王智洋,劉思璐

摘要：從概念產生的角度看，比的意義體現(xiàn)在描述和測量、物物交換、合成與分配、自然與美學四個方面，不僅源自古人對物質生活的需求，還有對精神世界的熏陶。從概念發(fā)展的角度看，“比較”“大小關系”和“同類量”是比的定義的“源”，而“除法”“分數(shù)”和“非同類量”是比的定義的“流”。比的概念的歷史為教學提供了諸多啟示：創(chuàng)設教學情境，揭示比的意義;厘清教學主線，闡明比的定義;明晰廣度和深度，提升對比的認識;滲透數(shù)學文化，達成德育之效。

關鍵詞：HPM;比的意義;比的定義;數(shù)量關系

隨著越來越多的數(shù)學教育工作者意識到數(shù)學史的教育價值，HPM（History and Pedagogy of Mathematics的簡稱，意為數(shù)學史與數(shù)學教育）研究已經成為數(shù)學教育研究的一個重要領域。其中，教育取向的數(shù)學史研究是HPM領域的基礎性研究，是課例研究的第一步，決定著課例的成敗。

“比”是小學數(shù)學數(shù)與代數(shù)學習領域“數(shù)量關系”主題下的重要概念，被安排在第三學段（5—6年級）教學。比的知識承接除法、分數(shù)的知識，也是學習比例、函數(shù)等相關知識的基礎?！读x務教育數(shù)學課程標準（2022年版）》（以下簡稱“新課標”）要求：“在實際情境中理解比的含義，能解決簡單的問題。”比的概念的教學中，學生要理解比的意義，了解比的定義，形成比的概念，即要認識到“為什么要學習比”以及“什么是比”。

現(xiàn)行各版本小學數(shù)學教材都通過不同類型的生活情境來體現(xiàn)比的意義。為了選擇合適的教學情境，厘清教學主線，實施“發(fā)生教學法”，教師需要深入了解比的概念的產生和發(fā)展過程。此外，各版本教材上關于比的定義的敘述不盡相同，且較為抽象，給學生的學習和教師的教學造成了困擾。鑒于此，本文擬通過歷史文獻（包括英美早期數(shù)學教科書）的考察，追溯比的概念的產生和發(fā)展脈絡，為教學提供啟示。

一、比的意義的來源

比是數(shù)量之間的關系，其意義主要來自四個方面：描述和測量的需要、物物交換的需要、合成與分配的需要以及自然與美學現(xiàn)象。

（一）描述和測量的需要

生活中，各種各樣的單位無處不在，我們常用“米”來描述大樓的高矮，用“斤、兩”來稱量物品的輕重……單位制在我們描述和測量時，發(fā)揮著重要作用。事實上，其中蘊藏著比的意義，單位制其實是比的概念形成和發(fā)展的最終產物。

最初人們并沒有單位的概念，對未知事物進行描述時，只能通過將其與已知事物進行比較來實現(xiàn)。美國數(shù)學史家史密斯提到，人類歷史早期產生了兩個有關比的概念：古人在描述部落規(guī)模時，會指出一個部落的人數(shù)是另一個部落的兩倍多;在形容皮制帶子的長度時，會指出一根皮制帶子只有另一根的一半長。

隨著人類文明的進步，為了建造生活中需要的住房、生產工具等，人們需要對材料的形狀、大小等進行測量，自然想到用已有工具的形狀、大小等進行測量，這樣就得到了最初對長度、重量和容量的度量。蘇聯(lián)學者鮑爾加爾斯基在《數(shù)學簡史》中介紹了一種傳統(tǒng)的長度測量方法——借助人體的部件。? 例如，為了測量長度，成年男子的步長被當作最常用的測量單位。如果測量一些體積不大的物體，人們會動用自己的手和腳，將手指的厚度、大拇指關節(jié)的長度、手掌的寬度、大拇指與食指或者中指頂端之間的距離等作為測量單位。利用身體的部件進行測量不僅可以較為準確地實現(xiàn)測量目的，還十分便利，隨時隨地都可以進行。直到今天，我們在生活中依然頻繁使用這種測量方法。

