史昱昆 王恭義 程 凱 葉篤毅

（1.浙江大學(xué)化工機械研究所；2.上海汽輪機廠有限公司）

在發(fā)電設(shè)備中，單缸汽輪機相比多缸汽輪機具有成本低、熱效率高及結(jié)構(gòu)緊湊等優(yōu)點［1］。作為單杠汽輪機的關(guān)鍵部件，一體化轉(zhuǎn)子在服役時需要滿足快速啟停、變負荷等要求。 在上述交變載荷作用下，轉(zhuǎn)子輪盤應(yīng)力集中部位（如輪槽齒根）通常存在明顯的平均應(yīng)力，并伴隨啟停過程出現(xiàn)平均應(yīng)力循環(huán)松弛行為［2，3］，因此，在一體化轉(zhuǎn)子的抗疲勞設(shè)計中，如何考慮平均應(yīng)力的影響成為重要的研究內(nèi)容。

對于平均應(yīng)力松弛的定量描述，目前工程上主要有兩類常用方法：一類是經(jīng)驗?zāi)Ｐ?，另一類是循環(huán)塑性本構(gòu)模型［4］。 由于循環(huán)本構(gòu)模型只需開展少量試驗就能完整模擬材料的應(yīng)力應(yīng)變行為，近年來已被越來越多地用于描述疲勞載荷下平均應(yīng)力循環(huán)松弛［5］。 其中，Chaboche模型是目前應(yīng)用廣泛的循環(huán)本構(gòu)模型之一［6］。 Chaboche模型最初采用了3級背應(yīng)力形式。 近年來，為了進一步提高模型的預(yù)測精度， 在3級背應(yīng)力基礎(chǔ)上又發(fā)展了多級背應(yīng)力模型［7］。 例如：姜金朋等采用4級背應(yīng)力模型預(yù)測了CS1026 材料的單軸棘輪效應(yīng)［8］；Mahmoudi A H等提出5級背應(yīng)力模型來改進Chaboche模型的預(yù)測能力［9］；Ohno N和Wang J D采用分段線性劃分方式，發(fā)展了級數(shù)更多（8級，12級）的背應(yīng)力模型［10］，但隨著背應(yīng)力級數(shù)增加，也帶來了模型參數(shù)大幅增加、參數(shù)確定困難等問題。 為了克服傳統(tǒng)參數(shù)確定方法（如試驗法結(jié)合試錯法［11］）存在的求解精度低的問題，近年來許多學(xué)者引入了遺傳算法來優(yōu)化Chaboche本構(gòu)模型中的參數(shù)。例如，Nath A等通過對穩(wěn)定滯回環(huán)獲取的Chaboche參數(shù)進行基因算法優(yōu)化， 提高了多種CSMs材料棘輪效應(yīng)的模擬精度［12］。 Mal S等分別采用試錯法和基因算法模擬20MnMoNi55鋼的滯回環(huán)，結(jié)果表明：Chaboche模型對參數(shù)的敏感程度很高， 參數(shù)經(jīng)過優(yōu)化后使得結(jié)果更為精確［13］。Mahmoudi A H等采用多目標基因算法，將每個循環(huán)的最大應(yīng)變考慮到誤差函數(shù)中，模擬了多種材料的棘輪效應(yīng)［14］。 Rouse J P等采用單目標基因算法， 預(yù)測了P91鋼在600 ℃下的應(yīng)力應(yīng)變響應(yīng)，取得了較好的效果［15］。 由此可以看出，采用遺傳算法優(yōu)化Chaboche本構(gòu)模型參數(shù)能夠顯著提高疲勞壽命預(yù)測的精度，具有廣闊的應(yīng)用前景。

筆者針對某汽輪機一體化轉(zhuǎn)子輪盤的抗疲勞設(shè)計需要，采用局部應(yīng)變法，并結(jié)合基于遺傳算法優(yōu)化的8級背應(yīng)力Chaboche模型，來研究考慮平均應(yīng)力動態(tài)松弛行為的輪盤輪槽疲勞壽命預(yù)測方法。

