宋子涵

1．格丁根學派

格丁根學派是德國19世紀20年代到20世紀20年代，由高斯（Gauss）創(chuàng)立的，黎曼（Riemann）、克萊因（Klein）、希爾伯特（Hilbert）等人都是該學派中的成員．該學派在世界數(shù)學史中長期占主導地位．格丁根學派強調(diào)數(shù)學的統(tǒng)一性，重視純粹數(shù)學和應用數(shù)學，將數(shù)學理論與近代工程技術緊密結(jié)合，格丁根學派“兵多將廣”且代代相接，學科齊全且長期保持著高度創(chuàng)造力，然而到20世紀30年代，納粹執(zhí)政后的瘋狂民族主義導致該學派日漸衰落．

高斯早年就讀于格丁根大學，并在格丁根擔任天文臺臺長和天文學教授，其《算術研究》和《曲面的一般研究》分別成為數(shù)論和微分幾何的奠基著作，黎曼也曾就讀格丁根大學，1851年獲博士學位，后留校任教授，黎曼是復變函數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以他名字命名的黎曼積分、黎曼曲面、黎曼幾何分別推動了積分理論、拓撲學和幾何學的發(fā)展．克萊因1886年受聘于格丁根大學，為學派的組織健全、人員匯集和理論發(fā)展做了大量工作，例如組織了許多討論班，營造了相互合作、民主自由的學術氣氛．他在《新的幾何研究成果的比較分析》中提出的“埃爾朗根綱領”，成為數(shù)學統(tǒng)一性的代表作，影響了本學派的后繼工作．希爾伯特1895年應召到格丁根大學后，在代數(shù)數(shù)論、幾何基礎、分析學、理論物理和數(shù)學基礎等方面作出了巨大貢獻．希爾伯特注重數(shù)學與物理等學科的聯(lián)系，他的新統(tǒng)一觀點促進了20世紀數(shù)學的進展．諾特（Noether）1916年到格丁根大學后，創(chuàng)立了抽象代數(shù)學，并創(chuàng)辦了討論班，培養(yǎng)了大批近現(xiàn)代數(shù)學家，進而影響到法、蘇、美、英等國的數(shù)學發(fā)展．

2．柏林學派

柏林學派是19世紀下半葉到20世紀初，在德國柏林興起的數(shù)學學派，其代表人物為外爾斯特拉斯（Weierstrass）、弗羅貝尼烏斯（Ferdinand Georg）、基靈（Killing）等人．柏林學派主要從事數(shù)學分析、符號代數(shù)和幾何基礎方面的研究．雖然柏林學派不限制研究的方向，但所有成員有著一致的哲學觀點，并用以指導研究工作．

1856年，外爾斯特拉斯受聘到柏林大學執(zhí)教，在數(shù)學分析的嚴密化方面作出了重要貢獻，提出連續(xù)、一致收斂等基本概念及其應用方法；在橢圓函數(shù)、行列式、線性代數(shù)、變分法等領域也取得豐富的成果，成為該學派的帶頭人.1867年，弗羅貝尼烏斯和基靈進入柏林大學學習，在外爾斯特拉斯的指導下獲博士學位，弗羅貝尼烏斯繼承了外爾斯特拉斯有關初等因子的理論，獨立引入符號矩陣代數(shù)，基靈則對外爾斯特拉斯有關幾何基礎方面的工作進行了深入研究，創(chuàng)立了李代數(shù)的結(jié)構(gòu)理論和環(huán)與代數(shù)的結(jié)構(gòu)理論．

3．意大利代數(shù)幾何學派

該學派19世紀60年代興起于意大利，由布廖斯基（Brioschio）、貝蒂（Betti）和克雷莫納（Cremona）“掌門”．該學派的工作在性質(zhì)上屬于古典代數(shù)幾何，有著自己的風格和研究主題，對意大利數(shù)學的全面發(fā)展有深遠影響.19世紀50年代開始，意大利數(shù)學家與歐洲數(shù)學家有了廣泛交流.1863年，波倫亞大學的數(shù)學教授克雷莫納給出平面曲線的一般變換理論，此后又被后人完善，稱其為克雷莫納變換：任意維射影空間的射影平面與有理平面的雙有理變換理論．他的一系列工作成為意大利代數(shù)幾何研究的起點，并帶動了許多數(shù)學家對其進行研究.19世紀90年代后，意大利的很多代數(shù)幾何學家成長起來，其中塞格雷（Segre）于1894年擴展了線性系的研究領域，后人在此基礎上發(fā)現(xiàn)了許多新的雙有理不變量的性質(zhì).19世紀末卡斯泰爾諾沃（Castelnuovo）與恩里克斯（Enriques）開始合作，以線性系為中心概念進行研究，利用克雷莫納變換奠定了曲線的線性系理論，并對曲面分類理論進行了深入的研究．塞維里（Severi）師從塞格雷，完善了代數(shù)曲面雙有理不變量理論，并將其推廣到任意維代數(shù)簇上．他還建立了代數(shù)幾何的基礎理論，為曲線的線性系理論打下了基礎．

