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        復(fù)空間中若干域之間的雙全純等價(jià)

        2022-05-26 13:24:08程曉亮馬會(huì)波
        關(guān)鍵詞:雙全自同構(gòu)等價(jià)

        程曉亮,馬會(huì)波

        (吉林師范大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,吉林 四平 136000)

        0 引言

        記C為復(fù)數(shù)集,Cn={(z1,…,zn)|zi∈C,j=1,2,…,n}為n維復(fù)歐氏空間.Cn中的連通開(kāi)集Ω稱為域,當(dāng)Ω有界時(shí),稱Ω為有界域.Cn中常見(jiàn)的域[1]有單位球

        單位多圓柱

        Un={z∈Cn||zj|<1,j=1,2,…,n},

        以及Siegel上半空間

        Hn={(z,ω)∈Cn-1×C|Im(ω)>|z|2}.

        當(dāng)n=1時(shí),B1=U1為單位圓盤(pán),H1為上半平面.

        20世紀(jì)初,多復(fù)變作為一個(gè)獨(dú)立的數(shù)學(xué)分支得到了研究與發(fā)展.其中,區(qū)分Cn中的兩個(gè)域是否雙全純等價(jià)的問(wèn)題成為數(shù)學(xué)家們研究的一個(gè)熱點(diǎn)課題.單復(fù)變中Riemann映射定理指出,除去整個(gè)復(fù)平面,任何單連通域和單位圓盤(pán)雙全純等價(jià).多復(fù)變中域的分類(lèi)就復(fù)雜得多,J.H.Poincaré發(fā)現(xiàn)盡管單位球與多圓柱同是單連通域,卻彼此不雙全純等價(jià).更一般地,D.Burns和R.E.Greene等[2-3]證明了一般情況下兩個(gè)具有光滑邊界的強(qiáng)擬凸域也不是雙全純等價(jià)的.因此,需要一些幾何不變量來(lái)區(qū)分一些域是否雙全純等價(jià).C.Fefferman等[4-6]證明了一些具有光滑邊界的域的全純自同構(gòu)可以光滑地延拓到邊界外,因此這使得利用J.H.Poincaré的原始方法在域的邊界上找一些幾何不變量來(lái)區(qū)分域有了可能.S.S.Chern[7]在這個(gè)方向做了大量的工作.

        受J.H.Poincaré思想所啟發(fā),另一種研究域之間雙全純等價(jià)的方法是研究域的自同構(gòu)群.1977年,B.Wong[8]證明了Cn中具有非緊自同構(gòu)群的有界強(qiáng)偽凸域與單位球雙全純等價(jià).1989年,E.Bedford和S.I.Pinchuk[9]證明了C2中具有非緊自同構(gòu)群且有實(shí)解析邊界的有界偽凸域與

        雙全純等價(jià).1999年,A.V.Isaev和S.G.Krantz[10]證明了具有C2光滑邊界的有界齊性域與單位球雙全純等價(jià).

        受到文獻(xiàn)[1]的啟發(fā),本文證明了單位球Bn與一類(lèi)乘積域Bn×Un不雙全純等價(jià).

        1 域之間雙全純等價(jià)的相關(guān)概念

        定義1[1]設(shè)Ω是Cn中的域,H(Ω)是Ω上的全體全純函數(shù)集,若f1,f2,…,fm∈H(Ω),則稱F=(f1,f2,…,fm):Ω→Cm是全純映射.

        定義2[1]設(shè)Ω是Cn中的域,f:Ω→Cn是全純映射.若f存在全純的逆映射g=f-1,則稱f是雙全純映射.

        定義3[11]設(shè)Ω1和Ω2是Cn中的兩個(gè)域,若存在一個(gè)雙全純映射把Ω1映為Ω2,則稱Ω1和Ω2是雙全純等價(jià)的.

        定義4[11]設(shè)Ω是Cn中的域,如果F是把Ω映為自身的雙全純映射,則稱F是Ω的自同構(gòu),Ω的自同構(gòu)的全體記為Aut(Ω),在映射的復(fù)合運(yùn)算下構(gòu)成一個(gè)群,稱為Ω的自同構(gòu)群.

