摘要：隨著現代心理學向具有確定性證據的腦科學發(fā)展，教育神經科學這門交叉學科逐步形成。在利用“抽象結構”思想分析初中數學“有理數”單元的內容體系及核心育人價值的基礎上，將其置于教育神經科學的視野下，分析其學習心理的腦機制，從而提出相應的教學策略：利用“數系擴充”的大觀念引領單元整體教學，充分利用數軸直觀建立數與形之間的聯系，加強多種形式的邏輯推理。

關鍵詞：有理數;抽象結構;數系擴充;教育神經科學;腦機制

數學源于對現實世界的抽象，通過對數量和數量關系、圖形和圖形關系的抽象，得到數學的研究對象及其關系;基于抽象結構，通過對研究對象的符號運算、形式推理、模型構建等，形成數學的結論和方法，幫助人們認識、理解和表達現實世界的本質、關系和規(guī)律。數學不僅是自然科學的重要基礎，而且在社會科學中發(fā)揮著越來越重要的作用，同時在發(fā)展人的理性思維、科學精神以及智力方面發(fā)揮著不可替代的作用。數學的育人價值主要體現在讓學生“會用數學眼光觀察世界，會用數學思維思考世界，會用數學語言表達世界”中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020：2。。

為了更好地實現這些育人目標，數學課程內容的選擇和教學既要反映數學的學科特征，又要遵循學生學習（認知）的心理規(guī)律。隨著現代心理學向具有確定性證據的腦科學發(fā)展，教育神經科學這門交叉學科逐步形成：綜合運用教育學、神經科學、心理學等學科研究教育的現象，從“分子—基因—突觸—神經元—神經網絡—神經系統(tǒng)—課堂行為”的層面研究教育的規(guī)律。周加仙.教育神經科學視角的知識創(chuàng)造與知識判斷標準[J].教育發(fā)展研究，2018（24）：4853。這對深刻理解學生數學學習（認知）的心理規(guī)律，提升數學教育與腦發(fā)展的契合性，改進數學育人效果，有重要的理論價值與現實意義。

本文聚焦初中數學“數與代數”領域“數與式”主題的基礎內容單元——“有理數”，在利用“抽象結構”思想分析其內容體系及核心育人價值的基礎上，將其置于教育神經科學的視野下，分析其學習心理的腦機制，從而提出相應的教學策略。

一、“有理數”的內容體系及核心育人價值

（一）數系的產生和發(fā)展概述

人類對數的認識隨著生產、生活的外在需要及數學邏輯的內在需要逐步深化，按照從直觀的數量表示到運算再到系統(tǒng)化、公理化的順序發(fā)展，經歷了從直觀到符號抽象再到邏輯優(yōu)化的曲折而漫長的過程。

首先，數的發(fā)展起源于數數、排序、分物和測量等生產、生活實踐活動。人類早期通過數數、排序及其符號表示活動產生了正整數，為了表示“沒有”引入了0，為了表示“平均分物”和“測量的結果”引入了正分數（包括小數）。同時，基于生產、生活的需要進行這些數的運算。

其次，針對數及其運算的邏輯思考是數系擴充和完善的核心機制。位值制是自然數簡約符號表示的基礎性創(chuàng)新。對“加1運算”這一自然數后繼函數的認識，是引入自然數加法運算的基礎。進而，通過抽象產生自然數的乘法以及乘方運算，通過逆運算引入自然數的減法、除法以及開方、對數運算（乘方運算不滿足交換律，所以有兩個逆運算）。對運算律的認識是代數思維形成和發(fā)展的基礎。在此基礎上，基于減法運算封閉性的需要，引入負整數，把數的范圍擴充到整數;基于除法運算封閉性的需要，引入分數，把數的范圍擴充到有理數;基于有理數列極限運算封閉性的需要，引入無理數，再把數的范圍擴充到實數，得到具有完備性的實數域。追求運算的封閉性是數系擴充的內在動力，追求運算及運算律的繼承與一致是數系擴充的內在邏輯。這是人類在長期的數學活動中經歷曲折而漫長的努力后形成的。

