石金誠, 夏建業(yè)

(1. 廣州華商學院 數(shù)據(jù)科學學院, 廣州511300； 2. 廣東金融學院 數(shù)學與統(tǒng)計學院, 廣州 510521)

0 引 言

非線性偏微分方程系統(tǒng)解的收斂性或連續(xù)依賴性問題通常稱為結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性. 在建模或測量過程中不可避免的存在誤差, 結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的研究可為后續(xù)數(shù)值模擬提供理論基礎(chǔ). Ames等[1]系統(tǒng)地介紹了方程結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的本質(zhì); 文獻[2-12]研究了區(qū)域中單一流體的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性, 但在實際應用中, 同一區(qū)域可能存在相互作用的多種流體, 因此有必要將結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性的研究推廣到同一區(qū)域中多個流體方程組的情形； Payne等[13]研究了多孔介質(zhì)中相互作用兩個流體方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性, 建立了Brinkman方程組與Darcy方程組的解對界面邊界系數(shù)的連續(xù)依賴性; Liu等[14-15]在此基礎(chǔ)上得到了一些新結(jié)果. 受上述研究工作的啟發(fā), 本文繼續(xù)討論該類方程組的結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性.

令平面z=x3=0的適當部分L表示在3中的有界區(qū)域Ω1和有界區(qū)域Ω2的公共界面,Ω1和Ω2邊界的其余部分分別用Γ1和Γ2表示, 因此?Ω1=Γ1∪L, ?Ω2=Γ2∪L.

考慮下列初邊值問題[16], 在Ω1×[0,τ]中討論Brinkman流體方程組:

(1)

其中:ui,p,T分別表示速度、 壓強和溫度;Q(x),gi(x)和hi(x)為重力函數(shù);λ為Forchheimer系數(shù)且λ>0; 假設(shè)gi,hi滿足|h|,|g|≤M,|h|,|g|≤M,M是大于零的常數(shù); Δ為Laplace算子;k為熱擴散系數(shù)且k>0;Ω1是3中的一個有界單連通的強星形區(qū)域;τ是一個給定的常數(shù)且0≤τ<∞.在Ω2×[0,τ]中討論Darcy流體方程組:

(2)

其中vi,q,S分別表示速度、 壓強和溫度,QS(x)為重力函數(shù),kS為熱擴散系數(shù)且kS>0,Ω2是3中一個有界單連通的強星形區(qū)域.邊界條件為

(3)

(4)

其中fi(x),T0(x)均為已知函數(shù).最后, 假設(shè)在界面上L×{t>0}滿足條件:

(5)

其中β=1,2.

本文主要討論方程組(1)～(5)的解對邊界系數(shù)α的連續(xù)依賴性.與文獻[14-15]的不同之處是此時溫度滿足反應邊界條件, 在該邊界條件下無法得到溫度的最大值估計, 而原來的結(jié)果是建立在溫度最大值估計的基礎(chǔ)上.本文利用溫度的四階范數(shù)估計并巧妙結(jié)合Sobolev不等式得到所需的估計. 同時由于Darcy方程組不含Δvi項, 從而加大了處理速度梯度估計的難度.

1 先驗界

引理1對于定義在強星形有界區(qū)域Ω上的可微函數(shù)H, 有如下邊界估計：

(6)

其中m0,d0為大于零的常數(shù),ε1為大于零的任意常數(shù).

證明： 對于定義在強星形有界區(qū)域Ω上的可微函數(shù)H, 利用散度定理可得

(7)

(8)

由Schwarz不等式可得式(6).

引理2對于溫度T和S, 有如下估計：

(9)

其中

k1為大于零的常數(shù).

證明： 將方程組(1)中第三個不等式兩邊乘以2T, 并在Ω1×[0,t](t∈[0,τ])上積分, 可得

(10)

對于式(10)左邊第一項, 由散度定理及式(3)和式(4), 可得

(11)

對于式(10)左邊第二項, 由散度定理及式(3)和式(5), 可得

對于式(10)右邊第一項, 由散度定理及式(3)和式(5), 可得

對于式(13), 由式(6)可得

同理, 將方程組(2)中第三個等式兩邊乘以2S, 并在Ω2×[0,t](t∈[0,τ])上積分, 可得

令

則

對式(18)從0到t積分, 可得

(19)

聯(lián)合式(18)和式(19)可得式(9).

