付海燕, 雷騰飛, 賀金滿, 臧紅巖

(1. 齊魯理工學院 機電工程學院, 濟南 250200； 2. 中原工學院 理學院, 鄭州 450007)

自Mandelbrot[1]在自然界中發(fā)現(xiàn)分維現(xiàn)象后, 分數(shù)階微積分已引起人們廣泛關注. 分數(shù)階在量子力學、 電磁學振蕩、 系統(tǒng)控制和材料力學等領域應用廣泛[2], 其中分數(shù)階小波變換、 分數(shù)階Fourier變換與分數(shù)階圖像處理等技術可用于信號處理. 對分數(shù)階混沌系統(tǒng)的研究已取得較多成果[3-9].

目前, 分數(shù)階算子主要有Grunwald-Letnokov (G-L) 定義[10]、 Caputo定義和Riemann-Liouville (R-L) 定義[11], 其中Caputo定義應用范圍更廣. Li等[12]基于頻域算法設計了分數(shù)階混沌系統(tǒng)的動力學分析及Lyapunov指數(shù)譜算法, 由于頻域算法通過階數(shù)的Laplace變換得到, 因此存在階數(shù)無法更改的缺點； 文獻[13]用Adomian分解法(ADM)對非線性項進行迭代數(shù)值逼近, 并通過MATLAB軟件進行了仿真分析, ADM運算速度較塊, 誤差小, 數(shù)值求解仿真可節(jié)省計算機資源； 文獻[14]基于同倫算法設計了分數(shù)階混沌系統(tǒng), 并分析了分數(shù)階混沌系統(tǒng)隨參數(shù)和階數(shù)變化的動力學特性, 但均未考慮系統(tǒng)時滯特點; 文獻[15]用LQG-Pade逼近合拍對汽車懸架時滯系統(tǒng)進行了分析和優(yōu)化； 文獻[16]提出了基于時滯代換的自適應分散容錯控制； 文獻[17]在分數(shù)階混沌系統(tǒng)基礎上增加了時滯項, 并設計了系統(tǒng)的同步控制器, 但未分析系統(tǒng)特性； 文獻[18]對整數(shù)階時滯系統(tǒng)進行了同步控制, 并將同步控制方法運用到通信加密中, 實現(xiàn)了發(fā)送端與接收端的同步, 但未研究分數(shù)階系統(tǒng).

本文以具有非線性時滯項分數(shù)階Lü混沌系統(tǒng)為研究對象, 采用ADM對系統(tǒng)非線性項進行分解, 時滯項對應的分解項均為時滯項, 分解后的結果用MATLAB軟件仿真, 并利用分岔圖、 復雜度和相軌跡等動力學工具分析系統(tǒng)參數(shù)對系統(tǒng)的影響.

1 非線性時滯項分數(shù)階Lü混沌系統(tǒng)

文獻[19]在Lü混沌系統(tǒng)的xy項上添加了時滯, 并將整數(shù)階算子改為分數(shù)階算子, 提出了含有非線性時滯項分數(shù)階Lü混沌系統(tǒng)的動力學方程

(1)

其中x,y,z為系統(tǒng)的狀態(tài)變量,a,b,c為系統(tǒng)參數(shù).

令初始狀態(tài)為

(2)

根據(jù)ADM和分數(shù)階微積分基本性質可得

(9)

由ADM可得系統(tǒng)(1)的數(shù)值解為

(10)

用MATLAB軟件對式(10)進行數(shù)值仿真, 當a=30,b=2.93,c=22.2,q1=q2=q3=q=0.95,τ=0.02, 步長h=0.01時, 系統(tǒng)(1)的相軌跡如圖1所示.由圖1可見, 系統(tǒng)(1)存在混沌吸引子.采用0-1測試驗證x,y兩個序列的混沌特性, 結果如圖2所示.

圖1 系統(tǒng)(1)的相軌跡Fig.1 Phase trajectory of system (1)

圖2 系統(tǒng)(1)的0-1測試結果Fig.2 0-1 test results of system (1)

2 單參數(shù)變化系統(tǒng)的分岔圖和復雜度

為研究系統(tǒng)(1)的非線性動力學行為, 用ADM分析系統(tǒng)(1)的時間序列. 先用最大值法獲取系統(tǒng)分岔圖, 再用時間序列的復雜度和熵分析系統(tǒng)的復雜度[20-21]. 由于系統(tǒng)仿真延時必須為步長的整數(shù)倍, 因此延時為0.01～0.03即可出現(xiàn)混沌.

2.1 參數(shù)q的變化

當參數(shù)a=30,b=2.93,c=22.2,τ=0.02,q∈[0.7,1], 步長為0.005時, 分數(shù)階階數(shù)變化下系統(tǒng)(1)的分岔圖與譜熵復雜度(SE)和C0復雜度如圖3所示. 由圖3可見： 當q=0.7時, 系統(tǒng)(1)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象, 即最小階數(shù); 當q∈(0.7,0.73]時, 非線性項分數(shù)階時滯Lü系統(tǒng)分岔圖為空白, 這是由于該區(qū)間系統(tǒng)處于發(fā)散狀態(tài)所致, 由于系統(tǒng)處于發(fā)散狀態(tài)時的數(shù)值解無限變大, 因此無法計算該區(qū)間系統(tǒng)的復雜度, 系統(tǒng)復雜度與分岔圖一致； 當q∈(0.73,1]時, 該區(qū)間系統(tǒng)處于混沌狀態(tài), 對應的系統(tǒng)復雜度SE/C0數(shù)值較大; 在系統(tǒng)進入混沌區(qū)域后, 隨著系統(tǒng)分數(shù)階階數(shù)q變大, 系統(tǒng)復雜度減小.在圖像加密、 通信保密、 化工攪拌以及混沌理療中, 系統(tǒng)復雜度越高效果越好, 在系統(tǒng)處于混沌下, 通過圖3(B)可得到復雜度最大時對應分數(shù)階數(shù)的q值.

