王春彥, 邸金紅, 毛北行

(1. 鄭州航空工業(yè)管理學院 智能工程學院, 鄭州 450015；2. 鄭州航空工業(yè)管理學院 數(shù)學學院, 鄭州 450015)

目前, 混沌同步已引起人們廣泛關注[1-2], 隨著分數(shù)階微積分的引入, 分數(shù)階系統(tǒng)的同步研究已取得了較多成果[3-4], 由于分數(shù)階系統(tǒng)比整數(shù)階系統(tǒng)更貼近模型本身和實際情況, 因此在系統(tǒng)建模時可將系統(tǒng)建模為分數(shù)階微分方程. 分數(shù)階系統(tǒng)同步在生物、 化學、 醫(yī)療衛(wèi)生、 通訊和物理等領域應用廣泛. 由于滑模方法具有良好的魯棒性, 因此將其引入混沌同步中, 并已取得很多研究成果[5-8], 其中： 文獻[5]研究了三維分數(shù)階混沌系統(tǒng)的自適應滑模同步; 文獻[6]研究了分數(shù)階高維混沌系統(tǒng)的滑模同步; 文獻[7]研究了分數(shù)階多混沌系統(tǒng)的滑模同步; 文獻[8]研究了Victor-Carmen分數(shù)階混沌系統(tǒng)的滑模新方法. 在實際應用中, 由于存在建模的不確定性和外部擾動, 使系統(tǒng)性能變差, 甚至使系統(tǒng)癱瘓, 因此必須考慮這些不確定因素的影響: 文獻[9]研究了大氣混沌系統(tǒng)的動力學行為與系統(tǒng)仿真, 對大氣混沌現(xiàn)象進行了研究和系統(tǒng)描述; 文獻[10]研究了分數(shù)階大氣混沌系統(tǒng)的比例積分滑模同步. 但利用自適應邊界層理論對分數(shù)階大氣混沌系統(tǒng)的研究尚未見文獻報道, 基于此, 本文給出分數(shù)階滑模面的設計及控制器的構造, 從而得到大氣混沌系統(tǒng)取得自適應滑模同步的兩個充分條件.

1 主要結果

Stenflo的大氣熱對流混沌系統(tǒng)[11]可描述為

(1)

其中α,β,γ,c為常值參數(shù), 當α=1,β=0.7,γ=1.5,c=26時, 系統(tǒng)(1)的混沌吸引子如圖1所示.

圖1 系統(tǒng)(1)的混沌吸引子Fig.1 Chaotic attractors of system (1)

以系統(tǒng)(1)為主系統(tǒng), 設計從系統(tǒng)為

(2)

其中φ(t)=(x1,y1,z1,ω1)T, Δf(φ(t))為不確定項,d(t)為有界的外部擾動, 定義e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,e4=ω1-ω, 可得

(3)

假設1設不確定項Δf(φ(t))和外部擾動d(t)有界, 即存在未知參數(shù)m,n>0, 使得|Δf(φ(t))|≤m, |d(t)|≤n.

適應律為

(5)

x1y1-xy=(x1y1-x1y)+(x1y-xy)=x1e2+ye1,

當不在滑模面上運動時, 設計

(6)

根據(jù)引理1對式(6)求分數(shù)階導數(shù)可得

兩邊積分,

由引理1可得s(t)→0.

定義1[13]Caputo型分數(shù)階微分定義為

分數(shù)階大氣混沌系統(tǒng)[10]可描述為

(7)

設計從系統(tǒng)為

(8)

定義

e1=x1-x,e2=y1-y,e3=z1-z,e4=ω1-ω,

可得誤差方程為

(9)

引理2[13]若x(t)為連續(xù)可微函數(shù), 則有

則

即‖y1(t)‖→0, 其中Eα,β(g)表示雙參數(shù)Mittag-Leffler函數(shù).

(10)

x1y1-xy=(x1y1-x1y)+(x1y-xy)=x1e2+ye1,

當不在滑模面上運動時, 設計

(11)

根據(jù)引理2對式(11)求分數(shù)階導數(shù), 可得

由引理3可得s(t)→0.

2 數(shù)值仿真

用MATLAB仿真程序進行仿真, 參數(shù)為α=1,β=0.7,γ=1.5,c=26,q=0.947,η=2, 初始值設為

(x(0),y(0),z(0),ω(0))=(3.2,8.5,3.5,2.0),

Δf(φ(t))+d(t)=0.1sin(t)x1+0.1cost,

定理1和定理2中的系統(tǒng)誤差曲線分別如圖2和圖3所示.由圖2和圖3可見, 系統(tǒng)誤差在初始時相差較大, 且距原點較遠, 一段時間后逐漸趨近于原點, 表明大氣混沌系統(tǒng)取得了滑模同步.該問題的解決為進一步了解和掌握大氣混沌運動及氣象預報具有重要作用.

圖2 定理1中的系統(tǒng)誤差曲線Fig.2 Systematic error curves of theorem 1

圖3 定理2中的系統(tǒng)誤差曲線Fig.3 Systematic error curves of theorem 2

綜上, 本文研究了大氣分數(shù)階混沌系統(tǒng)的滑模同步, 利用控制理論和分數(shù)階微分將系統(tǒng)建模為分數(shù)階微分方程, 得到大氣混沌系統(tǒng)取得自適應滑模同步的兩個充分條件.結果表明, 大氣混沌系統(tǒng)在一定的假設條件下可取得自適應滑模同步, 并將整數(shù)階系統(tǒng)的結論推廣到分數(shù)階系統(tǒng), 對掌握大氣運行規(guī)律和大氣對流氣象具有一定的指導作用.