林凱國(guó)

用數(shù)學(xué)方法構(gòu)建數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題的素養(yǎng)，是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一。將數(shù)學(xué)建模作為核心素養(yǎng)并融入課程內(nèi)容中是課程改革的一項(xiàng)重要舉措，能夠有效地改變教師教學(xué)方式和學(xué)生學(xué)習(xí)方式，為數(shù)學(xué)聯(lián)系現(xiàn)實(shí)世界提供了一種有效方式。

一、初中數(shù)學(xué)滲透建模思想的意義

初中數(shù)學(xué)滲透建模思想的意義主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面，一是數(shù)學(xué)建模培養(yǎng)了學(xué)生的抽象能力。構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，從問(wèn)題所包含的諸多要素中選擇建構(gòu)某個(gè)數(shù)學(xué)概念或規(guī)律所需的要素，再對(duì)這些要素之間的關(guān)系進(jìn)行綜合分析，將這些關(guān)系用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言和方法，通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化的手段描述出來(lái)。二是建立數(shù)學(xué)模型解決問(wèn)題就是讓學(xué)生對(duì)已學(xué)的知識(shí)進(jìn)行合理應(yīng)用，有利于學(xué)生應(yīng)用能力的提升。事實(shí)上，數(shù)學(xué)源自生產(chǎn)實(shí)踐，與現(xiàn)實(shí)生活密切相關(guān)，幾乎所有科學(xué)領(lǐng)域都要用到數(shù)學(xué)知識(shí)。用數(shù)學(xué)思想方法解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，更加簡(jiǎn)約、便捷和有效，數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)是用數(shù)學(xué)的思維思考世界。

二、初中階段常用的數(shù)學(xué)模型

1.方程（組）模型。將題目條件用數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化成方程，通過(guò)解方程解決實(shí)際問(wèn)題。方程模型是最基本的數(shù)學(xué)模型之一，學(xué)生學(xué)會(huì)建立方程模型，就可以基于數(shù)量關(guān)系的角度對(duì)現(xiàn)實(shí)中貌似復(fù)雜實(shí)有規(guī)律的各種問(wèn)題形成準(zhǔn)確、清晰的認(rèn)知。通常工程問(wèn)題、行程問(wèn)題都可以通過(guò)方程模型描述出來(lái)。

2.不等式（組）模型。從數(shù)量關(guān)系的角度分析問(wèn)題，比方程模型更具有普遍性。不等式模型將題中的相關(guān)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成不等式問(wèn)題，用以研究這些數(shù)量之間的大小關(guān)系和變化規(guī)律，不等式模型除了需要根據(jù)題意列出相關(guān)的代數(shù)式，常常還需要對(duì)代數(shù)式的值進(jìn)行適當(dāng)?shù)目s小或放大，構(gòu)建不等式模型解決實(shí)際問(wèn)題。常見(jiàn)的方案選擇、市場(chǎng)營(yíng)銷(xiāo)問(wèn)題都可以通過(guò)構(gòu)建不等式模型來(lái)解決。

3.函數(shù)模型。通過(guò)函數(shù)模型學(xué)生可以更好地理解數(shù)學(xué)問(wèn)題中變量的變化情況，初步預(yù)測(cè)變量的變化規(guī)律。最大（小）值問(wèn)題和大多數(shù)的動(dòng)態(tài)圖形面積、動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)問(wèn)題、營(yíng)銷(xiāo)策略問(wèn)題都可以借助函數(shù)模型解決。

4.幾何模型。通過(guò)對(duì)圖形、圖形關(guān)系的抽象，運(yùn)用幾何公式、定理進(jìn)行運(yùn)算、推理論證，研究它們的空間形式，構(gòu)建幾何模型，表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界的本質(zhì)、關(guān)系和規(guī)律。

5.概率模型。用來(lái)描述各種事件發(fā)生的可能性的大小，包括古典概率、統(tǒng)計(jì)概率和圖形概率三種模型，用途非常廣泛。抽獎(jiǎng)、博彩問(wèn)題常用概率模型求解。

三、初中數(shù)學(xué)滲透建模思想的基本原則

教師在日常教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)模型思想要遵循兩個(gè)原則。第一個(gè)原則是要充分了解數(shù)學(xué)思想方法、學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)思維包括兩種，一種是再現(xiàn)性思維，即對(duì)所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行復(fù)現(xiàn)，思考的結(jié)果是學(xué)生比較熟悉的或者是已知的;另一種是發(fā)現(xiàn)性思維，即需要針對(duì)所學(xué)知識(shí)有所創(chuàng)新。第二個(gè)原則要充分依托教材，重視數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)。教材是建模思想的基礎(chǔ)，歐幾里得幾何學(xué)本身是對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的空間形式所提出的一個(gè)數(shù)學(xué)模型。教師要結(jié)合學(xué)情對(duì)教材進(jìn)行加工整理、歸類，總結(jié)提煉解決問(wèn)題的方法，在課堂上進(jìn)行數(shù)學(xué)建模的指導(dǎo)，教會(huì)學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問(wèn)題，從建模角度引導(dǎo)學(xué)生了解數(shù)學(xué)概念、公式的實(shí)際應(yīng)用方法及數(shù)學(xué)思想背景，提高其知識(shí)應(yīng)用能力。

