潘 鵬

(西北師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 蘭州 730070)

0 引 言

給定一個(gè)Riemann流形, 考慮關(guān)于Levi-Civita聯(lián)絡(luò)平行的對(duì)稱(0,2)型張量場(chǎng), 顯然度量張量和度量張量的常數(shù)倍均關(guān)于Levi-Civita聯(lián)絡(luò)平行. 而關(guān)于除度量張量的常數(shù)倍外, 是否還有其他對(duì)稱的(0,2)型平行張量場(chǎng)的問題研究已取得一些成果: Eisenhart[4]首次證明了若Riemann流形(M,g)上存在非度量常數(shù)倍對(duì)稱的(0,2)型平行的張量場(chǎng), 則M是可約的; Levy[5]證明空間型上的對(duì)稱(0,2)型平行張量場(chǎng)必為度量張量的常數(shù)倍. 關(guān)于仿射聯(lián)絡(luò)空間上對(duì)稱(或反對(duì)稱)的(0,2)型平行張量場(chǎng)的存在性和分類問題稱為Eisenhart問題. 目前, 該問題在復(fù)空間型、 近Kenmotsu流形和Para-contact流形上都取得了一定進(jìn)展[6-10].

另一方面, 將Levi-Civita聯(lián)絡(luò)推廣為半對(duì)稱度量聯(lián)絡(luò)和1/4對(duì)稱度量聯(lián)絡(luò), 考慮關(guān)于半對(duì)稱度量聯(lián)絡(luò)和1/4對(duì)稱度量聯(lián)絡(luò)類似的Eisenhart問題. 例如: Chaubey等[11-12]研究了Lorentz流形上關(guān)于半對(duì)稱度量聯(lián)絡(luò)平行的對(duì)稱(0,2)型張量場(chǎng); De等[13]研究了Para-Sasakian流形上關(guān)于1/4對(duì)稱度量聯(lián)絡(luò)平行的對(duì)稱(0,2)型張量場(chǎng), 并證明了該張量場(chǎng)必為度量張量的常數(shù)倍.而Kenmotsu流形作為非Para-Sasakian情形的一種近切觸度量流形, 其上的1/4對(duì)稱度量聯(lián)絡(luò)與Para-Sasakian流形上的1/4對(duì)稱度量聯(lián)絡(luò)有不同的定義與性質(zhì). 受上述研究啟發(fā), 本文主要研究Kenmotsu流形上關(guān)于1/4對(duì)稱度量聯(lián)絡(luò)平行的對(duì)稱(0,2)型張量場(chǎng)的存在性問題.

設(shè)M2n+1為(2n+1)維光滑流形, 如果存在M2n+1上的(1,1)型光滑張量場(chǎng)φ、 1-形式η以及光滑切向量場(chǎng)ξ, 使得對(duì)?X∈X(M)都成立

φ2X=-X+η(X)ξ,

(1)

η(ξ)=1,

(2)

則稱M2n+1具有近切觸結(jié)構(gòu)(φ,ξ,η), 附著有近切觸結(jié)構(gòu)的光滑流形稱為近切觸流形[14], 記為(M2n+1,φ,ξ,η).進(jìn)一步, 若近切觸流形(M2n+1,φ,ξ,η)上存在Riemann度量g, 使得對(duì)?X,Y∈X(M), 有

g(φX,φY)=g(X,Y)-η(X)η(Y),

(3)

則(M2n+1,φ,ξ,η)稱為近切觸度量流形[14], 記為(M2n+1,φ,ξ,η,g).

在近切觸度量流形(M2n+1,φ,ξ,η,g)上, 若對(duì)?X,Y∈X(M)滿足

(Xφ)Y=g(φX,Y)ξ-η(Y)φX,

(4)

則(M2n+1,φ,ξ,η,g)稱為Kenmotsu流形[15], 其中表示(M2n+1,g)的Levi-Civita聯(lián)絡(luò).

設(shè)(M2n+1,φ,ξ,η,g)為Kenmotsu流形, 定義映射

(5)

φξ=0,

(6)

η(X)=g(X,ξ),

(7)

η°φ=0.

(8)

在式(3)中置X為φX, 并結(jié)合式(1),(7),(8)得

g(φX,Y)=-g(φY,X).

(9)

為方便表述, 本文簡(jiǎn)稱如上定義的1/4對(duì)稱度量聯(lián)絡(luò)為φ-聯(lián)絡(luò).