        下面研究單復(fù)變中域之間的雙全純等價(jià)問(wèn)題.

        2 單復(fù)變中域之間的雙全純等價(jià)

        單復(fù)變中,單位圓盤(pán)U1是最簡(jiǎn)單、最容易刻畫(huà)的單連通域.Riemann映射定理指出,除去整個(gè)復(fù)平面,任何單連通域與單位圓盤(pán)雙全純等價(jià).

        定理1(Montel定理)[12]設(shè)Ω是復(fù)平面上的開(kāi)子集,則Ω上的全純函數(shù)族Υ是正規(guī)的,即若Υ中的每個(gè)序列都存在子序列在Ω的任意緊子集中一致收斂.

        引理1(Schwarz引理)[12]令f:U→U是全純的,且f(0)=0.那么:

        (ⅰ)對(duì)所有z∈U,|f(z)|≤|z|.

        (ⅱ)如果對(duì)某個(gè)z0≠0,有|f(z0)|=|z0|,那么f是一個(gè)旋轉(zhuǎn).

        (ⅲ)|f′(0)|≤1,且如果等式成立,則f是一個(gè)旋轉(zhuǎn).

        定理2[12]設(shè)Ω是復(fù)平面上(不包含復(fù)平面)的單連通域,若z0∈Ω,那么存在唯一的雙全純映射F:Ω→U1使得

        F(z0)=0,f′(z0)>0.

        證明第一步,先證明Ω與包含原點(diǎn)的單位圓盤(pán)的開(kāi)子集是雙全純等價(jià)的.設(shè)α?Ω,則z-α在單連通域Ω上不等于零.因此,定義全純函數(shù)f(z)=log(z-α),兩邊取指數(shù)得ef(z)=z-α,則f是單射.選擇點(diǎn)ω∈Ω,對(duì)?z∈Ω,有f(z)≠f(ω)+2πi.考慮映射

        因?yàn)閒是單射,所以F也是單射,因此F:Ω→F(Ω)是一個(gè)雙全純映射,且F(Ω)有界,為了獲得從Ω到包含原點(diǎn)的單位圓盤(pán)U1的開(kāi)子集上的雙全純映射,需要重新調(diào)整函數(shù)F.

        第二步,根據(jù)第一步,假設(shè)Ω是U1的開(kāi)子集.考慮Ω上的所有單同態(tài)函數(shù)構(gòu)成的集族Υ,Υ中的映射都是映射到單位圓盤(pán)上,并固定了原點(diǎn),即

        Υ={f:Ω→U1全純,單射,且f(0)=0}.

        Υ包含單位元,所以Υ是非空的.因?yàn)樗械暮瘮?shù)映射到單位圓盤(pán)上,所以Υ一致有界.

        最后將函數(shù)f乘上一個(gè)絕對(duì)值等于1的復(fù)數(shù),使得f′(0)>0,定理證畢.

        從形式上看,多復(fù)變是單復(fù)變的自然推廣,但二者有顯著的區(qū)別,單復(fù)變中的研究方法和結(jié)論,無(wú)法平行且有效地適用于多復(fù)變中.

        3 多復(fù)變中域之間的雙全純等價(jià)

        單復(fù)變中,通過(guò)一個(gè)分式線性映射可得單位圓盤(pán)與上半平面雙全純等價(jià),推廣到高維空間中,單位球與上半空間通過(guò)凱萊變換雙全純等價(jià).

        定理3[13]多復(fù)變中單位球Bn與上半空間Hn雙全純等價(jià).

        證明由凱萊變換

        其中(z,ω)∈Hn,z∈Cn-1,ω∈C.

        ψ在其定義域內(nèi)全純.因?yàn)閨z|2

        4|z|2<|i+ω|2-|i-ω|2,

        所以ψ把Hn映為Bn.