四、初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中建模思想的滲透策略

（一）培養(yǎng)學(xué)生的建模思想

構(gòu)建數(shù)學(xué)模型是一個(gè)復(fù)雜的過(guò)程，初中教學(xué)中涉及需要建模的問(wèn)題較少，學(xué)生還未產(chǎn)生將題目中多種不同的已知條件與要求整合起來(lái)進(jìn)行分析的意識(shí)，因此教師要針對(duì)這一情況，由易到難建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，逐步培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí)和思想。比如針對(duì)“銷(xiāo)售問(wèn)題”，筆者設(shè)計(jì)了這樣一個(gè)題目：

“足球?qū)Ｙu(mài)店中有一種足球的標(biāo)價(jià)為150元，店家為了增加銷(xiāo)量，開(kāi)展促銷(xiāo)活動(dòng)，打八折出售，其銷(xiāo)售利潤(rùn)為20%，求足球的進(jìn)價(jià)是多少？”

學(xué)生開(kāi)始解題時(shí)會(huì)直接用足球的價(jià)格乘以0.8計(jì)算出打折后的銷(xiāo)售價(jià)：150×0.8=120（元），再根據(jù)20%的利潤(rùn)計(jì)算進(jìn)價(jià)：[1201+20%]=100（元）。利潤(rùn)與進(jìn)價(jià)的問(wèn)題在初中階段十分常見(jiàn)，這種解題思路就是一種典型的再現(xiàn)性思維，是對(duì)以往知識(shí)的復(fù)習(xí)與再現(xiàn)。教師可以借助數(shù)學(xué)模型培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)現(xiàn)性思維。

分析題目中的已知條件“足球的定價(jià)為150元，促銷(xiāo)活動(dòng)是打8折銷(xiāo)售，利潤(rùn)為20%?！敝赋觥?0%”實(shí)際上是商品銷(xiāo)售的利潤(rùn)率，其計(jì)算公式（利潤(rùn)率模型）為：商品銷(xiāo)售的利潤(rùn)率=[售價(jià)-進(jìn)價(jià)進(jìn)價(jià)×100%]。利潤(rùn)率模型是一種常見(jiàn)的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)模型，因此教師可以引導(dǎo)學(xué)生利用這個(gè)模型求解。設(shè)足球的進(jìn)價(jià)為 x 元，根據(jù)利潤(rùn)率模型列出方程：

[150×0.8-xx]=20% ，解得 x=100.

這種解法可以將已知的條件直觀地呈現(xiàn)出來(lái)，學(xué)生通過(guò)已知條件構(gòu)建模型，能更深刻地體會(huì)到應(yīng)用方程解決實(shí)際問(wèn)題的實(shí)用性。

接著，對(duì)題目進(jìn)行變式拓展處理，把題目中的“足球的銷(xiāo)售利潤(rùn)為20%”改為“這種足球的銷(xiāo)售利潤(rùn)降低了30%，但其銷(xiāo)量提高了2倍”，問(wèn)題改為“打折后店家的收益是增加了還是減少了？”或者進(jìn)一步改變?yōu)椤斑@種足球的銷(xiāo)售利潤(rùn)降低了30%，為保證店家的利潤(rùn)不降低，銷(xiāo)售量需要提高到原來(lái)的多少倍？”

改變后的題目，將“進(jìn)價(jià)”隱性化，提高了解題的難度，但對(duì)應(yīng)用利潤(rùn)率模型解題的影響不大，襯托出模型的有效性、通用性，引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)系生活，增加學(xué)生的經(jīng)濟(jì)知識(shí)和經(jīng)營(yíng)意識(shí)。

（二）設(shè)計(jì)創(chuàng)新性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，營(yíng)造良好的課堂氛圍

問(wèn)題是激活學(xué)生思維的重要手段，科學(xué)的問(wèn)題設(shè)計(jì)可以引導(dǎo)學(xué)生開(kāi)闊思維，更好地推進(jìn)教學(xué)活動(dòng)的開(kāi)展，因此教師在備課時(shí)就要吃透教材，立足教材，結(jié)合學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展情況，設(shè)計(jì)出具有開(kāi)放性、啟發(fā)性的數(shù)學(xué)問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生在探索問(wèn)題過(guò)程中強(qiáng)化自身的建模意識(shí)。比如下題：“已知市電視臺(tái)在學(xué)校的南偏西54°方向，發(fā)射塔建在電視臺(tái)的正北方向80km處的山上，小陳在學(xué)校測(cè)得發(fā)射塔在學(xué)校的北偏西36°方向，求學(xué)校到電視臺(tái)的距離?！?/p>