之后，由于社會的發(fā)展，人們對度量單位的要求更為精確，于是度量單位制度逐漸形成。鮑爾加爾斯基還介紹了古巴比倫建立的公制度量單位制度，其進制是六十。直到今天，依然有六十進制的痕跡存在，如劃分時間和角度的方法，即1小時等于60分鐘、1°等于60′。這樣的度量單位制度能夠準確地表達任意的數(shù)量，滿足商業(yè)、農業(yè)和建筑業(yè)的需要，推動了古巴比倫文明的發(fā)展進程，也大大造福了后世。

除了在古代的西方，在古老的中華大地上也建立起了度量衡單位制度，該制度產生于四五千年前的原始社會末期。度量衡是測量長短、容積、輕重的統(tǒng)稱，其中“度”指測量長短，“量”指測量容積，“衡”指測量輕重。眾所周知，秦始皇統(tǒng)一中國后所做的重要的貢獻之一便是統(tǒng)一度量衡。漢承秦制，《漢書·律歷志》中有“以一黍之廣度之，一為一分”的記載，意思是橫排100粒黍的長度記為漢代的一尺（約為今天的23厘米）。書中還詳細記載了度量衡的單位、進位以及量器的形狀、材質等。這些發(fā)明即便在今天，仍不失其耀眼的光輝，在世界度量衡史上也是絕無僅有的。

（二）物物交換的需要

經濟的發(fā)展離不開生產和交易。在社會分工形成之后，自然產生了以物易物的需求。而在交換過程中，雙方為實現(xiàn)公平，必須制訂一個交換規(guī)則，這便產生了比的意義。

中國漢代數(shù)學典籍《九章算術》的第二章《粟米》中記載著以下問題：“若粟率五十，糲米率三十。今有粟一斗，欲為糲米，問得幾何？答曰：為糲米六升。術曰：以粟求糲米，三之，五而一?！薄端诿住芬徽轮饕菫榱颂幚淼盅航粨Q的問題，其中用到的方法稱為“今有術”，是將所有物的數(shù)量乘所有物的率作為分子，將所求物的率作為分母，得到的分數(shù)即為所求物的數(shù)量，相當于現(xiàn)在教材中解比例問題的“知三求一”。“今有術”涉及比和比例的性質，也揭示了比的概念是在物物交換的過程中產生的。

隨著人類文明的進步，貨幣逐漸產生并充當物物交換的媒介。18世紀出版的英國數(shù)學教科書中提到，用一種商品交換另一種商品，或用商品交換貨幣，或用貨幣交換商品時，為了使得交易過程更加便利，產生了比的概念。人們可以在一個地方用一筆錢換一張支票，然后在另一個地方將支票兌換成對應的貨幣，即現(xiàn)在的“外匯兌換”。貨幣的產生和發(fā)展不僅讓交易的范圍擴大，也極大地增加了交易的便利性和安全性，而這本質上得益于比的概念。

（三）合成與分配的需要

合金產物的硬度和耐用性都高于組成金屬，如今已廣泛應用于各個領域，其合成的原理也離不開比的概念。早在3000多年前的商朝，中國的青銅工藝就已經非常發(fā)達了。公元前6世紀左右鍛鑄的越王勾踐的青銅劍就是一把合金寶劍，出土后仍然鋒利無比。斐波那契在《計算之書》的第十一章《論合金錢幣的配制》中提到：“當錢幣由銀和銅混合配制而成時，無論面值多少，它都被稱作合金錢幣。所謂‘含銀2盎司的錢幣，意指每磅錢幣中含有2盎司的銀。”書中介紹了配制合金錢幣的三種方法，第一種方法是用一定量的銀或銅合鑄而成，第二種是由任意給定的錢幣加入銀或銅合鑄而成，第三種是由給定的若干種錢幣合鑄而成。關于以上三種方法，書中一共展示了七類不同的問題。其中第一類（由給定量的銀和銅鑄成錢幣）如下：“某人有7磅銀，欲鑄含銀2盎司的錢幣，他想知道需要加入多少盎司的銅。”解決該問題所用到的方法被稱為“商議法（method of negotiations）”，具體過程是：將每磅含銀量和含銅量寫在第一行，將所有銀的數(shù)量寫在每磅含銀量的下方;然后將對角位置的每磅含銅量和所有銀的數(shù)量相乘，除以每磅含銀量，即得所加銅的數(shù)量（如下圖1所示）。

