亚洲免费av电影一区二区三区,日韩爱爱视频,51精品视频一区二区三区,91视频爱爱,日韩欧美在线播放视频,中文字幕少妇AV,亚洲电影中文字幕,久久久久亚洲av成人网址,久久综合视频网站,国产在线不卡免费播放

        ?

        從數(shù)系擴(kuò)充認(rèn)知指數(shù)函數(shù)的概念

        2022-05-29 07:55:34孫德榮高全祖
        昌吉學(xué)院學(xué)報(bào) 2022年2期
        關(guān)鍵詞:性質(zhì)定義教材

        孫德榮 高全祖 劉 雪

        (1.昌吉學(xué)院數(shù)學(xué)與數(shù)據(jù)科學(xué)學(xué)院 新疆 昌吉 831100;2.昌吉州第一中學(xué) 新疆 昌吉 831100)

        函數(shù)是大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)數(shù)學(xué)分析課程的研究對(duì)象,基本初等函數(shù)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)又是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容,指數(shù)函數(shù)作為高中生學(xué)習(xí)函數(shù)的開始,對(duì)后續(xù)函數(shù)的學(xué)習(xí)起著基礎(chǔ)性的作用,它是將冪指數(shù)從整數(shù)范圍擴(kuò)充到實(shí)數(shù)范圍之后,建立的第一個(gè)重要的基本初等函數(shù)。我國(guó)現(xiàn)行的中學(xué)數(shù)學(xué)教材一般是從數(shù)系的擴(kuò)張出發(fā)來(lái)構(gòu)建數(shù)學(xué)運(yùn)算的,學(xué)生對(duì)指數(shù)函數(shù)的認(rèn)知也是從正整數(shù)集到實(shí)數(shù)集內(nèi)的冪指數(shù)運(yùn)算開始的。數(shù)學(xué)師范生在完成數(shù)學(xué)學(xué)科專業(yè)課學(xué)習(xí)之后,已經(jīng)具備了足夠的學(xué)科知識(shí),可以從數(shù)系擴(kuò)張的角度來(lái)重新認(rèn)識(shí)與完善指數(shù)函數(shù)的相關(guān)知識(shí)體系,以提高自身的專業(yè)與學(xué)科核心素養(yǎng),更好的指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)。[1]

        1 有理數(shù)域內(nèi)冪指數(shù)運(yùn)算的建立與完善

        對(duì)指數(shù)函數(shù)的認(rèn)識(shí)關(guān)鍵在于對(duì)冪指數(shù)概念的構(gòu)建與運(yùn)算性質(zhì)的理解,隨著學(xué)生對(duì)自然數(shù)、整數(shù)、有理數(shù)、實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)等相關(guān)數(shù)系知識(shí)的逐步認(rèn)識(shí),在不同的學(xué)習(xí)階段對(duì)冪指數(shù)的概念與性質(zhì)也逐步得到完善,最后形成了較為完整的指數(shù)函數(shù)概念。

        這里全體非負(fù)整數(shù)的集合稱自然數(shù)集,用字母“N”來(lái)表示,包含正整數(shù)和零;N+表示正整數(shù)集;Z表示整數(shù)集;Q表示有理數(shù)集;R表示實(shí)數(shù)集;C表示復(fù)數(shù)集。

        1.1 整數(shù)集內(nèi)冪指數(shù)概念的建立

        中學(xué)數(shù)學(xué)教材[2]由幾何意義出發(fā),從一個(gè)數(shù)的平方、立方,引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)了一個(gè)數(shù)的n次方的整數(shù)冪的概念與性質(zhì)。即

        一個(gè)數(shù)a與它自身的乘積叫做這個(gè)數(shù)的平方(或二次方),記作a×a=a2,例如,在幾何中,邊長(zhǎng)為a的正方形的面積為S=a×a=a2。

        三個(gè)相同的數(shù)a的乘積叫做這個(gè)數(shù)的立方(或三次方),記作a×a×a=a3,例如,在幾何中,棱長(zhǎng)為a的立方體的體積為V=a×a×a=a3。

        n個(gè)相同的數(shù)a的乘積叫做a的n次方,記作a×a×…×a=an。an也稱為a的n次冪,其中a叫做底數(shù),n叫做冪指數(shù),這里n∈N+。

        利用冪的概念以及乘法與除法的意義,容易推導(dǎo)出正整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則:

        法則1:am·an=am+n(m,n∈N+);法則2:法則3:(am)n=amn;