學(xué)生解題前，教師先做出提示：“本題中已知條件有哪些？是否能夠根據(jù)這些已知條件對(duì)題目進(jìn)行簡(jiǎn)化？”經(jīng)過(guò)思考，學(xué)生可以意識(shí)到該問(wèn)題是一個(gè)幾何模型，要先作圖得出一個(gè)直角三角形，再運(yùn)用直角三角形知識(shí)求解。這類問(wèn)題通過(guò)構(gòu)建幾何模型使抽象的問(wèn)題變得直觀、簡(jiǎn)潔，學(xué)生理解起來(lái)更加容易，解決問(wèn)題也更高效。

（三）強(qiáng)化學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)模型解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的意識(shí)

數(shù)學(xué)源于生活又回歸生活，初中數(shù)學(xué)課程涉及很多日常生活中的實(shí)際問(wèn)題，與生活息息相關(guān)的數(shù)學(xué)模型可以強(qiáng)化學(xué)生的建模意識(shí)，使其認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)知識(shí)的實(shí)用性，激發(fā)其學(xué)習(xí)興趣。比如在學(xué)習(xí)不等式的相關(guān)內(nèi)容時(shí)，教師可以這樣設(shè)計(jì)題目：

“學(xué)校組織學(xué)生參加社會(huì)活動(dòng)，旅游公司有大、小兩種客車(chē)可供租用，每輛50座的大客車(chē)日租金為500元，40座的小客車(chē)日租金為400元。學(xué)校計(jì)劃租用5輛客車(chē)，且要求租金不超過(guò)2200元，問(wèn)：（1）最多可租多少輛大客車(chē)？（2）如果參加活動(dòng)的師生一共205人，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)出一個(gè)合理的租車(chē)方案。”

該題目具有多個(gè)已知條件，知識(shí)點(diǎn)分散，對(duì)于學(xué)生而言有一定難度，因此教師可以利用表格將已經(jīng)條件呈現(xiàn)出來(lái)。

設(shè)租用50座客車(chē) x 輛，根據(jù)租金的限制，學(xué)生可以列出不等式

500x+400（5-x）≤2200，解得x≤2

根據(jù)不等式的解集和實(shí)際意義的限制，可確定x的取值范圍為0≤x≤2 ，由此得到第（1）題的答案。

第（2）題要考慮人數(shù)的要求，可直接利用（1）的模型，列出不等式

50x+40（5-x）≥205，解得x≥0.5

自然數(shù)x滿足的條件為1≤x≤2，從中可以得出合理（費(fèi)用最低）方案。

接著，教師可提醒學(xué)生注意本題中數(shù)據(jù)的特殊關(guān)系：“兩種客車(chē)的座位數(shù)之比等于租金之比”，只要構(gòu)建一個(gè)不等式模型就可以同時(shí)回答兩個(gè)問(wèn)題。

[20510]≤5x+4（5-x）≤[2200100]，解得1≤x≤2

這種設(shè)計(jì)既提高了課堂教學(xué)的趣味性，又能強(qiáng)化學(xué)生的建模意識(shí)。

五、初中數(shù)學(xué)教學(xué)滲透建模思想的應(yīng)用實(shí)例

為更好地說(shuō)明建模思想滲透于初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的方法，下面以“解直角三角形”一課為例進(jìn)行分析。

其一，進(jìn)行復(fù)習(xí)回顧，通過(guò)復(fù)習(xí)直角三角形的邊角關(guān)系引出課程內(nèi)容，使學(xué)生初步了解模型。其二，教師因勢(shì)利導(dǎo)，拋出以下問(wèn)題：如何解直角三角形？求解時(shí)至少要知道直角三角形中的哪些元素？通過(guò)問(wèn)題引出本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生參照直角三角形全等的判定條件展開(kāi)討論，通過(guò)對(duì)以前學(xué)過(guò)知識(shí)的重新認(rèn)知，幫助學(xué)生充實(shí)直角三角形相關(guān)的知識(shí)體系，梳理和重構(gòu)相關(guān)知識(shí)鏈，為后續(xù)構(gòu)建數(shù)學(xué)模型打下基礎(chǔ)，起到承上啟下的作用。其三，教師進(jìn)一步通過(guò)下面的例題設(shè)置情境，構(gòu)建模型。

示例：學(xué)校需要測(cè)量旗桿的高度，可供使用的工具只有一卷皮尺和一個(gè)可測(cè)角度測(cè)角儀，測(cè)角儀的高度為1.5m，請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)測(cè)量方案并繪制出原理圖。