《論語·季氏》中有云：“不患寡而患不均。”資源和利益的分配是自古以來始終困擾人們的難題。從數(shù)學的角度出發(fā)，利用除法運算可以平均分配，但是有時，平均分配未必公平?！毒耪滤阈g》的第三章《衰分》中有這樣一個問題：“已知羊吃的食物是馬的一半，馬吃的食物是牛的一半。問：總共五斗粟如何在這三種牲口間分配？”考慮到羊、馬、牛三種動物的差異，平均分配顯然不合情理，書中應用“衰分術”解決這個問題。“衰分術”為：將每項之和作為分母，每一項乘分配的總數(shù)作為分子，所得的分數(shù)即為分得數(shù)。本題中，羊、馬和牛的食量分別是1、2、4，各項加起來是7，作為分母，將每一項乘以5作為分子，故分給羊、馬和牛的粟以斗為單位分別是57、107和207。

（四）自然與美學現(xiàn)象

比的意義除了從生活需求中產生，還蘊藏于奇妙和諧的自然界之中。

古希臘的畢達哥拉斯學派在悅耳的音樂中，覺察了“和聲”，并注意到在用三根弦發(fā)音時，如果這三根弦的長度之比為3∶4∶6，就會得到和聲的諧音。在許多其他場合，他們也發(fā)現(xiàn)了同樣的數(shù)量關系。例如，立方體的面數(shù)、頂點數(shù)、棱數(shù)分別為6、8、12，它們的比化簡后也是3∶4∶6。再如，用正多邊形覆蓋平面時，只有圖2所示的三種情況，所用正多邊形的邊數(shù)分別為3、4、6。根據類似的觀察，他們確信，整個宇宙的現(xiàn)象完全依附于某種數(shù)值的相互關系，也就是存在著“宇宙的和諧”。

此外，畢達哥拉斯學派還觀察到正五角星中有不少黃金比，故視正五角星為神物，將其作為學派的徽章?！包S金比”是意大利著名科學家、藝術家達·芬奇冠以的美稱，他在畫作中也經常使用黃金比。19世紀末，德國心理學家費希納做了一個實驗：制作了十個長寬比不同的矩形，讓592位參觀者在其中選擇最美的，結果565人認為長寬比為黃金比的矩形是“最美矩形”?？梢姡S金比是具有普遍審美價值的。 黃金比揭示了一種和諧的線段比例，因而在古今中外大量的藝術、建筑作品和日常生活中都被廣泛應用。

二、比的定義的發(fā)展

（一）從國內現(xiàn)行教材中比的定義說起

比就像空氣，無處不在，但要具體說出它的定義卻是難事。翻開國內主要的幾個版本的小學數(shù)學教材，有關比的定義的敘述分別如下。（1）滬教版：“a、b是兩個數(shù)或兩個同類的量，為了把b和a相比較，將a與b相除，叫作a與b的比（ratio）。記作a∶b，或寫成ab，其中b≠0。a叫作比的前項，b叫作比的后項。 前項a除以后項b所得的商叫作比值?！保?）人教版：“兩個數(shù)的比表示兩個數(shù)相除?！檬潜忍枴Ｔ趦蓚€數(shù)的比中，比號前面的數(shù)叫作比的前項，比號后面的數(shù)叫作比的后項。比的前項除以后項所得的商，叫作比值?！保?）蘇教版：“兩個數(shù)相除又可以叫作兩個數(shù)的比?！檬潜忍?，比號前面的數(shù)叫作比的前項，比號后面的數(shù)叫作比的后項，比的前項除以后項所得的商叫作比值?！保?）北師大版：“兩個數(shù)相除，又叫作這兩個數(shù)的比。如，6÷4寫作6∶4。6是這個比的前項，4是這個比的后項，1.5是6∶4的比值?！?/p>

可見，四個版本教材中，比的定義均基于除法運算，揭示了比和除法之間的統(tǒng)一性。蘇教版和北師大版給出的“兩個數(shù)相除又叫作兩個數(shù)的比”，意指比和除法是完全一樣的，只是名稱不同。人教版給出的“兩個數(shù)的比表示兩個數(shù)相除”，透露出比的范圍相較于除法更寬泛。比、除法以及分數(shù)三者之間差異模糊，容易使學生在學習時產生困惑，不理解學習比的必要性。

另外，四個版本教材都規(guī)定了比的對象是兩個“數(shù)”，滬教版教材還補充了兩個同類的“量”。同時，人教版教材與蘇教版教材采用了“路程與時間之比”的情境，這把比的對象擴大為兩個不同類的“量”。