在數系擴充的過程中，無理數和負數的發(fā)現與認識過程是特別艱辛、曲折的。古希臘畢達哥拉斯學派的希帕索斯發(fā)現了線段的不可公度性，打破了“萬物皆數（整數或整數比）”的邏輯基礎，引發(fā)了第一次數學危機。李文林.數學史概論[M].北京：高等教育出版社，2002：38。盡管在1世紀中國的《九章算術》中就出現了負數，并且利用“正負術”進行加減運算，解決了一些實際問題，但是負數一直未被西方普遍認可;直到19世紀，西方才系統(tǒng)接受了負數，確立了負數的邏輯地位。菲利克斯·克萊因.高觀點下的初等數學（第一卷）[M].舒湘芹，陳義章，楊欽樑，譯.上海：復旦大學出版社，2008：18。

基于歷史相似性，古人對負數認識的困難也會出現在學生的學習中。因此，當下的數學課程對數系擴充的內容，普遍采用“自然數—（正）分數—有理數……”的邏輯線索安排。并且，在學習了自然數和正分數（包括小數）后，基于相反意義量的表示引入負數，便于學生理解。引入負數，擴大數的范圍后，基于“抽象結構”思想，研究其內涵（與正數的區(qū)別與聯系）、表示、大小比較和運算等，而核心是進行有邏輯的運算——沒有運算，負數就只是一種量的符號表示，不具備數的核心特征;將負數與運算聯系起來，有利于學生掌握負數的實質內容。

（二）“有理數”的內容體系

“有理數”內容展開的過程中蘊含著下列數系擴充活動：

第一，基于現實需要和減法運算封閉性的需要引入負數，擴大數集。

第二，通過分類，研究擴大范圍后新數集中的數與原數集中數的差異：原數集中的數只有量值（數值），沒有極性（正負）;新數集中的數（除0外）既有量值（數值），又有極性（正負）。同時，遵循數系擴充的內在邏輯順序“正整數—引入0，擴充到自然數—引入負整數，擴充到整數—引入分數，擴充到有理數”，對新數集進行分類，給出有理數的描述性定義“整數與分數統(tǒng)稱有理數”，為進一步統(tǒng)一用“整數比”對有理數進行實質性定義奠定基礎。

第三，研究有理數的數軸直觀表示，奠定數形結合的基礎。

第四，研究“在正數1、2、34……前面添加負號，得到-1、-2、-34……”的匹配數對（量值相等，極性相反，表示特殊的相反意義量的正、負數）之間的關系，引入“相反數”的概念，借助數軸直觀地理解這種關系（表示相反數的兩個點關于原點對稱），理解諸如-（-3）、-（+3）等表示的意義并化簡。在后面的有理數加法中，“互為相反數的兩個有理數的和為0”，則進一步闡述了相反數的運算特征，滲透了數系擴充中運算的封閉性是如何通過擴大數集、拓展運算來實現的。事實上，有理數系中的加法構成了一個加群，相反數的本質反映了加群中加法運算的“負元”存在性：對于任意元素x，集合中存在著一個元素y，使得x+y=0。這為在相反數概念教學中滲透相反數對“從正數出發(fā)引入負數”的數學內在邏輯價值，提供了更高位數學觀點的啟發(fā)：相反數可以借助數軸來直觀理解，但其本質屬性是數的關系，不依賴于數軸。

第五，絕對值是擴大后新數集中的數與原數集中數的共性，即不考慮極性后留下的量值。因此，絕對值是數系擴充后數的內在一致性的本質反映，與數軸無關，但可以借助數軸上表示數的點到原點的距離與單位長度的比值來直觀理解。