1 基于Chaboche模型的轉(zhuǎn)子輪盤疲勞壽命預(yù)測方法

1.1 Chaboche模型及其參數(shù)確定算法

Chaboche模型基于Von Mises屈服準則，其表達式為：

式中 a——偏背應(yīng)力張量；

s——偏應(yīng)力張量；

α——背應(yīng)力張量，表示屈服面的中心；

σ——應(yīng)力張量；

σF——摩擦應(yīng)力，表示屈服面的半徑。

根據(jù)廣義正交性假定，塑性流動增量的方向為屈服面的法線方向，塑性應(yīng)變增量dεp為：

其中，?f/?σ表示屈服面的法線方向；λ為塑性乘子。

Chaboche隨動強化率認為式（1）中的總背應(yīng)力α可以劃分為多個分背應(yīng)力αi， 每個分量都符合Armstrong隨動強化率，即：

其中，M為背應(yīng)力級數(shù)；Ci和γi為材料參數(shù)；p為累積塑性應(yīng)變。

式（1）中的摩擦應(yīng)力σF通常采用Voce單級同性硬化率描述，即：

其中，R表示各向同性應(yīng)力；y0表示初始屈服應(yīng)力；Rs表示R能夠達到的最大值；B表示R達到穩(wěn)定的速度。

大量研究表明： 上述Chaboche模型的模擬準確性很大程度上取決于參數(shù)（Ci，γi，Rs，B）的精確性。 但由于Chaboche模型具有參數(shù)多、 各參數(shù)之間關(guān)系復(fù)雜且相互制約等特征，模型參數(shù)和應(yīng)力應(yīng)變之間是一個非常復(fù)雜的非線性函數(shù)關(guān)系。 采用傳統(tǒng)方法（試驗法結(jié)合試錯法）求解上述參數(shù)，往往因背應(yīng)力分段不明確、試驗數(shù)據(jù)分散性大等原因，導(dǎo)致模擬結(jié)果出現(xiàn)較大誤差［16］。

近年來， 遺傳算法被應(yīng)用于確定Chaboche模型參數(shù)。 通過選擇、交叉及變異等一系列操作對模型參數(shù)進行迭代進化，從而達到提高參數(shù)求解精度的目的。 基于遺傳算法優(yōu)化Chaboche模型參數(shù)可歸結(jié)為以下3個步驟：

a. 確定參數(shù)初值。 首先采用試驗法求得Chaboche模型參數(shù)初值。 參考文獻［17］，隨動硬化參數(shù)（Ci，γi）取值范圍一般服從依次減小的規(guī)律（C1>C2>C3>Ci，γ1>γ2>γ3＞γi），同性硬化參數(shù)Rs取值范圍可根據(jù)材料循環(huán)軟化/硬化特性進行判斷，b取值一般為負。

b. 適應(yīng)度判斷。綜合模擬效果和計算效率選擇合適的Chaboche模型適應(yīng)度函數(shù)， 即模型模擬值（εmodel，σmodel）和試驗值（εexp，σexp）的加權(quán)差值，差值越小代表參數(shù)求解越精確。

c. 進化操作。 在步驟b的基礎(chǔ)上，通過選擇、交叉、 變異操作， 誕生出新一代Chaboche模型參數(shù)。 重復(fù)步驟b、c，直到模型參數(shù)收斂到規(guī)定精度為止。

采用遺傳算法確定Chaboche模型參數(shù)的流程如圖1所示。

圖1 確定Chaboche模型參數(shù)的遺傳算法流程框圖

1.2 基于Chaboche模型的疲勞壽命預(yù)測方法

基于Chaboche模型預(yù)測轉(zhuǎn)子輪盤疲勞壽命的方法主要可歸納為：采用局部應(yīng)力應(yīng)變近似計算公式聯(lián)立Chaboche模型， 將作用在轉(zhuǎn)子輪盤的載荷轉(zhuǎn)化為輪盤危險部位（如輪槽齒根）的局部應(yīng)力、應(yīng)變；考慮平均應(yīng)力動態(tài)松弛行為，同時結(jié)合平均應(yīng)力修正模型，進行輪盤危險部位的損傷計算；最終通過損傷累計來預(yù)測輪盤疲勞壽命。 上述壽命預(yù)測流程如圖2所示（圖中的SWT模型、統(tǒng)一法引用文獻［18，19］）。

圖2 基于Chaboche模型的輪槽構(gòu)件疲勞壽命預(yù)測流程框圖

2 試驗過程

2.1 光滑試樣低周疲勞試驗

為了確定Chaboche模型參數(shù)，開展了某型輪槽材料的光滑試樣單調(diào)拉伸試驗和應(yīng)變比為0的應(yīng)變控制低周疲勞試驗。 試驗參考相關(guān)標準［20］，在MTS-810電液伺服疲勞試驗機上進行。 該輪盤材料的低周疲勞力學(xué)性能參數(shù)如下：