        法則4:(a·b)n=an·bn;法則5:a0=1(a≠ 0)。

        在整數(shù)范圍內(nèi),初中生學(xué)習(xí)乘法的意義之后,又有了相應(yīng)的負(fù)整數(shù)冪和零指數(shù)冪的規(guī)定,冪的運(yùn)算性質(zhì)的邏輯推理也就完善了。中學(xué)數(shù)學(xué)教材通過(guò)以上方式給學(xué)生建立了整數(shù)冪的嚴(yán)密邏輯體系。

        1.2 冪指數(shù)運(yùn)算在有理數(shù)域內(nèi)延拓

        現(xiàn)行人教版普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書[3]在引入了根式運(yùn)算之后,就將冪指數(shù)概念擴(kuò)展到了有理數(shù)域范圍內(nèi)。

        首先教材[4]給出根式的意義:一般地,如果xn=a,那么x叫做a的n次方根,其中n>1,并且n∈N+。當(dāng)n是奇數(shù)時(shí),正數(shù)的n次方根是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù),表示為。當(dāng)n是偶數(shù)時(shí),xn=a是一個(gè)正數(shù),正數(shù)a的n次方根有兩個(gè),這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù),表示為。其中,式子叫做根式,n叫做根指數(shù),a叫做被開方數(shù)。

        其次教材[5]從幾個(gè)特殊的實(shí)例出發(fā),如:探究歸納分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算規(guī)律,給出如下定義:

        另外,1)對(duì)負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪給出了與負(fù)整數(shù)指數(shù)冪相仿意義的規(guī)定:

        2)規(guī)定0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪為0,0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義。

        以上規(guī)定將整數(shù)指數(shù)冪的概念推廣到了有理數(shù)域。

        最后教材[6]給出結(jié)論:整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用,即

        (1)aras=ar+s(a> 0,r,s∈Q);

        (2)(ar)s=ars(a> 0,r,s∈Q);

        (3)(ab)r=arbr(a>0,b>0,r∈Q).

        存在的問(wèn)題是教材并未對(duì)定義的合理性(當(dāng)m不能被n整除時(shí))與運(yùn)算性質(zhì)的正確性給予說(shuō)明或證明(教材的編寫缺乏邏輯嚴(yán)密),如果教師在教學(xué)中也如同教材一樣一帶而過(guò),那就會(huì)造成學(xué)生認(rèn)知結(jié)構(gòu)上的邏輯缺失。按照高中生現(xiàn)有的認(rèn)知水平,運(yùn)算性質(zhì)(1)—(3)是可以證明的。事實(shí)上,對(duì)運(yùn)算性質(zhì)的證明,也就是對(duì)定義合理性的有力佐證。

        為了證明有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì),要補(bǔ)充證明以下三個(gè)性質(zhì):

        性質(zhì)(10)—(30)也并不是顯然的,證明如下:

        證明 設(shè)a>0,b>0,?m,n∈N+,n>1.

        根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義以及性質(zhì)(10)—(30),對(duì)性質(zhì)(1)—(3)的證明如下:

        從以上推理可以看到,有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)并不是顯然的。在學(xué)生已有的認(rèn)知水平上,通過(guò)推理證明自然得到分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的性質(zhì),既說(shuō)明了定義的合理性又完善了知識(shí)結(jié)構(gòu)的邏輯嚴(yán)密性。這樣,冪指數(shù)運(yùn)算在有理數(shù)域內(nèi)的延拓就沒有什么遺憾了。

        2 實(shí)數(shù)域內(nèi)指數(shù)函數(shù)概念的建立與完善

        對(duì)于a>0(a∈R)來(lái)說(shuō),任意一個(gè)有理數(shù)x都滿足一個(gè)與它對(duì)應(yīng)的有理指數(shù)冪ax>0,這樣就能夠把整數(shù)指數(shù)運(yùn)算擴(kuò)展到有理指數(shù)冪的運(yùn)算。我國(guó)現(xiàn)行的高中數(shù)學(xué)教材中[7]直接給出了實(shí)數(shù)域內(nèi)指數(shù)函數(shù)的概念:一般如y=ax(a>0,且a≠1)的函數(shù)叫做指數(shù)函數(shù),函數(shù)的定義域是R。這里如果x為有理數(shù),那么學(xué)生根據(jù)有理數(shù)冪指數(shù)的運(yùn)算知道函數(shù)值ax的意義,但是當(dāng)x為無(wú)理數(shù)時(shí),ax的意義為何?之前學(xué)生并沒有認(rèn)識(shí),高中教材采取了以一個(gè)特例的實(shí)驗(yàn)觀察法告訴學(xué)生,對(duì)任意一個(gè)無(wú)理數(shù)x,ax都唯一對(duì)應(yīng)一個(gè)實(shí)數(shù),這是高中數(shù)學(xué)在實(shí)數(shù)域內(nèi)介紹指數(shù)函數(shù)的邏輯不嚴(yán)密所在。