（二）梳理比的定義的發(fā)展

比與除法、分數(shù)有什么區(qū)別？比的對象到底有什么要求？為解決這兩個問題，我們翻閱了《幾何原本》和大量西方早期教科書。

1.歐氏定義

歐幾里得在《幾何原本》第五卷中明確給出了比的定義：“當一個較小的量能量盡一個較大的量時，我們把較小量叫作較大量的一部分;當一個較大的量能被一個較小的量量盡時，我們把較大量叫作較小量的倍量;兩個同類量彼此之間的一種大小關系叫作比。”

以《幾何原本》第五卷命題1的圖示（見圖3）為例來理解這個定義，EG為較小量，AB為較大量，則EG為AB的一部分，AB為EG的倍量，AB與EG的大小關系為比。

歐幾里得認為，比是兩個同類量之間的一種大小關系，而這種大小關系特指倍數(shù)關系?！傲勘M”一詞，不僅體現(xiàn)了比的“描述和測量”意義，也從“形”的角度幫助我們理解比的概念?！稁缀卧尽分性S多命題的圖示中都有類似于圖3的線段比。

2.比較定義

19世紀的英美教科書基本沿用了《幾何原本》中的定義，即比是兩個同類量之間的一種大小關系，但敘述更為具體，內容也更加豐富。如J.Day在《代數(shù)引論》中寫道：

我們經常會把已知的數(shù)量與不等于它的其他數(shù)量進行比較。那么，如何進行比較？自然就產生了兩種比較方式，可以考慮兩個數(shù)量中一個比另一個多了多少，或者一個是另一個的多少倍。在尋找答案的過程中，我們發(fā)現(xiàn)了兩個數(shù)量的比，分別為“算術比（arithmetical ratio）”和“幾何比（geometrical ratio）”。

比是指一個量與另一個量的大小關系。首先這兩個量要是相同類型的，否則無法判斷。例如，把英尺（長度單位）和磅（重量單位）放在一起比較是荒謬的。

“算術比”表示的比較，旨在發(fā)現(xiàn)一個量比另一個量多了多少，即他們的差，最早用“..”表示。a與b的算術比，記為a..b。例如，6..3=3。既然兩個量的算術比即兩個量的差，而“差”似乎是更好的表達方式。因此，“算術比”逐漸被“差”代替，記號“..”也被“-”代替?！皫缀伪取北硎镜谋容^，旨在發(fā)現(xiàn)一個量是另一個量的多少倍，簡稱為比。a與b的比，記為a∶b。例如，6∶3=2。

書中指出比是兩個同類量之間大小關系的比較，并交代了兩種比較方式——“算術比”和“幾何比”，從感知的角度形象地給出了比的定義。

3.形式定義

比的定義敘述在20世紀的英美教科書中發(fā)生了較大變化，主要有兩種類型：（1）除法定義：“兩個數(shù)的比是第一個數(shù)除以第二個數(shù)，通常用a∶b表示，由于比實際上是除法，所以也寫成ab。顯然，兩個不同性質的數(shù)量之間沒有比，而在同一種類的兩個單位之間有比，例如1英尺∶1英寸=12。”（2）分數(shù)定義：“兩個數(shù)a和b的比是分數(shù)ab（b≠0）。每兩個同類量的比是這些量的數(shù)值之比?！?/p>

以上兩種定義的對象都是兩個“數(shù)”或兩個同類的“量”。其中，除法定義用兩個數(shù)的除法運算（過程）來定義比，與國內現(xiàn)行教材給出的定義一致;分數(shù)定義則從運算結果的角度來定義比。兩種定義都表達了比的形式，揭示了比與除法、分數(shù)的緊密聯(lián)系。

（三）厘清比的定義的源流

歐氏定義和比較定義表明，比的“源”是“比較”，是一種“大小關系”，包含了“算術比”與“幾何比”兩種關系;隨著定義的發(fā)展，“算術比”逐漸被“差”代替，“幾何比”演化成了今天教材中的“比”。這一過程體現(xiàn)了數(shù)學是動態(tài)發(fā)展的，數(shù)學追求精確性與嚴謹性等科學精神。除法定義和分數(shù)定義只是“流”，除法和分數(shù)是比較大小關系（倍數(shù)關系）的一種手段及其結果：可以通過除法對“比”進行運算，得到用分數(shù)表示的“比值”。也就是說，關系才是比的內容和本質，除法、分數(shù)只是比的形式和現(xiàn)象。比可以推廣到三個、四個乃至更多個數(shù)量之間的倍數(shù)關系，還可以擴展為兩個變量之間的函數(shù)關系，這些含義較之除法和分數(shù)要深刻得多。