4．法國函數(shù)論學派

法國函數(shù)論學派興起于19世紀末，以阿達馬（Ha-damard）、波萊爾（Borel）、貝爾（Baire）、勒貝格（Lebesgue）等人為代表，

法國數(shù)學在18世紀末到19世紀30年代，在數(shù)學分析、幾何和數(shù)學物理方面取得巨大成就.19世紀末法國數(shù)學重新崛起，阿達馬在函數(shù)論領域取得了開創(chuàng)性的成果，成為學派的精神領袖，并在20世紀初開辦討論班，培養(yǎng)了一批優(yōu)秀數(shù)學家，波萊爾1897年任巴黎高等師范學校講師，其《函數(shù)論教程》闡述了測度理論，并給出覆蓋定理的一個新證明，他編輯的“函數(shù)論著作叢書”先后出版了約50本，其中包含了將集合論用于實變函數(shù)論和復變函數(shù)論的新思想.1899年貝爾研究了連續(xù)函數(shù)的極限函數(shù)的特殊問題，并給出了半連續(xù)概念，此后集中研究非連續(xù)函數(shù)，成為實變函數(shù)論的開拓者之-.1897年勒貝格畢業(yè)于巴黎高等師范學校，兩年后開始發(fā)表有關函數(shù)分類的文章，1902年在博士論文《積分、長度與面積》中詳細闡述了勒貝格積分概念，這是研究現(xiàn)代積分論的開端，后來勒貝格又在《積分與原函數(shù)的探索》中證明了有界函數(shù)黎曼可積的充分必要條件是不連續(xù)點構(gòu)成一個零測度集，完全解決了黎曼可積性問題，為實變函數(shù)論打下了堅實的基礎．在20世紀初，法國函數(shù)論學派吸引了世界各地的學生，推動了世界函數(shù)論的發(fā)展，第一次世界大戰(zhàn)使法國科學研究遭受重創(chuàng)，函數(shù)論學派沒落．法國數(shù)學在戰(zhàn)后逐漸轉(zhuǎn)向應用領域和研究公理化方法．

5．普林斯頓學派

普林斯頓學派于20世紀初在美國普林斯頓創(chuàng)立，并一直延續(xù)到20世紀50年代，以范因（Fine）、維布倫（Veblen）、外爾（Weyl）、莫爾斯（Morse）等人為代表．普林斯頓學派既在傳統(tǒng)微分幾何與拓撲學中引進了新的工具，又開拓了有關數(shù)學物理的新領域，以優(yōu)勢學科帶動其他學科全面發(fā)展，以數(shù)學理論研究推動科學應用，并廣泛開展國際交流與合作，是現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的一種非常成功的模式．

范因就是在當時的世界數(shù)學中心——德國獲得博士學位，自1885年起一直在普林斯頓工作，曾任普林斯頓大學數(shù)學系主任、教師會主席、科學系主任、代理校長等職，1911和1912年任美國數(shù)學會主席.1905年維布倫到普林斯頓大學任教，在幾何基礎、射影幾何、組合拓撲等領域取得了很多成果.1922年后，他與艾森哈特一起引入路線概念，并將其作為空間的基本結(jié)構(gòu)元素，深入研究了路線幾何學的流形，后又對微分流形和微分幾何的公理化進行了深入研究，他們非常注重微分幾何與相對論、電磁學、動力學和量子理論相結(jié)合．其《射影幾何》《位置分析》都已成為經(jīng)典著作.1933年，普林斯頓高等研究院成立，聘請了一批世界著名的數(shù)學家，創(chuàng)辦了《數(shù)學年刊》，并開設了數(shù)學討論班．