        大學(xué)數(shù)學(xué)在建立了實(shí)數(shù)極限理論的相關(guān)知識(shí)和概念之后,就可以完善指數(shù)函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)的定義。首先大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的數(shù)學(xué)分析課程中,通過(guò)級(jí)數(shù)理論可以建立有理數(shù)與無(wú)理數(shù)之間的運(yùn)算。

        由上述命題可知,如果a0.a1a2…an…是一個(gè)無(wú)理數(shù)(無(wú)限不循環(huán)小數(shù)),并且Sn=a0.a1a2…an,那么,即:任意無(wú)理數(shù)都是一個(gè)有理數(shù)列的極限。

        大學(xué)數(shù)學(xué)分析教材,在介紹了實(shí)數(shù)理論的相關(guān)理論之后,給出了確界的概念與確界存在唯一性定理。

        定義1[8](上確界) 設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集,η是一個(gè)實(shí)數(shù),若滿足

        ①對(duì)任意x∈S,有x≤η,即η是S的上界;

        ②對(duì)任意a<η,存在x0∈S,使得x0>a,則稱數(shù)η是數(shù)集S的上確界,記為η=supS。

        定義2[9](下確界) 設(shè)S是R中的一個(gè)數(shù)集,若ξ是一個(gè)實(shí)數(shù),滿足

        ①對(duì)任意x∈S,有x≥ξ,即ξ是S的下界;

        ②對(duì)任意β>ξ,存在x0∈S,使得x0<β,則稱數(shù)ξ是數(shù)集S的下確界,記為ξ=infS。

        從定義1與定義2可知,S上確界η=supS是S的最小上界,S下確界ξ=infS是S的最大下界。

        定理[10](確界唯一性) 設(shè)S?R是非空數(shù)集.若S有上界,則S必有上確界;若S有下界,則S必有下確界。

        有了以上實(shí)數(shù)的極限理論基礎(chǔ),就可以建立以下實(shí)數(shù)域內(nèi)指數(shù)函數(shù)的精確定義:

        定義3[11]給定實(shí)數(shù)a>0,a≠1設(shè)x為無(wú)理數(shù),我們規(guī)定

        對(duì)任一無(wú)理數(shù)x,必有有理數(shù)r0,使x<r0,則當(dāng)有理數(shù)r<x時(shí),有r<r0。由有理數(shù)乘冪的性質(zhì)知:當(dāng)a>1時(shí),有ar<ar0。這表明非空數(shù)集{ar|r<x,r為有理數(shù)} 有一個(gè)上界ar0。根據(jù)確界原理,該數(shù)集有上確界,所以(2.1)式右邊是一個(gè)確定的定數(shù)。同理,當(dāng)0<a<1時(shí),(2.2)式右邊也是一個(gè)定數(shù)。

        如果把(2.1)、(2.2)兩式中的“r<x”改為“r≤x”,那么,無(wú)論r是無(wú)理數(shù)或是有理數(shù),ax都可以用上述確界形式來(lái)統(tǒng)一表示。

        綜上所述,規(guī)定:當(dāng)a>0且a≠1時(shí),指數(shù)函數(shù)y=ax定義域?yàn)镽。這樣,指數(shù)函數(shù)的概念在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)才得以完善。實(shí)數(shù)域內(nèi)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)也可以由極限運(yùn)算法則得到,這里不再贅述。

        3 指數(shù)函數(shù)在復(fù)數(shù)域內(nèi)的延拓

        現(xiàn)行的人教版高中數(shù)學(xué)教材[13]給出了復(fù)數(shù)概念與幾何意義,并初步討論了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算,首先利用直角坐標(biāo)與極坐標(biāo)的關(guān)系,將非零復(fù)數(shù)z=x+iy表示為三角形式:

        這里當(dāng)r=1時(shí),z=cosθ+isinθ,按照教材的闡述,如果利用歐拉公式

        這樣就得到了復(fù)數(shù)的指數(shù)形式:z=reiθ。教材存在的邏輯問(wèn)題是:歐拉公式從何而來(lái)?

