楊國寶

[摘? 要] 研究者基于教學(xué)實踐與理論研究，以數(shù)學(xué)實驗為載體，提出發(fā)展學(xué)生抽象思維的教學(xué)路徑，以使學(xué)生在手腦并用中體驗抽象思維的價值，參與抽象的過程，使學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)真正得到發(fā)展。

[關(guān)鍵詞] 數(shù)學(xué)實驗;數(shù)學(xué)抽象;核心素養(yǎng);小學(xué)數(shù)學(xué)

數(shù)學(xué)抽象包括兩個方面：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系的抽象，圖形與圖形關(guān)系的抽象[1]。數(shù)學(xué)實驗以探索數(shù)學(xué)知識為目的，集行為操作與動腦思考于一體，是發(fā)展學(xué)生抽象素養(yǎng)的有效途徑。本文論述了以數(shù)學(xué)實驗為載體發(fā)展學(xué)生抽象思維的基本路徑，期望能夠為廣大教育同人提供借鑒和思考。

[?]一、立足學(xué)科素養(yǎng)，感悟數(shù)學(xué)抽象的價值

數(shù)學(xué)抽象能力是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的重要組成部分。數(shù)學(xué)實驗?zāi)苁箤W(xué)生不斷積累抽象思維的思考經(jīng)驗，進(jìn)而促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的生成。

1. 在概念建構(gòu)中，感悟數(shù)學(xué)抽象的價值

數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識“大廈”的基石，是學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)其他知識的基礎(chǔ)和前提。然而，由于數(shù)學(xué)概念直指知識的本質(zhì)，因此數(shù)學(xué)概念不可避免地具有較強的抽象性，通過實驗操作和數(shù)學(xué)思考使學(xué)生親身經(jīng)歷數(shù)學(xué)概念產(chǎn)生的完整過程，進(jìn)而體驗從直觀到抽象的過程，感悟數(shù)學(xué)抽象的價值和意義。

比如，講到“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”時，教師創(chuàng)設(shè)了喜羊羊和美羊羊分蛋糕的場景：1個蛋糕要分給喜羊羊和美羊羊，怎樣分最公平？學(xué)生回答：平均分最公平，每個人半個。教師追問：“半個”在數(shù)學(xué)中怎么表示呢？從而引出了二分之一的概念。在此基礎(chǔ)上，教師引導(dǎo)學(xué)生用1個圓紙片代替蛋糕展開實驗操作，通過分一分，涂一涂，表示出二分之一。學(xué)生先對折，再涂色。教師問道：“為什么要對折？”學(xué)生回答：“對折后左右兩邊完全重合，兩邊一樣大，這才是平均分成2份?！背吮硎?個蛋糕的二分之一，我們還可以表示哪些物體的二分之一？有的學(xué)生說，可以表示1個蘋果的二分之一;有的學(xué)生說可以表示1個餅干的二分之一;有的學(xué)生說可以表示1塊面包的二分之一。教師總結(jié)道：“不管什么物體，只要是把這個物體平均分成2份，其中的1份就可以用二分之一表示?！?/p>

教學(xué)中，教師先從具體的蛋糕出發(fā)，引導(dǎo)學(xué)生通過對折的方法表示二分之一，然后進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生表示1個蘋果的二分之一，1塊餅干的二分之一，一個面包的二分之一，最后使學(xué)生擺脫具體事物的束縛，從中抽象出二分之一的本質(zhì)，完成分?jǐn)?shù)的建構(gòu)，凸顯出數(shù)學(xué)抽象能力在概念建構(gòu)中的作用。

2. 在探索規(guī)律中，感悟數(shù)學(xué)抽象的價值

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)具有雙重任務(wù)，一是傳授學(xué)生必要的知識和技能，二是在探索數(shù)學(xué)規(guī)律中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。數(shù)學(xué)規(guī)律隱匿于知識的背后，具有很強的抽象性，探索數(shù)學(xué)規(guī)律離不開學(xué)生的抽象能力、邏輯推理能力和數(shù)學(xué)建模能力。在很多情況下，對數(shù)學(xué)規(guī)律的探索往往是通過數(shù)學(xué)實驗的方式展開的[2]。

比如，講到“三角形具有穩(wěn)定性”時，教師引導(dǎo)學(xué)生用拼接條組成三角形，通過拉動實驗充分驗證了三角形的穩(wěn)定性。在此基礎(chǔ)上，教師又設(shè)計了這樣的教學(xué)環(huán)節(jié)：

師：為了使某個多邊形不變形，至少需要添加幾根拼接條？請同學(xué)們拼一拼、畫一畫。完成表1。

生1：如果要使四邊形不變形，至少需要加1根拼接條（如圖1）。

生2：如果要使五邊形不變形，至少需要加2根拼接條（如圖2）。

生3：如果要使六邊形不變形，至少需要加3根拼接條（如圖3）。

師：說一說，你發(fā)現(xiàn)了什么？

生4：我發(fā)現(xiàn)，多邊形每增加1條邊，至少需要添加的拼接條的數(shù)量也增加1根。

生5：我發(fā)現(xiàn)，至少添加的拼接條的數(shù)量比多邊形的邊數(shù)少3，比如，四邊形對應(yīng)的是1根，五邊形對應(yīng)的是2根，六邊形對應(yīng)的是3根……