引理3對于溫度T和S, 有如下四階范數(shù)估計：

(20)

其中

k2為大于零的常數(shù).

證明： 將方程組(1)中第三個等式兩邊乘以4T3, 并在Ω1×[0,t](t∈[0,τ])上積分, 可得

(21)

仿照引理2證明中式(10)～(15)的推導過程, 可得

同理, 對于S有如下估計:

(24)

其中

求解不等式(24), 可得

(25)

聯(lián)合式(24)和式(25)可得式(20).

引理4對于任意連續(xù)可微的函數(shù)ψi, 有如下估計：

(26)

(27)

證明： 顯然有

(28)

對于有界區(qū)域Ω, 有如下不等式成立:

(29)

其中:k0為大于零的常數(shù), 且與Ω邊界的Gauss曲率有關(guān)[17];ε3是大于零的任意常數(shù).聯(lián)合式(28)～(30), 可得

(31)

引理5對于速度vi, 有如下估計：

(32)

其中k4為大于零的常數(shù).

證明： 將方程組(2)中第一個等式兩邊先對xj求偏導, 再乘以vi,j-vj,i, 最后在Ω2上積分, 可得

在推導式(33)時, 用到下列等式:

由于

所以式(33)可變?yōu)?/p>

(34)

在式(26)中當ψi=vi,Ω=Ω2時, 可得

(35)

引理6對于速度ui和vi, 有如下估計：

(36)

證明： 將方程組(1)的第一個等式兩邊乘以2ui, 并在Ω1上積分, 可得

(37)

對于式(37)右邊第一項, 由散度定理及式(3)和式(5), 可得

對于式(37)右邊第二項, 由散度定理及式(3)和式(5), 可得

聯(lián)合式(37)～(39), 可得

將方程組(2)中第一個等式兩邊乘以2vi, 并在Ω2上積分, 可得

(41)

聯(lián)合式(40)和式(41), 由H?lder不等式和算術(shù)幾何平均不等式, 可得

求解式(42), 并由式(9)和式(20), 可得

(43)

其中

將式(43)代入式(42), 并對其從0到t積分可得式(36).

2 連續(xù)依賴性

(44)

(45)

邊界條件為

(46)

初始條件為

(47)

在界面L上滿足條件:

(48)

(49)

(50)

其中γ,k13為大于零的常數(shù).

證明： 將方程組(44)中第一個等式兩邊乘以2ωi, 并在Ω1上積分, 可得

(51)

對于式(51)右邊第一項, 由散度定理及式(46)和式(48), 可得

對于式(51)右邊第二項, 由散度定理及式(46)和式(48), 可得

聯(lián)合式(51)～(53), 可得

將方程組(45)中第一個等式代入式(54), 可得

利用文獻[18]中式(B.17), 可得

(56)

其中N為大于零的常數(shù).聯(lián)合式(20),(27),(55),(56), 可得

將方程組(44)中第三個等式兩邊乘以2θ, 并在Ω1上積分, 可得

對于式(58)右邊第一項, 由散度定理及式(46)和式(48), 可得

(59)

(60)

(61)

對于式(58)右邊第二項, 由散度定理及式(46)和式(48), 可得

(62)

對于式(58)右邊第三項, 由散度定理及式(46)和式(48), 可得

聯(lián)合式(58),(61)～(63), 可得

同理可得

聯(lián)合式(20)和式(66), 由Schwarz不等式, 可得

(68)

利用文獻[18]中式(B.17), 可得

(69)

(70)

其中

聯(lián)合式(57)和式(71), 可得

其中γ為大于零的常數(shù), 且

求解式(72), 并由式(36)可得式(49).將式(49)代入式(72)可得式(50).