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)(M2n+1,φ,ξ,η,g)為(2n+1)維Kenmotsu流形, 約定:和表示Levi-Civita聯(lián)絡(luò)和φ-聯(lián)絡(luò),R,S和分別表示關(guān)于和的Riemann曲率張量、 Ricci曲率張量.X,Y,Z,W為(M2n+1,φ,ξ,η,g)上任意的光滑切向量場(chǎng).

引理1具有φ-聯(lián)絡(luò)的Kenmotsu流形(M2n+1,φ,ξ,η,g)上成立如下等式：

證明: 結(jié)合φ-聯(lián)絡(luò)的定義式(5)及曲率張量場(chǎng)的定義, 計(jì)算可知

根據(jù)文獻(xiàn)[15], Kenmotsu流形(M2n+1,φ,ξ,η,g)上成立dη=0, 將其代入式(10)即得結(jié)論.

引理2設(shè)(M2n+1,φ,ξ,η,g)為具有φ-聯(lián)絡(luò)的Kenmotsu流形,h為其上的對(duì)稱(0,2)型張量場(chǎng).則h關(guān)于φ-聯(lián)絡(luò)平行與關(guān)于Levi-Civita聯(lián)絡(luò)平行一致的充要條件為: 對(duì)?X,Y∈X(M), 有h(φX,Y)=-h(φY,X).

證明: 充分性.對(duì)?X,Y,Z∈X(M), 有

于是, 由φ-聯(lián)絡(luò)的定義得

(11)

Xh(Y,Z)-h(XY,Z)-h(XZ,Y)=0.

必要性.由h關(guān)于φ-聯(lián)絡(luò)平行與關(guān)于Levi-Civita聯(lián)絡(luò)平行一致, 得

于是, 由式(11)知

η(X)(h(φY,Z)+h(Y,φZ(yǔ)))=0,

再結(jié)合式(2)可得結(jié)論.

2 主要結(jié)果

h(φX,Y)=-h(φY,X), ?X,Y∈X(M),

則h=λg, 其中λ=h(ξ,ξ)為常數(shù).

(13)

利用引理1及式(4), 計(jì)算式(13)得

h=0.

與式(13)同理可得

h(R(X,Y)Z,W)+h(Z,R(X,Y)W)=0.

將式(14)化為

在式(15)中, 令W=ξ, 并結(jié)合式(2),(7),(8)得

在式(16)中, 置Z為φZ(yǔ), 利用式(3),(8)計(jì)算得

η(X)g(Y,Z)h(ξ,ξ)-η(Y)g(X,Z)h(ξ,ξ)+η(Y)h(φZ(yǔ),φX)-η(X)h(φZ(yǔ),φY)=0.

(17)

在式(17)中, 令X=ξ, 由式(2),(3),(6),(7), 計(jì)算得

h(φY,φZ(yǔ))=h(ξ,ξ)g(φY,φZ(yǔ)).

(18)

另一方面, 在h(φX,Y)=-h(φY,X)中置X為φX, 結(jié)合式(1)得

-h(X,Y)+η(X)h(ξ,Y)=-h(φY,φX),

(19)

同理, 置Y為φY得

h(φX,φY)=h(Y,X)-η(Y)h(ξ,X),

(20)

于是由式(19),(20), 并結(jié)合h是對(duì)稱的, 有

η(X)h(ξ,Y)=η(Y)h(ξ,X).

(21)

在式(21)中令Y=ξ, 由式(2)得

η(X)h(ξ,ξ)=h(ξ,X).

(22)

在式(18)中置Y為φY,Z為φZ(yǔ), 并結(jié)合式(1),(2),(7),(21)計(jì)算得

h(Y,Z)=h(ξ,ξ)g(Y,Z).

(23)

由引理2和定理1易得：

若對(duì)Riemann流形(M,g)的Ricci曲率張量S有S=0, 則稱(M,g)是Ricci對(duì)稱的.結(jié)合與引理2, 有:

推論2設(shè)(M2n+1,φ,ξ,η,g)為具有φ-聯(lián)絡(luò)的Kenmotsu流形, 又是Ricci對(duì)稱的, 則(M2n+1,φ,ξ,η,g)為Einstein流形的充要條件為S滿足S(φX,Y)=-S(φY,X).