        下證ψ-1將Bn映為Hn.通過(guò)計(jì)算得

        其中(z′,ω′)∈Bn?Cn-1×C,ψ-1在其定義域內(nèi)全純.因?yàn)閨z′|2+|ω′|2<1,通過(guò)計(jì)算可得

        故ψ-1把Bn映為Hn,并且有ψ-1(ψ)=In,因此結(jié)論得證.

        單復(fù)變中,Riemann定理斷言,除去整個(gè)復(fù)平面,單連通域必與單位圓盤(pán)雙全純等價(jià).多復(fù)變中的情況要復(fù)雜得多,即使兩個(gè)最簡(jiǎn)單的域——多圓柱Un與單位球Bn也不是雙全純等價(jià)的.

        定理4[1]多復(fù)變中多圓柱Un與單位球Bn不雙全純等價(jià).

        證明(法1)如果Un和Bn雙全純等價(jià),那么存在雙全純映射F,有F(Bn)=Un,由于Bn是有界圓型可遞域,Un也是圓型域,那么必存在線性映射把Bn映為Un,但線性映射把球映為橢球,不可能是多圓柱.這個(gè)矛盾證明了Un和Bn不是雙全純等價(jià)的.

        任意一個(gè)雙全純映射f:D→G=f(D)建立群的同構(gòu)f*:AutD→AutG,定義為f*:φf(shuō)°φ°f-1,φ∈AutD.因此群AutD和AutG之間的同構(gòu)是域D和G之間雙全純等價(jià)的必要條件[11].若域之間的自同構(gòu)群彼此不同構(gòu),則這兩個(gè)域不雙全純等價(jià).下面利用多圓柱Un與單位球Bn的自同構(gòu)群來(lái)證明彼此不雙全純等價(jià).

        是多圓柱的一個(gè)自同構(gòu)映射[1],其中:b∈Un,θ1,…,θn∈R,置換τ:(1,2,…,n)→(1,2,…,n).由單位球與多圓柱自同構(gòu)映射的顯式形式,可知Aut(Bn)與Aut(Un)不同構(gòu).因此,單位球與多圓柱不雙全純等價(jià).

        單位球Bn與多圓柱Un是復(fù)空間中最常見(jiàn)的域,它們均是單位圓盤(pán)在高維的推廣,下面利用文獻(xiàn)[1]中的方法來(lái)證明單位球Bn與乘積域Bn×Un也不雙全純等價(jià).

        定理5多復(fù)變中單位球Bn與乘積域Bn×Un不雙全純等價(jià).

        證明假設(shè)Bn和Bn×Un雙全純等價(jià),那么存在Bn×Un上的雙全純映射γ,使得γ(Bn×Un)=Bn.由于Bn×Un是有界圓型可遞域,不妨設(shè)γ(0)=0.因?yàn)锽n是歐氏凸域,所以γ是Bn×Un上的凸映射,故

        γ(z)=(ι1(z1),…,ιn(zn))T.

        其中:T是n階非奇異方陣;ιj(zj)(j=1,…,n)是單位圓盤(pán)|zj|<1上的凸映射.考慮

        ζ(1)是Bn上的凸映射,因而ζ(1)°γ是Bn×Un上的凸映射,所以

        t11,…,tn1中至少有一個(gè)不為0,不妨設(shè)t11≠0,上式兩端對(duì)z1求導(dǎo)得

        因?yàn)樽蠖耸莦1的函數(shù),故可得t21=t31=…=tn1=0.

        同理可得t12=t32=…=tn2=0.考慮

        ……

        它們都是Bn上的凸映射,因此可得

        所以

        γ(z)=(t11ι1(z1),…,tnnιn(zn)),

        它不可能把Bn×Un映為Bn.

        4 結(jié)語(yǔ)

        本文綜述了復(fù)空間中若干域之間的雙全純等價(jià),介紹了單位球與多圓柱不雙全純等價(jià)的兩種證明方法.同時(shí)本文將史濟(jì)懷利用多圓柱上凸映射的性質(zhì)來(lái)證明單位球與多圓柱不雙全純等價(jià)的方法推廣到了單位球與乘積域Bn×Un,證明了單位球與乘積域Bn×Un不雙全純等價(jià).

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