師：同學(xué)們推測一下，要使七邊形不變形，至少需要添加幾根拼接條？八邊形呢？

生6：七邊形至少需要添加7-3=4（根），八邊形至少需要添加8-3=5（根）。

師：你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？

生7：多邊形的邊數(shù)-3=至少添加拼接條的數(shù)量。

課堂上，教師不能只教給學(xué)生規(guī)律性的知識，更為重要的是要引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維來探索規(guī)律。教學(xué)中，教師通過數(shù)學(xué)實驗，引導(dǎo)學(xué)生探索多邊形邊數(shù)與至少添加的拼接條數(shù)量之間的關(guān)系，學(xué)生在實驗中以四邊形、五邊形、六邊形為例發(fā)現(xiàn)、驗證了其中的規(guī)律，并通過數(shù)學(xué)抽象將這種規(guī)律推而廣之，由此在獲得真知的同時，感悟到了數(shù)學(xué)抽象能力在規(guī)律探索中的價值。

[?]二、順應(yīng)思維規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生參與數(shù)學(xué)抽象過程

小學(xué)生正處于形象思維向抽象思維過渡的關(guān)鍵階段，通過數(shù)學(xué)實驗引導(dǎo)學(xué)生感知實驗工具和器材，刺激大腦進(jìn)行思考、分析、比較、抽象與概括，有利于發(fā)展學(xué)生的抽象思維[3]。

1. 操作活動，誘發(fā)數(shù)學(xué)抽象思維

操作是智力的源泉，是思維的起點。正可謂動手啟迪心智，操作拓展思維。數(shù)學(xué)實驗中的操作活動應(yīng)該是有目的、有意義的操作活動，能夠使學(xué)生在實驗中手腦并用，誘發(fā)學(xué)生的抽象思維。

比如，在“三角形的內(nèi)角和”的教學(xué)中，教師出示一個釘子板上的三角形，引導(dǎo)學(xué)生拉動A點，完成以下任務(wù)：①∠1、∠2都變大;②∠1、∠2、∠3都變大。通過拉動釘子板上的三角形A點，學(xué)生發(fā)現(xiàn)只要把A點向上拉，就能夠使∠1、∠2都變大，但是當(dāng)∠1、∠2都變大時，∠3就會變小，無論怎樣拉動三角形，都不能使∠1、∠2、∠3都變大（如圖4）。學(xué)生在觀察和操作中調(diào)動了抽象思維，逐步感知到三角形的三個內(nèi)角可能存在一定的關(guān)系，或者三角形的三個內(nèi)角和是固定的。

教學(xué)中，教師通過引導(dǎo)學(xué)生拉動釘子板上的三角形，引導(dǎo)學(xué)生多種感官參與實驗操作，從動作直觀到視覺直觀，在建立了豐富表象的基礎(chǔ)上逐步引發(fā)抽象思考，進(jìn)而得出對三角形內(nèi)角和的猜想，由此為下一步的探究打下了基礎(chǔ)。

2. 概括共同屬性，鞏固數(shù)學(xué)抽象思維

概括是抽象的進(jìn)一步補充和發(fā)展，概括往往發(fā)生于抽象思維后，沒有概括，抽象也就沒有意義。在數(shù)學(xué)實驗中，通過抽象和概括，可以把實驗中獲得的感性經(jīng)驗上升為理性認(rèn)識，以使抽象思維的成果更加鞏固。

比如，講到“三角形三邊關(guān)系”時，教師引導(dǎo)學(xué)生拿出兩根長度不同的小棒，然后將其中的一根剪斷，得到三根小棒。學(xué)生通過實驗發(fā)現(xiàn)，如果剪斷的是較短的那根小棒，那么三根小棒無法圍成三角形;如果剪斷的是較長的那根小棒，就可以圍成三角形。教師問道：“怎樣的三根小棒能夠圍成一個三角形？”學(xué)生回答道：“兩邊之和大于第三邊時，能圍成三角形?！币粋€學(xué)生拿起一根最長的小棒和一根稍短些的小棒質(zhì)疑道：“這兩根小棒的長度和明顯大于最短的那根小棒，怎么還是不能圍成三角形呢？”教師提示道：“判斷三根小棒能否圍成三角形，能不能只看一組？”學(xué)生分析后認(rèn)為：“必須把小棒兩兩相加再和第三根小棒比較?！苯處熇^續(xù)問道：“那應(yīng)該怎樣表達(dá)我們的結(jié)論呢？”學(xué)生回答：“任意兩邊之和都要比第三邊長。”有學(xué)生補充道：“我認(rèn)為只要兩條較短的邊加起來比最長的邊長，就一定能夠圍成三角形?！?/p>

實驗的過程是一個形象與抽象交織、觀察與分析并存的過程。無論是實驗前的猜想還是實驗中的思考，抑或是實驗后的概括，都能發(fā)展學(xué)生的抽象思維。教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生概括實驗結(jié)論，學(xué)生通過把實驗中的感性認(rèn)識和理性思考結(jié)合起來，從中剝離、抽象出經(jīng)驗和知識的共同本質(zhì)，由此得出科學(xué)的實驗結(jié)論。

總之，數(shù)學(xué)抽象是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)的核心內(nèi)容之一，教學(xué)實踐中，教師要發(fā)揮數(shù)學(xué)實驗的獨特優(yōu)勢，著眼于學(xué)科素養(yǎng)，遵循學(xué)生思維規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生在手腦并用中體驗抽象思維的價值，參與抽象的過程，使學(xué)生的抽象思維真正得到發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]? 張開雁. 為小學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象搭“支架”[J]. 數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2021（01）：23-24.

[2]? 劉滿杰，李曉惠. 淺談培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力的策略——以“乘法分配律”的教學(xué)為例[J]. 小學(xué)數(shù)學(xué)教育，2020（Z3）：42-43.

[3]? 施玲. 小學(xué)生數(shù)學(xué)抽象思維素養(yǎng)的培養(yǎng)[J]. 福建基礎(chǔ)教育研究，2020（06）：81-82.