圖3 參數(shù)q變化時系統(tǒng)(1)的分岔圖(A)與復雜度(B)Fig.3 Bifurcation diagram (A) and complexity (B) of system (1) when parameter q changes

2.2 參數(shù)a的變化

當參數(shù)b=2.93,c=22.2,q=0.95,τ=0.02,a∈[25,50]時, 系統(tǒng)(1)的分岔圖與復雜度如圖4所示.由圖4(A)可見: 系統(tǒng)(1)是倍周期(PDB)分岔方式, 由周期狀態(tài)進入混沌狀態(tài); 當a∈[25,27.9)∪(43,50]時, 系統(tǒng)(1)處于周期狀態(tài), 該區(qū)間對應的系統(tǒng)SE/C0復雜度較??； 當a∈[27.9,43]時, 該區(qū)間系統(tǒng)(1)處于混沌狀態(tài), 對應的系統(tǒng)SE復雜度約為0.65, C0復雜度約為0.45, 復雜度數(shù)值相對較大.參數(shù)a變化時系統(tǒng)(1)的相圖如圖5所示.由圖5可見, 當a分別為28,28.7,27.5,44時, 系統(tǒng)(1)分別為一周期、 二周期、 四周期和一周期.

圖4 參數(shù)a變化時系統(tǒng)(1)的分岔圖(A)與復雜度(B)Fig.4 Bifurcation diagram (A) and complexity (B) of system (1) when parameter a changes

圖5 參數(shù)a變化時系統(tǒng)(1)的相圖Fig.5 Phase diagrams of system (1) when parameter a changes

2.3 參數(shù)b的變化

當參數(shù)a=30,c=22.2,τ=0.02,b∈[0,5]時, 系統(tǒng)(1)的分岔圖與復雜度如圖6所示.由圖6(A)可見: 系統(tǒng)通過鞍結點分岔由周期狀態(tài)進入混沌狀態(tài)； 當b∈(3.5,4]時, 系統(tǒng)(1)處于周期狀態(tài), 該區(qū)間對應系統(tǒng)SE復雜度約為0.1, C0復雜度約為0.02, 復雜度數(shù)值相對較??； 當b∈(0,3.5]時, 系統(tǒng)處于混沌狀態(tài), 系統(tǒng)的SE復雜度約為0.6～0.7, C0復雜度約為0.3～0.4, 系統(tǒng)復雜度度數(shù)值相對較大. 參數(shù)b變化時系統(tǒng)(1)的相圖如圖7所示.由圖7可見, 當b分別為4和4.5時, 系統(tǒng)(1)分別為二周期和一周期.

圖6 參數(shù)b變化時系統(tǒng)(1)的分岔圖(A)與復雜度(B)Fig.6 Bifurcation diagram (A) and complexity (B) of system (1) when parameter b changes

圖7 參數(shù)b變化時系統(tǒng)(1)的相圖Fig.7 Phase diagrams of system (1) when parameter b changes

3 雙參數(shù)變化下的復雜度

當參數(shù)a=30,b=2.93,τ=0.02,c∈[5,25]和q∈[0.6,1]時, 系統(tǒng)(1)的復雜度如圖8所示.由圖8可見： 復雜度高(顏色深)的區(qū)域集中于參數(shù)c大且q小的區(qū)域, 若q太小, 則系統(tǒng)處于發(fā)散區(qū)域即空白處； 在復雜度較高的區(qū)域, 系統(tǒng)受階數(shù)q影響較大, 參數(shù)c和a對系統(tǒng)的影響具有相似性, 當c≈20,q≈0.75時, 系統(tǒng)出現(xiàn)最大復雜度, 為系統(tǒng)應用于圖像、 聲音以及視頻等多媒體領域的保密通信提供了重要的參數(shù)選擇依據(jù).

圖8 參數(shù)c和q變化時系統(tǒng)(1)的復雜度Fig.8 Complexity of system (1) when parameter c and q change

綜上, 本文基于ADM, 通過系統(tǒng)的相軌跡圖、 分岔圖和復雜度等數(shù)值仿真工具, 分析了含有非線性時滯項Lü混沌系統(tǒng)的非線性特性, 并在分數(shù)階系統(tǒng)中增加了參數(shù)q, 采用MATLAB軟件對參數(shù)q進行仿真. 結果表明, 在一定范圍內(nèi), 系統(tǒng)的復雜度隨分數(shù)階的增大而減小, 分數(shù)階系統(tǒng)出現(xiàn)混沌現(xiàn)象的概率大于整數(shù)階系統(tǒng).