        大學(xué)數(shù)學(xué)專業(yè)的課程體系中,通過(guò)數(shù)學(xué)分析與復(fù)變函數(shù)課程所建立的級(jí)數(shù)理論,為在復(fù)數(shù)域內(nèi)推廣指數(shù)函數(shù)奠定了基礎(chǔ)。1715年英格蘭數(shù)學(xué)家B.Taylor(1685-1731)提出了函數(shù)的冪級(jí)數(shù)表示公式[14],其中指數(shù)函數(shù)ex(x∈R)的函數(shù)值可以由下面的冪級(jí)數(shù)得到,即:

        由(3.1)來(lái)定義

        顯然f(1)=e,由冪級(jí)數(shù)的性質(zhì)和運(yùn)算法則可以證明f(z)是連續(xù)的,并且f(z1+z2)=f(z1)f(z2),當(dāng)z=x∈R時(shí),f(z)=ex,所以記f(z)=ez,因此,指數(shù)函數(shù)就在復(fù)數(shù)域內(nèi)得到了推廣,即

        利用(3.3)可以證明著名的歐拉公式:eiθ=cosθ+isinθ。這樣,中學(xué)教材中的復(fù)數(shù)指數(shù)表示才得以邏輯完整。

        對(duì)于復(fù)指數(shù)函數(shù)ez,具有如下的性質(zhì):

        (1)對(duì)于實(shí)數(shù)z=x(y=0)來(lái)說(shuō),定義與實(shí)指數(shù)函數(shù)的定義是一致的。

        (2)ez|=ez>0,argee=y;在z平面上ez≠0。

        (4)對(duì)任意整數(shù)k,有ez·e2kπi=ez,因f(z+2kπi)=f(z),所以ez是以2πi為基本周期的周期函數(shù)。

        以上只是給出了復(fù)數(shù)域內(nèi)一個(gè)常用的指數(shù)函數(shù)ez的定義,大學(xué)復(fù)變函數(shù)[15]給出了一般指數(shù)函數(shù)定義ω=az=ezlna(a≠0,∞,a∈C)。它是無(wú)窮多個(gè)獨(dú)立的單值解析函數(shù),詳情這里不再贅述。

        4 結(jié)論

        深入分析中學(xué)數(shù)學(xué)教材的知識(shí)體系,對(duì)教材邏輯缺失部分進(jìn)行補(bǔ)充與完善,為師范生構(gòu)建一個(gè)較為嚴(yán)密的數(shù)學(xué)認(rèn)知邏輯結(jié)構(gòu),對(duì)提高中學(xué)數(shù)學(xué)教師專業(yè)素養(yǎng),培養(yǎng)合格的中學(xué)數(shù)學(xué)教師具有深遠(yuǎn)意義。數(shù)學(xué)師范生正處在數(shù)學(xué)知識(shí)體系構(gòu)建與完善過(guò)程中,在數(shù)學(xué)學(xué)科相關(guān)課程學(xué)習(xí)完成后,有必要對(duì)初等數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行再建與重構(gòu),這對(duì)指導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)有深遠(yuǎn)意義。

        猜你喜歡
        性質(zhì)定義教材
        教材精讀
        教材精讀
        隨機(jī)變量的分布列性質(zhì)的應(yīng)用
        教材精讀
        教材精讀
        完全平方數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用
        九點(diǎn)圓的性質(zhì)和應(yīng)用
        厲害了,我的性質(zhì)
        成功的定義
        山東青年(2016年1期)2016-02-28 14:25:25
        修辭學(xué)的重大定義
        杨幂AV污网站在线一区二区| 蜜桃精品人妻一区二区三区| 亚洲av无码国产精品色午夜字幕 | 国产三区三区三区看三区| 日韩亚洲欧美久久久www综合| 亚洲日本在线电影| 国产尤物av尤物在线观看| 中文幕无线码中文字蜜桃| 激,情四虎欧美视频图片| 日本午夜艺术一区二区| a级毛片免费观看在线播放| 亚洲中文字幕无码久久2020| 日本岛国精品中文字幕| 大陆成人精品自拍视频在线观看 | 国产精品一区二区资源| 国产av在线观看91| 精品国产av一区二区三区四区 | 久久99精品久久久久久琪琪| 真实国产老熟女粗口对白| 亚洲国产香蕉视频欧美| 日本在线一区二区免费| 在线观看亚洲av每日更新影片| 东北老女人高潮大喊舒服死了| 国产成人精品电影在线观看18 | 国产成人精品综合在线观看| 日韩免费一区二区三区在线 | 狠狠躁夜夜躁人人爽天天古典| 乱码一二区在线亚洲| 日本高清中文字幕二区在线| 中国一级黄色片久久久| 特级av毛片免费观看| 国产精品久久久久久久专区| 中文字幕日韩精品永久在线| 3d动漫精品啪啪一区二区免费| 中国精品久久精品三级| 国产一区二区av男人| 友田真希中文字幕亚洲| 婷婷午夜天| 无码av永久免费大全| 国产成人精品人人做人人爽97| 亚洲日韩国产一区二区三区在线|