第六，有理數的大小比較研究的是擴大后數集的有序性，可以借助數軸來直觀理解，但數的序關系本質上不依賴于數軸。

第七，運算是數系擴充研究中的核心問題。運算法則是一種規(guī)定，這種規(guī)定的合理性體現為新的運算法則在原數集中保持與原來一致，原有的運算律在擴大后的數集中仍然保持。有理數系中，核心的運算是加法和乘法運算。加法存在零元（0）、負元（負數），乘法存在單位元（1）、逆元（非0數的倒數）。加法和乘法運算滿足結合律、交換律、分配律（聯系加法和乘法運算）。運算律是運算中的不變規(guī)律，也是簡化運算的依據，如依據結合律可以簡化有限個元素的運算，依據分配律可以簡化加法和乘法運算等。基于除法運算，引出有理數的實質定義——整數比。

綜上，貫穿“有理數”內容的知識發(fā)生、發(fā)展的基本思想是：擴大數集、拓展運算、前后連貫、邏輯一致。這種“數系擴充”的研究思路及內容是“引入新數、擴大數集—分類、定義（新、舊數集中數的區(qū)別與聯系）和表示（符號、圖形）—研究性質（相等和不等關系，即序關系）—研究運算（加法和乘法運算及其逆運算）和運算律—應用”，研究方法是從特殊到一般、歸納、數形結合。

（三）“有理數”的核心育人價值

數系擴充是“數與代數”中數學系統(tǒng)抽象結構的典范，其核心育人價值是：在從原有數系擴充到新數系的過程中，發(fā)展數學抽象能力和邏輯推理能力。這具體表現為：在有理數、相反數、絕對值、倒數等概念的形成過程中，發(fā)展數學概念的抽象能力和歸納推理能力;在有理數的大小比較法則、運算法則以及運算律的形成過程中，發(fā)展數學法則和規(guī)律的抽象能力和歸納推理能力;在運用有理數的大小比較法則推理、運用運算法則和運算律運算的過程中，發(fā)展演繹推理能力和運算能力;在借助數軸理解有理數、相反數、絕對值以及加法和乘法運算及其運算律的過程中，發(fā)展空間觀念和幾何直觀能力;在運用有理數的運算表示和解決實際問題的過程中，發(fā)展數量關系的抽象能力，建立數的運算的模型觀念。

二、“有理數”學習心理的腦機制

（一）支撐“有理數”學習的腦神經網絡

學習“有理數”時，大腦的視覺空間網絡（包括枕葉、頂葉、中央前回運動區(qū)、額中回等;核心是雙側頂內溝，與心理數軸相關）、語義網絡（與數學問題解決相關，與雙側頂內溝有專門的神經聯結）起到了基礎性作用。而大腦的情境網絡（也稱默認網絡，與情境信息加工有關，與語義網絡有大量的重疊）在理解具體情境中的物理數量，用與自己經歷相關的情境解釋相反數、絕對值以及有理數運算的意義，把有理數及其運算的知識應用到具體情境中，提取有理數及其運算的具體情境與語義記憶等方面，都起到了重要作用。

此外，大腦前額葉的執(zhí)行控制網絡影響著學生問題解決的計劃、判斷、記憶和動作的執(zhí)行控制等，它與大腦的后部及皮質下結構都有廣泛的聯系，也是支持“有理數”學習中問題解決的目標導向行為的大腦神經網絡。經濟合作和發(fā)展組織.理解腦——新的學習科學的誕生[M].周加仙，等譯.北京：教育科學出版社，2010：32。大腦前額葉、楔前葉的元認知腦區(qū)聯合情境網絡，支持諸如學科大觀念等整體性、策略性知識的學習。參見S.M.Fleming和R.J.Dolan的The neural basis of metacognitive ability一文。

大腦的與情緒加工有關的神經網絡對數學學習也有重要影響。情緒網絡包括眶額皮層、扣帶前回、下丘腦、基底神經節(jié)、腦島、軀體感覺皮質等。這種影響主要通過提取當前事件的情緒價值影響選擇性注意，還對視覺加工有遠程影響。G.Pourtois， A.Schettino， P.Vuilleumier.Brain mechanisms for emotional influences on perception and attention：what is magic and what is not[J].Biological Psychology，2013（3）：492512。