6．莫斯科學派

莫斯科學派于20世紀初在莫斯科創(chuàng)立，該學派又細分為兩個側(cè)重點不同的學派：由葉戈洛夫和盧津創(chuàng)立，柯爾莫哥洛夫發(fā)揚光大的函數(shù)論學派；以亞歷山德羅夫、烏雷松、龐特里亞金等人為代表的拓撲學派．

莫斯科學派直接代表了前蘇聯(lián)近現(xiàn)代數(shù)學發(fā)展的水平．盧津是葉戈洛夫的學生，曾到法國和德國學習，后在莫斯科大學演講實變函數(shù)論，并寫有實變函數(shù)論教科書，他曾證明可測函數(shù)的構(gòu)造定理．柯爾莫哥洛夫在數(shù)論方面作了大量工作，并應用實變函數(shù)論和測度論將概率論建立在嚴格的數(shù)學基礎上．亞歷山德羅夫和烏雷松也都是盧津的學生，早年從事函數(shù)論研究，后轉(zhuǎn)向研究拓撲學，成為20世紀該學科的先驅(qū)．烏雷松開創(chuàng)了維數(shù)理論的研究，為發(fā)展一般拓撲學理論作出了杰出貢獻，龐特里亞金參加了亞歷山德羅夫組織的拓撲學討論班，他寫了幾本重要的拓撲學專著，且在應用數(shù)學領域取得較大成就，莫斯科學派將函數(shù)論作為工具，在拓撲學、微分方程、概率論等幾個方面都獲得長足的發(fā)展．近年來莫斯科數(shù)學界仍然新人輩出，其中諾維科夫和馬爾庫利斯分別榮獲1970年和1978年度菲爾茲獎．

7．劍橋分析學派

劍橋分析學派于20世紀上半葉在英國劍橋大學興起，以哈代（Hardy）和李特爾伍德（Littlewood）為代表．劍橋大學一直是英國的數(shù)學研究中心，而數(shù)學是該校的重要課程之-.1837年，他們創(chuàng)辦了《劍橋數(shù)學雜志》，以供年輕數(shù)學家發(fā)表研究成果．

19世紀下半葉，凱萊（Cayley）、福賽思（A.R.For-syth）、霍布森（E.W.Hobson）等人成為劍橋分析學派的領頭人，哈代1900年畢業(yè)于劍橋大學三一學院，后留校執(zhí)教．他的《純粹數(shù)學教程》是一本有關初等數(shù)學分析的教程，產(chǎn)生了較大影響.1910年，李特爾伍德成為哈代的同事，1912年他開始與哈代聯(lián)名發(fā)表論文，35年中他們通過合作，在丟番圖逼近、數(shù)的加性和積性理論、黎曼函數(shù)、不等式、積分、三角級數(shù)等分析領域發(fā)表了近100篇論文.1913年，哈代與印度天才數(shù)學家拉馬努金（Ramanuj an）在素數(shù)分布、加性數(shù)論、廣義超幾何級數(shù)、橢圓函數(shù)、發(fā)散級數(shù)等方面進行合作．在此期間，哈代和李特爾伍德的教學激發(fā)了許多學生對分析學的興趣，到20世紀30年代，兩人共同主持的聯(lián)合討論班的學生遍及世界各地，劍橋分析學派將嚴密化的分析方程、積分方程、測度等工具用于數(shù)論、函數(shù)論的研究，并運用超圓法解決了很多數(shù)學問題．劍橋分析學派將純粹數(shù)學與應用數(shù)學結(jié)合起來，并將其用到分析學的研究領域，大大地促進了其他數(shù)學分支的發(fā)展．