屈服強度σy700 MPa

疲勞強度系數(shù)σf′ 1 051 MPa

材料彈性模量E 203 GPa

疲勞延性系數(shù)εf′ 0.205 1

強度系數(shù)K 1 024 MPa

疲勞強度指數(shù)b－0.072

應(yīng)變硬化指數(shù)n 0.058 9

疲勞指數(shù)c－0.588

2.2 輪槽構(gòu)件低周疲勞試驗

為了驗證基于Chaboche模型的轉(zhuǎn)子輪盤疲勞壽命預(yù)測方法的準確性，開展了脈動載荷下某型輪槽構(gòu)件的低周疲勞試驗。 圖3是該輪槽構(gòu)件的主要幾何尺寸，其中輪槽齒根A、B、C的理論應(yīng)力集中系數(shù)Kt采用有限元法確定， 分別為3.39，3.11，2.39。

圖3 輪槽模擬件幾何形狀

輪槽構(gòu)件的疲勞試驗在MTS-810電液伺服疲勞試驗機上進行， 試驗采用應(yīng)力比為0的軸向載荷控制，正弦波加載。 試驗過程中采用長距離顯微測試系統(tǒng)實時監(jiān)測裂紋長度，試驗現(xiàn)場與輪槽構(gòu)件裂紋的測量結(jié)果如圖4所示。 記輪槽缺口部位出現(xiàn)長度為0.5 mm裂紋的循環(huán)周次為裂紋萌生壽命。

圖4 試驗現(xiàn)場與輪槽構(gòu)件裂紋測量

3 某型輪槽構(gòu)件的疲勞壽命預(yù)測與試驗驗證

采用基于Chaboche模型結(jié)合遺傳算法的轉(zhuǎn)子輪盤疲勞壽命預(yù)測方法（圖2），對某型輪槽構(gòu)件進行了疲勞壽命預(yù)測， 并將預(yù)測結(jié)果與試驗結(jié)果進行比較。

3.1 Chaboche模型參數(shù)確定

確定Chaboche模型（式（4））中的R。 參考文獻［21］中的方法，通過試驗數(shù)據(jù)提取摩擦應(yīng)力。 圖5為某典型應(yīng)變幅下輪槽材料最初1/4循環(huán)（單調(diào)拉伸階段）和后續(xù)疲勞循環(huán)的摩擦應(yīng)力擬合曲線。

圖5 輪槽材料的摩擦應(yīng)力擬合曲線

從圖5可以看出：在最初1/4循環(huán)，當累計塑性應(yīng)變增加到0.02時，摩擦應(yīng)力從700 MPa迅速衰減到460 MPa，之后在循環(huán)載荷作用下呈現(xiàn)緩慢減小特征。采用疊加的Voce模型［22］，分別對上述兩個階段摩擦應(yīng)力（σF）進行擬合，其表達式可寫成：

其中，K1、R1、B1、R2和B2為擬合參數(shù)。

確定Chaboche模型中的隨動硬化參數(shù)（Ci，γi）則參考文獻［23］中的方法。 為了保證精度，本次研究將背應(yīng)力劃分為8級，如圖6所示。 其中，第1、2級背應(yīng)力描述小應(yīng)變階段，第3～5級背應(yīng)力描述中應(yīng)變階段，第6～8級背應(yīng)力描述大應(yīng)變階段。

圖6 8級背應(yīng)力的劃分

輪槽材料的隨動硬化參數(shù)初值列于表1中。

表1 Chaboche模型參數(shù)初值

前4個階段的各向同性硬化參數(shù)初值R1=287、B1=293、R2=287、B2=239、K1=465、R3=321、B3=375、R4=50、B4=2、K2=416。

采用圖1中的遺傳算法流程， 結(jié)合2.1小節(jié)中材料低周疲勞試驗結(jié)果， 可進一步優(yōu)化Chaboche模型中的26個參數(shù)。 本次算法參數(shù)設(shè)置基于Matlab的Optimtool遺傳算法工具箱， 自行編寫了適應(yīng)度函數(shù)。 采用二進制編碼，初始種群數(shù)量根據(jù)變量數(shù)（26個）選為300。 根據(jù)初值大小設(shè)置參數(shù)范圍限制以加快收斂速度。 為保證8個背應(yīng)力分量充分發(fā)揮作用，本算法選用應(yīng)變幅1.2%的滯回環(huán)數(shù)據(jù)，試驗數(shù)據(jù)選取前10個滯回環(huán)。 其中，誤差函數(shù)按下式計算：