（二）“負數”概念理解的腦機制

引入負數后，學生需要用新的觀念看數。研究表明，大腦采用合成策略，而不是整體策略表征負數：基于極性，用正負號表示相反意義的量，用“距離”理解其量值的大小。D.GanorStern， J.Tzelgov.Negative numbers are generated in the mind[J].Experimental Psychology，2008（3）：157163。M.H.Fischer.Cognitive representation of negative numbers[J].Psychological Science，2003（14）：278282。

首先，對正負數正負屬性的理解。負數的引入基于相反意義的量。理解這種相反意義的量，首先需要在腦內表征其極性。而理解這種數量的極性?；趦蓚€相反的方向，依賴大腦的導航神經網絡。初級視覺皮質中，有不同的神經集群對線條的朝向有特異反映D.H.Hubel，T.N.Wiesel.Receptive fields， binocular interaction and functional architecture in the cats visual cortex[J].The Journal of Physiology，1962（1）：106。，左側額頂環(huán)路負責加工位置分類及其工作記憶，右側額頂回路負責加工位置定位及其工作記憶，而海馬體中的位置細胞則加工物體和位置的綁定并對其加以記憶A.Postma， R.P.C.Kessels， M.van Asselen. How the brain remembers and forgets where things are： The neurocognition of objectlocation memory[J]. Neuroscience & Biobehavioral Reviews，2008（8）：13391345。。

其次，對相反意義量的絕對量值的理解。如果是整數，其絕對值反映為數的大小效應。如果是分數，根據分數的特征，表現為兩種加工方式的混合：一是針對同分母或同分子分數的成分加工方式，基于自然數的大小效應表征其大小;二是針對一般的分數，基于分數與單位的比率的數值表征其大小。劉穎，劉儒德，高婷，等.學生分數加工模式及其對教學的啟示[C]//周新林.教育神經科學視野中的數學教育創(chuàng)新.北京：教育科學出版社，2016：279288?；谡龜蹬c單位的比率（表示有理數的點到原點的距離與單位長度的比值）表征正負數的絕對值，符合大腦的認知規(guī)律。

最后，基于心理數軸實現空間與數量的融合。這是建立有理數的統(tǒng)一理解的核心認知機制。心理數軸是人們表征數的大小的腦內神經機制。心理數軸最初是在正整數大小比較的任務中發(fā)現簡單數字效應（SNARC，左側表征較小數效率高，右側表征較大數效率高）而發(fā)現和提出的。在負數概念形成后，把負數作為一個對象與正數、0比較，又可以延伸心理數軸。費切爾采用比較判斷任務，研究結果支持數軸從0向左延伸包含負數的假設。M.H.Fischer.Cognitive representation of negative numbers[J].Psychological Science， 2003（14）：278282。

（三）“有理數的大小比較”學習的腦機制

正整數的大小比較有兩種路徑：一是基于估算的大小比較（基于心理數軸），二是基于一個數小于后繼數的累積比較。正分數的大小比較根據兩個分數的特征選擇成分比較法（同分母比分子大小，同分子比分母大小）或整體比較法（比較兩個分數的值）。正數與負數、0與負數的比較基于正負的方向相反進行，在最初學習兩個負數的大小比較中，存在反簡單數字效應現象，即左側表征較大負數的反應效率高，右側表征較小負數的反應效率高。D.GanorStern，J.Tzelgov.Negative numbers are generated in the mind[J].Experimental Psychology，2008（3）：157163。

如果借助數軸進行統(tǒng)一的圖形表征，則又統(tǒng)一地用“左小右大”直觀地理解有理數大小的關系。因而，“有理數的大小比較”教學的重點和難點是，幫助學生打破正數簡單數字效應、負數反簡單數字效應的“各自為政”，借助數軸統(tǒng)一地形成有理數的簡單數字效應，從而統(tǒng)一地建立有理數大小的觀念。