關于數(shù)和量的關系，數(shù)是量的抽象（去掉一切物理屬性）。通俗來說，量屬于形象具體的現(xiàn)實世界，而數(shù)則被抽象到了數(shù)學內部，“量=數(shù)·單位”。從比的概念產生歷程我們可以發(fā)現(xiàn)，比來源于生活，即產生于數(shù)學外部，所以，比較兩個量的大小關系是自然的，由此，同種類型的量成了最直觀的前提。隨著數(shù)學的發(fā)展，正如畢達哥拉斯學派提出的“萬物皆數(shù)”，兩個量的比逐漸抽象成了兩個數(shù)的比，于是兩個“非同類量”的比也就能理解了。但與同類量之比不同，非同類量的比值有量綱。也就是說，不僅其數(shù)值要比，而且其單位也要比?？紤]到數(shù)與單位本質上是乘法關系，非同類量的比不能是“算術比”，因為非同類量之間的加減運算（如“1米-1秒”）無論如何都是沒有意義的，而非同類量之間的乘除運算（如“1米÷1秒=1米/秒”）可能具有（或被賦予）意義。綜上，同類量之比是比的概念之“源”，非同類量之比是“流”，數(shù)之比起著紐帶作用。從同類量之比到非同類量之比的發(fā)展，滿足從數(shù)學外部到數(shù)學內部再到數(shù)學外部的順序，體現(xiàn)了數(shù)學來源于生活又應用于生活。

這里值得一提的是，新課標特別強調了計數(shù)單位的概念，比如“在理解整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)意義的同時，理解整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)基于計數(shù)單位表達的一致性”（由此就可形成“數(shù)=個數(shù)·計數(shù)單位”的認識），這有助于勾連數(shù)和量及其運算的聯(lián)系，體現(xiàn)數(shù)和量及其運算的一致性。

三、教學啟示

從概念產生的角度看，比的意義體現(xiàn)在描述和測量、物物交換、合成與分配、自然與美學四個方面，不僅源自古人對物質生活的需求，還有對精神世界的熏陶。從概念發(fā)展的角度看，“比較”“大小關系”和“同類量”是比的定義的“源”，而“除法”“分數(shù)”和“非同類量”是比的定義的“流”。進一步來看，畢達哥拉斯學派所謂的“萬物皆數(shù)”指世間萬物都可以表示成兩個整數(shù)之比，但無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)卻讓其存在漏洞;倘若將“萬物皆數(shù)”的口號賦予新的含義，改成“萬物皆比”，便能將比的意義體現(xiàn)得淋漓盡致。

比的概念的歷史為今日教學提供了諸多啟示。

其一，創(chuàng)設教學情境，揭示比的意義。閱讀有關比的概念的史料，積累豐富的素材，并對多種素材進行分類或加工，可以圍繞多個主題創(chuàng)設不同種類的教學情境，從而引導學生歸類和總結，揭示比的多種意義。

其二，厘清教學主線，闡明比的定義。學生的認知往往具有歷史相似性。若在情境引入中直接采用非同類量的例子，是不符合歷史發(fā)展規(guī)律的，可能會增加學生的困惑。先給出“同類量之比”的定義，再抽象成“數(shù)之比”，最后引出“非同類量之比”，這是符合歷史發(fā)展順序的教學思路。

其三，明晰廣度和深度，提升對比的認識。橫向來看，生活中到處都是比，通過情境創(chuàng)設可以讓學生感受到數(shù)學與生活息息相關?？v向來看，比有著除法、分數(shù)所不具備的深刻含義和思想，可以為后面比例、三連比、函數(shù)的學習做鋪墊。

其四，滲透數(shù)學文化，達成德育之效。東西方不同文化背景下比的產生與發(fā)展，可以讓學生感受到古今中外數(shù)學文化的多元性，激發(fā)其學習興趣，樹立其動態(tài)的數(shù)學觀。同時，測量、交換、分配等方面的應用，可以讓學生感受到數(shù)學之于公平要求、理性精神和規(guī)則意識等的重要性，數(shù)學中蘊含著對美的刻畫。