8．波蘭學派

波蘭學派興起于兩次世界大戰(zhàn)期間，依據(jù)地點一般又細分為華沙學派和利沃夫?qū)W派，華沙學派成員于1920年創(chuàng)辦《數(shù)學基礎》雜志；利沃夫?qū)W派則在1929年創(chuàng)辦了《數(shù)學研究》雜志．兩個學派的成員分別在兩份雜志上發(fā)表文章，兩份雜志也因此成為了國際上重要的數(shù)學雜志，謝爾品斯基（Sierpimski）、尼謝夫斯基（Janiszewski）、馬祖爾克維奇（Mazurkiewicz）是波蘭學派的創(chuàng)始人．他們都曾在華沙大學工作，一起創(chuàng)辦了《數(shù)學基礎》，在集合論和拓撲學領域上取得很多成果．同時他們非常注意科學團體的組織建設，以學派刊物為中心，吸引和培養(yǎng)了一大批優(yōu)秀的數(shù)學家．利沃夫?qū)W派的代表人物是巴拿赫（Banach）、施坦豪斯（Steinhaus）、庫拉托夫斯基（Kuratowski）、烏拉姆等，他們先后在利沃夫技術大學學習或執(zhí)教，對泛函分析學科的創(chuàng)立和發(fā)展作出了貢獻．學派中的成員常在一個“蘇格蘭咖啡館”聚會，提出和討論數(shù)學問題，其中不乏影響到20世紀后半葉數(shù)學發(fā)展的問題，除此之外，波蘭學派中有的學員來自克拉克夫和波茲南，他們開辦了一些數(shù)學聚會及科學機構(gòu)．由于第二次世界大戰(zhàn)納粹占領波蘭，波蘭學派隨之沒落，幸好在戰(zhàn)后得以復興．

9．布爾巴基學派

布爾巴基學派于20世紀30年代出現(xiàn)在法國，由一群青年數(shù)學家創(chuàng)立，他們用尼古拉·布爾巴基（Nico-las Bourbaki）為集體的筆名，發(fā)表數(shù)學論文和有關數(shù)學基礎問題的專著．這群青年廣泛地、深入地研究現(xiàn)代數(shù)學的本質(zhì)，撰寫了鴻篇巨著《數(shù)學原理》．該書自1939年開始出版以來，已先后出版了近40卷，并陸續(xù)被譯成英、日、俄等多國文字．同時，他們還發(fā)表500多篇綜述當代數(shù)學各個領域重大成果的文章．

受第一次世界大戰(zhàn)的影響，老一輩數(shù)學家對當代數(shù)學知之甚少，年輕大學生的求知欲得不到滿足.1934年冬，一些高等師范學校畢業(yè)的年輕數(shù)學家自發(fā)地組織起來，約定1935年7月在巴黎召開第一次布爾巴基大會，并計劃編寫《數(shù)學原理》．這些年輕的數(shù)學家包括韋伊（WeiD、迪厄多內(nèi)（Dieudonne）、嘉當（JosephCartan）、謝瓦萊（Chevalley）等人，他們成了布爾巴基學派的第一批主要成員．該學派每年舉行數(shù)次聚會，在會上探討數(shù)學發(fā)展的動向，運用公理化方法研究整個數(shù)學的基礎和本質(zhì)．會議沒有任何程序，參加者可自由地踴躍發(fā)言．學派中的成員被要求必須具備較高的數(shù)學造詣和獨立解決問題的能力，且對自己研究的課題懷有強烈的興趣．他們的治學態(tài)度嚴謹，經(jīng)常要反復修改一部作品，直到大家基本滿意為止．因此一本書從動筆到正式出版平均要8-10年．學派中有個不成文的規(guī)定：凡年滿50歲者必須退出．有許多學派的老一代成為了國際著名的數(shù)學家，較年輕的也有不少是優(yōu)秀的數(shù)學家，如獲得過國際數(shù)學家大會頒發(fā)的菲爾茲獎的施瓦爾茨、塞爾、格羅騰迪克等人．《數(shù)學原理》博大精深，作者堅持嚴格的公理化原則，并使用新穎獨特的名詞術語，以“分析的基本結(jié)構(gòu)”為基礎理論體系，涉及了集合論、代數(shù)學、一般拓撲學、實變函數(shù)論、拓撲向量空間、積分論等方面．此外，學派還發(fā)表了有關李群與李代數(shù)群、交換代數(shù)、譜理論、微分流形與解析流形等方面的著作，這些著作中都強調(diào)數(shù)學是一門統(tǒng)一的結(jié)構(gòu)性科學，具有三種基本結(jié)構(gòu)：代數(shù)結(jié)構(gòu)、序結(jié)構(gòu)和拓撲結(jié)構(gòu)；數(shù)學中的不同分支都是其重要組成部分．該觀點對于豐富人們對數(shù)學的認識，推動數(shù)學的發(fā)展有重要意義，同時也影響了世界各國的數(shù)學教育．

歷史證明，各個學派都有各自的優(yōu)點和缺陷，但是他們彌補了數(shù)學基礎的很多不足，為數(shù)學的嚴密性提供了更加精確的符號、語言．