其中，σ1表示峰值應(yīng)力，σ2表示谷值應(yīng)力，σ3表示平均應(yīng)力。

式（6）由3個分誤差函數(shù)組成，平均應(yīng)力誤差用來保證平均應(yīng)力的模擬精度，峰值/谷值應(yīng)力誤差則控制滯回環(huán)的形狀。

采用排名選擇法， 交叉操作采用單點交叉，交叉概率定為0.5，變異概率定為0.02。 終止條件定為進化到2 000代或誤差小于0.000 01。

經(jīng)過上述遺傳算法優(yōu)化的輪槽材料的隨動硬化參數(shù)列于表2。

表2 Chaboche模型優(yōu)化后參數(shù)

前4個階段的各向同性硬化參數(shù)優(yōu)化后數(shù)值R1=261、B1=253、R2=261、B2=207、K1=458、R3=38、B3=1.88、R4=-5.2、B4=-0.355、K2=460。

3.2 輪槽材料的平均應(yīng)力松弛行為模擬

為了驗證Chaboche模型描述輪槽材料循環(huán)本構(gòu)關(guān)系的精確性， 采用表2中優(yōu)化后的本構(gòu)模型參數(shù)對輪盤材料的循環(huán)滯回環(huán)進行了模擬。 圖7給出了前10個滯回環(huán)的模擬值和試驗值的比較。可以看出，采用遺傳算法優(yōu)化Chaboche模型參數(shù)能很好地模擬不同應(yīng)變幅下最初1/4循環(huán)和后續(xù)滯回環(huán)形狀（包括峰值/谷值應(yīng)力的演化趨勢和滯回環(huán)彈塑性過渡階段）。

圖7 不同應(yīng)變幅下滯回環(huán)模擬值與試驗值的比較

為了進一步驗證Chaboche模型模擬平均應(yīng)力松弛行為的精度，采用優(yōu)化后的本構(gòu)模型參數(shù)計算不同應(yīng)變幅下的平均應(yīng)力，并與試驗值進行比較，結(jié)果如圖8所示。 由圖8可知：在各種應(yīng)變幅下，平均應(yīng)力均發(fā)生了明顯的松弛，應(yīng)變幅越大，初始平均應(yīng)力越小，而松弛速率越大。 從圖8中還可以得出： 采用優(yōu)化參數(shù)的Chaboche模型總體能夠準確預(yù)測較寬應(yīng)變幅范圍（0.4%～1.0%）的輪槽材料平均應(yīng)力松弛行為。

圖8 不同應(yīng)變幅下平均應(yīng)力松弛模擬值與試驗值的比較

3.3 輪槽構(gòu)件疲勞壽命預(yù)測

表3給出了基于8級背應(yīng)力Chaboche模型的輪槽構(gòu)件疲勞壽命模擬值、 試驗值及其相對誤差。圖9是疲勞壽命預(yù)測值與試驗值的比較。

表3 輪槽構(gòu)件疲勞壽命模擬值與試驗值

圖9 輪槽構(gòu)件疲勞壽命預(yù)測值與試驗值的比較

從圖9可以看出， 基于8級背應(yīng)力Chaboche模型的轉(zhuǎn)子輪盤疲勞壽命預(yù)測方法總體能夠獲得與試驗壽命較為一致的結(jié)果，在本文研究的載荷條件下， 預(yù)測壽命與試驗壽命在二倍分散帶之內(nèi)。

4 結(jié)論

4.1 基于局部應(yīng)變法， 采用遺傳算法優(yōu)化Chaboche模型參數(shù)， 建立起一種預(yù)測轉(zhuǎn)子輪盤疲勞壽命的新方法。

4.2 采用參數(shù)優(yōu)化的Chaboche模型模擬了某型輪盤材料在多種應(yīng)變幅下的滯回環(huán)形狀和平均應(yīng)力松弛行為，通過與試驗值相比較證明了兩者一致性較好。

4.3 采用筆者建立的轉(zhuǎn)子輪盤疲勞壽命預(yù)測方法對某型輪槽構(gòu)件開展了疲勞裂紋萌生壽命預(yù)測。 通過與試驗結(jié)果的比較可知，兩者誤差在二倍分散帶之內(nèi)。