（四）“有理數的運算”學習的腦機制

心理數軸在表征有理數的加減運算中起到核心作用。圖形大小任務和數大小任務在頂葉區(qū)域有較大的激活腦區(qū)的重疊，說明數大小的知覺與心理數軸中線段長短（點之間距離大?。┑闹X具有交互作用，支持空間更新與支持計算轉換的相同的腦機制是空間注意沿著心理數軸的激活軌跡產生移位轉換。這對算術加減運算至關重要。E.M.Hubbard，M.Piazza，P.Pinel， et al. Interactions between number and space in parietal cortex[J].Nature Reviews Neuroscience，2005（6）：435448。

引入負數后，數的范圍擴充到有理數。正如費切爾的研究結果所支持的，心理數軸從0開始向左延伸，表示數軸上點的移動的數的運算既包含正負（運動方向），又包含絕對值（運動距離），涵蓋了所有有理數的加減運算。

周新林等人的研究表明，由于學習經驗的塑造，中國兒童正整數的加法運算更多地激活了大腦的視覺空間網絡，而乘法運算則更多地激活了語義網絡。Xinlin Zhou，et al.Dissociated brain organization for singledigit addition and multiplication[J].Neuroimage，2007（2）：871880。

因此，有理數加法運算的學習適宜借助數軸上點的平移，基于視覺空間網絡開展，而有理數乘法運算的學習則需要基于語義網絡進行。針對學生對“負負得正”的有理數乘法法則理解困難，要基于語義進行邏輯建構，獲得乘法法則和運算律，還要借助數軸上點的中心對稱變換直觀地解釋1×（-1）=-1，（-1）×（-1）=1：如圖1，一個數與-1的積是這個數的相反數，在數軸上是由表示這個數的點繞著數軸原點旋轉180°得到的。

圖1

此外，有理數的混合運算活動對學生理解運算法則和運算律，發(fā)展數學運算能力，特別是今后代數學習中的符號運算能力，具有奠基作用。有理數的混合運算中，學生需要基于普適的運算順序（乘方→乘除→加減，有括號先算括號內的），根據算式的特征，依據運算律選擇合理（簡便）的運算順序。然后，依據運算法則執(zhí)行運算。其中，要把減法運算轉化為加法運算，除法運算轉化為乘法運算（與有理數系的運算結構一致）。

有學者研究了小學分數四則運算，發(fā)現明確運算目標、選擇運算策略（順序）和運算規(guī)則、執(zhí)行運算規(guī)則是影響正分數混合運算的核心要素，從而提出了可以較好地訓練并預測學生正分數混合運算成就的計算模型。David W.Braithwaite， Aryn A.Pyke， Robert S.Siegler. A computational model of fraction arithmetic[J].Psychological review，2017（5）：603。這一模型與高中數學課程標準中數學運算素養(yǎng)的表現十分一致。事實上，有理數混合運算與正分數混合運算比較，其運算順序沒有差異，其復雜性體現為在確定運算順序后執(zhí)行運算法則時，多了確定運算結果的符號及絕對值這一環(huán)節(jié)。因此，仍然可以采用上述模型來訓練和預測學生有理數混合運算的成就。

三、“有理數”的教學策略

（一）利用“數系擴充”的大觀念引領單元整體教學

數學具有整體性和系統(tǒng)性，大腦思考問題過程中的目標導向決策也具有整體性和策略性。這就要求教師在單元教學設計的基礎上，設計課時教學活動，進行單元整體教學。這種“單元—課時”教學要求：單元設計貫徹數學的整體性和思維的系統(tǒng)性，重視一般觀念的引領作用和知識結構的聯系作用;課時與單元之間、不同課時之間體現育人目標的圖2

協同性、內容邏輯的連貫性、問題研究的有序性;每一課時的教學體現研究的針對性、層次性和策略性。吳增生.單元整體教學中的若干重要問題及其思考[J].數學通報，2021（9）：2026。

