

策略二：添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”要醒目，要能及時(shí)提示學(xué)生思考

添加的“數(shù)學(xué)符號(hào)”不能過小，使學(xué)生比較容易找到需要的信息，及時(shí)提示學(xué)生，方便學(xué)生繼續(xù)思考。我校D老師教的是二年級(jí)兩個(gè)班的數(shù)學(xué)課。其中202班（對(duì)照班）學(xué)生用教材上的方法計(jì)算多位數(shù)退位減法，201班學(xué)生用添加新的“數(shù)學(xué)符號(hào)”的方法計(jì)算。教材上的方法是：不夠減時(shí)，讓學(xué)生在前一位被減數(shù)上寫一個(gè)點(diǎn)，表示退一。這是傳統(tǒng)添加的“數(shù)學(xué)符號(hào)”，但是添加的“數(shù)學(xué)符號(hào)”不夠明顯，學(xué)生容易遺忘。添加新的“數(shù)學(xué)符號(hào)”是這樣的：不夠減時(shí)，讓學(xué)生劃掉前一位的被減數(shù)，并把前一位被減數(shù)減一的差寫在前一位上面，接著劃掉本數(shù)位的被減數(shù)，并把十加本數(shù)位被減數(shù)的和寫在本數(shù)位上面，然后開始分別相減。

照教材上學(xué)生添加的“數(shù)學(xué)符號(hào)”只是一個(gè)小小的點(diǎn)，學(xué)生容易遺漏，而新方法中學(xué)生添加的“數(shù)學(xué)符號(hào)”是劃掉了原來的數(shù)字，學(xué)生不會(huì)再用原來的數(shù)字去減，從而避免了錯(cuò)誤。

策略三：添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”要簡單易寫

在添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”時(shí)，要允許學(xué)生寫得少一些，讓學(xué)生樂于添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”，以便學(xué)生養(yǎng)成添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”的良好習(xí)慣。

解答多步計(jì)算數(shù)學(xué)問題時(shí)，讓學(xué)生在每一個(gè)算式前添加該算式要計(jì)算的名稱或方法。一些聰明的學(xué)生往往明白在解決問題時(shí)自己每一步解決的是什么，而有些學(xué)生往往是通過問題中的個(gè)別信息來回答。添加了這些名稱或方法，使學(xué)生的思維有條有理，明確接下來要計(jì)算什么，為學(xué)生的思維提供正確的方向。在添加名稱或方法時(shí)不必要求添加的內(nèi)容全面。在添加時(shí)，允許只寫一個(gè)字，如右題：先求長與寬的總數(shù)就寫“總：”或者“長+寬：”，再求長方形的長，就寫“長：”，然后求長方形的寬，就寫“寬：”，最后求長方形的面積，就寫“面積：”。

添加的“數(shù)學(xué)符號(hào)”多與少，這個(gè)需要根據(jù)每個(gè)學(xué)生的學(xué)習(xí)能力來確定。學(xué)習(xí)能力強(qiáng)的可以少寫甚至不寫，學(xué)習(xí)能力弱的要多寫，鼓勵(lì)他們把更多的思考過程寫下來。

策略四：及時(shí)拆解支架

良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣需要長時(shí)間的培養(yǎng)，要養(yǎng)成學(xué)生添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”的良好習(xí)慣，最好是在教學(xué)新內(nèi)容時(shí)，一開始就要求學(xué)生添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”。因?yàn)槠鸪醪惶砑印皵?shù)學(xué)符號(hào)”，等到學(xué)生習(xí)慣了，他們就不主動(dòng)、也不習(xí)慣添加了。比如圓柱和圓錐體積相等，底面積也相等的時(shí)候，通過回憶推導(dǎo)圓錐體積公式的實(shí)驗(yàn)，畫出圓錐壓扁后的圓柱圖，使學(xué)生明白等底等積時(shí)圓柱高是圓錐高的1/3。并要求每次練習(xí)同類題目都畫上圓錐壓扁圖，使之變成習(xí)慣，使學(xué)生不斷加深圓柱和圓錐的關(guān)系而且及時(shí)提醒學(xué)生圓柱與圓錐的高之間的關(guān)系。

但是等到學(xué)生能比較熟練地分析問題、解決問題以后，就不必要求學(xué)生添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”，而且教師要有意識(shí)地逐漸拆解思維的支架，培養(yǎng)學(xué)生的記憶能力和思維能力。學(xué)生一旦熟練數(shù)學(xué)問題以后，也懶得寫“數(shù)學(xué)符號(hào)”，教師就不必要求學(xué)生一定添加，如果教師硬性要求，學(xué)生往往有逆反心理，這樣就得不償失了。一部分學(xué)生很熟練，還有一部分學(xué)生不熟練，可以讓熟練的學(xué)生不添加“數(shù)學(xué)符號(hào)”，而讓不熟練的學(xué)生繼續(xù)添加。有些學(xué)生往往非常依賴添加的“數(shù)學(xué)符號(hào)”，一下子不添加了，錯(cuò)誤又增加了。教師可以先讓這些學(xué)生少寫些“數(shù)學(xué)符號(hào)”，逐漸過渡到全部不寫。