學(xué)生容易設(shè)計(jì)出如圖1所示的測(cè)量方案：用皮尺測(cè)量測(cè)角儀AB與旗桿CD的距離CD=a米，用測(cè)角儀測(cè)得旗桿頂端D的仰角α，由此算出旗桿的高度為（1.5+atanα）米。

這個(gè)方案中用到了“已知一角一邊解直角三角形”，學(xué)生還能設(shè)計(jì)出其他的測(cè)量方案，如測(cè)量旗桿底端C的俯角β，通過(guò)“atanα+atanβ”計(jì)算出旗桿的高度（如下圖2所示）。

最后，教師進(jìn)一步擴(kuò)建模型：在同樣的條件下，你能夠測(cè)量出上海東方明珠塔的高度嗎？

雖然用第一種方案在理論上可以測(cè)量出東方明珠塔的高度，但是測(cè)角儀的高度僅有1.5m，與東方明珠塔高度相差懸殊，測(cè)量仰角和俯角時(shí)，會(huì)出現(xiàn)仰角過(guò)大或俯角過(guò)小的問(wèn)題，產(chǎn)生較大的測(cè)量誤差，導(dǎo)致測(cè)量結(jié)果不具有參考意義，而且周邊建筑的遮擋也會(huì)直接影響測(cè)量結(jié)果。學(xué)生能思考到測(cè)量誤差的問(wèn)題，說(shuō)明學(xué)生已經(jīng)考慮到方案的測(cè)量環(huán)境的限制，教師繼續(xù)引導(dǎo)：如果抬高測(cè)角儀的位置是否可行？學(xué)生容易想到，將測(cè)角儀放在另一座高樓樓頂，采用第二種方案進(jìn)行測(cè)量，既減少了誤差，又可避免受其他建筑遮擋的影響。

隨著對(duì)問(wèn)題的深入探究，學(xué)生了解了通過(guò)解直角三角形解決實(shí)際測(cè)高問(wèn)題的方法，加上環(huán)境條件的限制可以引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化測(cè)量方案，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)的實(shí)用性。此時(shí)，教師還需要注意引導(dǎo)學(xué)生由解單直角三角形向解具有一定聯(lián)系的雙直角三角形模型過(guò)渡，適時(shí)引出以下問(wèn)題（如下圖3）：

如圖3，海岸線上有A、B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，B在A正東方向20海里處。有一漁船C分別位于A、B的北偏東60°、30°方向上。如果漁船以50海里/小時(shí)的速度靠近海岸線，求漁船到達(dá)海岸線的最短時(shí)間 （[3]取1.7，結(jié)果保留一位小數(shù)）。

題中隱藏著兩個(gè)共邊的直角三角形，根據(jù)雙直角三角形的邊角關(guān)系，應(yīng)用方程模型不難求解。教師通過(guò)改變點(diǎn)C的位置，可以引出“共邊雙直角三角形”這一基本圖形在實(shí)際應(yīng)用中常見(jiàn)的兩種模型（圖4）。

有了上面的建模知識(shí)儲(chǔ)備，教師就可以組織學(xué)生開(kāi)展課后數(shù)學(xué)活動(dòng)：用卷尺和測(cè)角儀測(cè)量電視臺(tái)建在山上的發(fā)射塔的高度，或者仿照上述海岸線觀測(cè)站觀測(cè)行船只的情況，利用所學(xué)知識(shí)設(shè)計(jì)一套檢測(cè)汽車(chē)行駛速度的方案。最后，組織方案評(píng)價(jià)活動(dòng)，評(píng)選最優(yōu)方案。

這一系列問(wèn)題環(huán)環(huán)相扣，步步推進(jìn)，學(xué)生真正地體會(huì)到解直角三角形相關(guān)知識(shí)在實(shí)際測(cè)量中的可操作性和實(shí)用性，學(xué)生通過(guò)參加數(shù)學(xué)建模實(shí)踐，獲得課堂教學(xué)中無(wú)法得到的活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，促使他們更好地應(yīng)用數(shù)學(xué)。

綜上所述，在指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模時(shí)，教師要善于引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)現(xiàn)實(shí)中與數(shù)學(xué)相關(guān)的問(wèn)題，幫助他們嘗試并最終用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言對(duì)問(wèn)題進(jìn)行描述，合理選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行刻畫(huà)和解決問(wèn)題，幫助學(xué)生積累和感悟數(shù)學(xué)實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)，培養(yǎng)學(xué)生的科學(xué)精神和創(chuàng)新意識(shí)。

注：本文為莆田市教育科學(xué)“十四五”規(guī)劃2021年度立項(xiàng)課題“核心素養(yǎng)視角下提升學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力的實(shí)踐研究”（立項(xiàng)批準(zhǔn)號(hào)：PTKYKT21145）的階段性研究成果。（作者為課題核心成員）

（邱瑞玲）