基于“數系擴充”大觀念下的研究思路、內容和方法，“有理數”單元的知識結構如圖2所示。據此，可以把這一單元劃分為兩個部分：有理數的相關概念及性質（知識結構如圖2中虛線框所示）、有理數的運算與運算律（知識結構如圖2中實線框所示）。進而劃分為11個新授課時——正數和負數、有理數、數軸、相反數和絕對值、有理數的大小比較和有理數的加法、有理數的減法、有理數的乘法、有理數的除法、有理數的四則混合運算、有理數的乘方，以及1個單元復習課時。其中，理解負數的含義（與正數的區(qū)別）、理解相反數與絕對值的意義（聯系正負數）、抽象出數軸以及有理數的混合運算是本單元學習的難點。

由此，基于核心育人價值的單元整體目標如下：

1.通過對現實情境中相反意義量的表示和對減法運算封閉性的滿足引入負數，能夠基于數軸直觀理解有理數的相關概念，能夠抽象有理數的運算法則和運算律，發(fā)展空間觀念、幾何直觀和抽象能力，學會用數學的眼光觀察。

2.能夠對有理數進行分類，用整數定義有理數，能夠用有理數的大小比較法則、運算法則和運算律進行推理和運算，發(fā)展推理能力和運算能力，學會用數學的思維思考。

3.能夠借助數軸表達相反數與絕對值的意義，能夠用有理數的運算解決簡單的實際問題，學會用數學的語言表達。

4.能夠類比小學中數的研究框架規(guī)劃有理數的研究框架，學會反思總結，學會學習。

進而，分解可得指向單元整體目標的課時目標體系。其中，第1課時的目標如下（限于篇幅，不列其他課時的目標）：

1.通過對現實情境中相反意義量的觀察、想象和抽象以及對減法封閉性的思考引入負數。

2.理解0的新意義（正數和負數的分界）。

3.利用正數和負數表示具有相反意義的量;舉出具體實例解釋正數、負數和0。

4. 類比自然數到分數的學習經驗，規(guī)劃有理數的研究框架。

在此基礎上，要注意用“數系擴充”的大觀念引領各課時的教學，幫助學生理解有理數相關概念、性質與運算的本質，發(fā)展建立數學系統(tǒng)抽象結構的意識。這里，特別需要注意兩點：

一是起始課《正數和負數》中，注意引導學生回顧之前數系擴充的學習經驗，形成有理數學習的類比源和研究框架;注意利用學生的已有經驗，讓學生通過現實背景理解負數表示相反意義的量，體會引入負數的必要性。

二是單元復習課中，再次用“數系擴充”的大觀念引領，對知識的發(fā)生、發(fā)展過程及其相互聯系進行從整體到部分的回顧整理，對數學思想方法進行再概括，對運算技能進行再訓練，幫助學生重構基于研究框架（包括研究思路、內容以及方法）以及知識關聯的知識結構（如圖2）。

（二）充分利用數軸直觀建立數與形之間的聯系

數軸是學生接觸的第一個數形結合的數學工具。引入數軸后，可以用數軸上的點直觀地表示有理數，從而為學生提供了理解相反數、絕對值的直觀工具，并為學習有理數的大小比較與運算奠定了基礎。

有學者通過代數、幾何、分析、拓撲領域的高級知識判斷任務，對數學家與非數學專業(yè)專家在執(zhí)行數學陳述與非數學陳述判斷任務時的大腦活動進行掃描，發(fā)現數學家在通過推理判斷數學陳述時，與基礎數感、心理數軸相關的腦區(qū)被激活更多。M.Amalric，S.Dehaene.Origins of the brain networks for advanced mathematics in expert mathematicians[J].Proceedings of the National Academy of Sciences， 2016（18）：49094917。借助心理數軸建立空間與數量的聯系，形成數感，是數學認知能力的基礎。

