錢 江, 劉雯星

(河海大學(xué) 理學(xué)院,江蘇 南京 211100)

為了得到更為直觀的基函數(shù)表達(dá)式,本文擬構(gòu)造一組樣條正交基,并將其與數(shù)值積分結(jié)合,應(yīng)用于最佳平方逼近問題。

1 有限閉區(qū)間上的一元三次B樣條基函數(shù)

B樣條有不同的定義方式,常見的有de Boor遞推算法、差分定義和光滑余因子方法。采用de Boor遞推算法確定三次B樣條函數(shù),需要多次遞推計(jì)算樣條基函數(shù),計(jì)算量大。而利用光滑余因子協(xié)調(diào)法,不論是重節(jié)點(diǎn)還是均勻節(jié)點(diǎn),只需求解線性方程組即可。

為了更好地將樣條應(yīng)用于最佳平方逼近,本文考慮使用由光滑余因子方法得到的B樣條函數(shù)。

引理1.1設(shè){x0,x1,…,xn}是步長(zhǎng)為h的均勻節(jié)點(diǎn)，則在區(qū)間Ii=[xi,xi+1],i=0,1,…,n-1上存在唯一一組一元三次B樣條基函數(shù)

(1)

由光滑余因子協(xié)調(diào)法[1]可直接計(jì)算得到(1)式。

上述定理給出了在均勻節(jié)點(diǎn)上的三次B樣條基函數(shù)，下面給出區(qū)間端點(diǎn)處帶重節(jié)點(diǎn)的B樣條基函數(shù)。

引理1.2設(shè)節(jié)點(diǎn)為x-3=x-2=x-1=x0

(4)

其中，對(duì)于左端點(diǎn)帶有二重節(jié)點(diǎn)、三重節(jié)點(diǎn)、四重節(jié)點(diǎn)的情況， 其協(xié)調(diào)方程分別設(shè)為

類似地，區(qū)間右端點(diǎn)帶重節(jié)點(diǎn)的三次B樣條基函數(shù)表達(dá)式如下。

引理1.3設(shè)節(jié)點(diǎn)為xn-6

(5)

(6)

(7)

(8)

有了上述公式，任意一元三次B樣條基函數(shù)的內(nèi)積運(yùn)算便快捷了許多。

2 基于三次B樣條基函數(shù)的正交樣條基

p(x)=c0s0(x)+c1s1(x)+c2s2(x)+c3s3(x),

則

(9)

化簡(jiǎn)后得

(10)

由引理1.4即可簡(jiǎn)便算出(sm,sn)，m,n=0,1,2,3。

設(shè){x0,x1,…,xn}是步長(zhǎng)為h的均勻節(jié)點(diǎn)，對(duì)區(qū)間[xi,xi+1]，i=0,1,…,n-1上的基函數(shù)s0(x),s1(x),s2(x),s3(x)作Schmidt正交化，得到P3上一組正交基β0,β1,β2,β3。

(11)

由于

所以有

(12)

這里

(13)

(14)

(15)

此時(shí)

(16)

(17)

(18)

此時(shí)

圖1 [0,1]上基函數(shù)β0,β1,β2,β3的圖像

圖3 [0,1]上基函數(shù)的圖像

圖4 [0,1]上基函數(shù)的圖像

圖5 [0,1]上基函數(shù)的圖像Fig.5 Graph of the basis function on [0,1]

3 正交樣條的最佳平方逼近

3.1 基于梯形公式的最佳平方逼近樣條函數(shù)

定理3.1設(shè){x0,x1,…,xn}是一組均勻節(jié)點(diǎn)，步長(zhǎng)為h，β0,β1,β2,β3是P3中一組正交基，則?f(x)∈C[xi,xi+1]，i=0,…,n-1,存在f(x)基于梯形公式的最佳平方逼近函數(shù)

其中

(19)

證明:對(duì)(βk,f)，k=0,1,2,3使用梯形公式，于是

從而得到f(x)基于梯形公式的最佳平方逼近函數(shù)。證畢。

定理3.1給出了均勻剖分下基于梯形公式的最佳平方逼近樣條函數(shù)。同樣地，當(dāng)區(qū)間左右端點(diǎn)處分別有重節(jié)點(diǎn)時(shí)，最佳平方逼近函數(shù)的具體表達(dá)式也可快速求出。

(20)

(21)

(22)

(23)

(24)

(25)

3.2 基于辛普森公式的最佳平方逼近樣條函數(shù)

辛普森公式較梯形公式而言有著更高的代數(shù)精度。本節(jié)使用辛普森公式做近似求解。

定理3.4設(shè){x0,x1,…,xn}是一組均勻節(jié)點(diǎn)，步長(zhǎng)為h，β0,β1,β2,β3是P3中一組正交基，則?f(x)∈C[xi,xi+1]，i=0,…,n-1,存在f(x)基于辛普森公式的最佳平方逼近樣條函數(shù)

(26)

證明:對(duì)(βk,f)，k=0,1,2,3使用辛普森公式，于是有

從而得到f(x)基于辛普森公式的最佳平方逼近樣條函數(shù)。證畢。

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

4 數(shù)值算例

圖6 均勻節(jié)點(diǎn)上的逼近曲線圖象Fig.6 An approximation curve image on a uniform node

為方便書寫,下文將基于梯形公式的最佳平方逼近和基于辛普森公式的最佳平方逼近分別記為S1,S2。

表1～表4分別求解了四個(gè)不同函數(shù)基于梯形公式和基于辛普森公式的最佳平方逼近, 并將所求結(jié)果與梯形公式和辛普森公式作比較, 可以看出兩類最佳平方逼近均具有良好的逼近效果。

表

表

表

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5 結(jié)語(yǔ)

本文給出了由光滑余因子協(xié)調(diào)法得到的一元三次B樣條基函數(shù)，從該函數(shù)出發(fā)構(gòu)造了一組新的樣條正交基。將該正交基用于求解最佳平方逼近問題，得到了基于梯形公式和基于辛普森公式的最佳平方逼近函數(shù)。該結(jié)論以非參數(shù)形式呈現(xiàn),表達(dá)式簡(jiǎn)單且便于計(jì)算,可直接用于函數(shù)逼近計(jì)算的相關(guān)工作.實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表明，該最佳平方逼近函數(shù)具有良好的逼近效果。

另外，文章只考慮了一元的情形且未給出具體的逼近誤差表達(dá)式，后續(xù)將考慮能否求解出具體的誤差表達(dá)式， 同時(shí)進(jìn)一步把文中結(jié)論推廣到二元，構(gòu)造二元張量積型正交樣條函數(shù)，最佳平方逼近的二元樣條函數(shù)以及計(jì)算其逼近誤差等。