這一教學策略的實施要點有：

第一，融合數系擴充思想，抽象數軸概念。融合“數系擴充”的思想，分離出數的發(fā)展的源頭（0和1）以及機制（基于加1運算得到自然數，通過平均分和比率引入正分數，通過相反意義的量對稱地得到負有理數），以在直線上表示0和1的位置為核心任務引導學生對直線進行合理規(guī)定（規(guī)定0的位置、確定1相對于0的方向、確定1相對于0的距離）。從而抽象出數軸的三要素以及在數軸上表示有理數的方法，得到數軸，建立數與形的初步對應關系，用數軸直觀有序地表示有理數。同時，借助數軸理解從自然數到整數的擴充是自然數的中心對稱擴展，從整數到有理數的擴充是表示相鄰整數的點之間線段的分割密集化，直觀體會擴大數集的兩種方法。

第二，借助數軸直觀理解有理數的相關知識。比如，借助數軸理解有理數的相反數、絕對值的概念;理解數軸上有理數大小規(guī)定的合理性及由來，通過把小學中數的大小比較結果表示在數軸上，獲得有理數大小的規(guī)定;借助數軸上點的平移運動表示小學中數的加法運算，通過類比獲得與負數有關的加法運算結果，理解加法運算律;借助數軸上點的旋轉運動理解“（-1）×（-1）=1”的合理性;借助數軸，用有理數的運算刻畫直線上點的運動;等等。

（三）加強多種形式的邏輯推理

發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)是初中數學教學的核心目標之一。邏輯推理包括類比推理、歸納推理和演繹推理。形成有理數的數系擴充過程具有內在的邏輯一致性，為了這一邏輯一致性，需要基于推理研究大小比較和運算法則的連貫性以及運算律的繼承性。

演繹推理的“超模態(tài)理論”指出：數學演繹推理中語義加工和空間加工是交替進行的，法則和原理的回顧和表達及推理話語體系的表達借助大腦語義網絡，而構建算法和推理路徑的過程更多地激活了視覺空間網絡。D.RodriguezMoreno， J.Hirsch.The dynamics of deductive reasoning：An fMRI investigation[J]. Neuropsychologia，2009（4）：949961。也就是說，數學邏輯推理是建立在直觀和抽象的基礎上的。

這一教學策略的實施要點有：

第一，在有理數大小比較的教學中，把具有不等關系的具體非負數表示在數軸上，通過類比推廣到一般，獲得數軸上有理數大小的定義;基于數軸上“左小右大”的定義，通過演繹推理得到有理數大小比較的法則，重點是兩個負數大小比較的方法。

第二，加強運算法則和運算律教學中的類比與歸納。在有理數加法運算的教學中，借助數軸上的平移運動表示正數及0的加法后，類比推廣到負數有關的運算;得到具體運算結果后，需要歸納加數的符號、絕對值與和的符號、絕對值的關系，得到加法法則。乘法運算的教學，要引導學生規(guī)劃把因數逐步減少到0和負數的歸納方案，并且歸納積與因數之間的符號、絕對值關系，最后得到有理數乘法的法則，即需要多次歸納、有序展開。類似地，減法運算的教學要加強與小學加法和減法運算的逆運算關系的類比;除法運算的教學則既要類比乘法運算，又要類比小學分數除法的“除以一個數等于乘一個數的倒數”法則。乘方運算的教學要類比乘法的抽象方法，得到相同因數相乘的簡寫符號表示。

第三，在有理數的大小比較法則和運算法則的應用中，要注重算理，依據相關原理和法則進行推理和運算。在有理數的混合運算中，要讓學生類比小學自然數以及正分數的運算順序、運算符號的意義、括號的意義，理解有理數的運算順序是怎樣的、為什么要按照這種順序運算、運算的目的是什么、體現了哪些數學思想等，引導學生理解運算對象，掌握運算法則，探究運算思路，選擇運算方法，設計運算程序，求得運算結果。通過適當的講算理的運算訓練以及概括，實現運算操作的程序化，幫助學生形成運算技能，發(fā)展數學運算能力。