陳娟娟

(上海市朱行中學(xué) 201506)

1 緣起

教材是知識(shí)技能的重要信息載體，往年許多學(xué)生中考試題在教材中都能找到一個(gè)影子，而且有一些題目就是以課本例題、習(xí)題為素材改編成的.因此，教材是平日統(tǒng)考或者中考命題的一個(gè)重要依據(jù)，而教材上的例題和習(xí)題又具有一定的典型性和代表性，這就需要教師們?cè)谌粘＝虒W(xué)中，對(duì)教材中的例題、習(xí)題進(jìn)一步地進(jìn)行歸納、總結(jié)，采取“一題多解與一題多變”的模式進(jìn)行教學(xué)，舉一反三，和學(xué)生一起研究總結(jié)，同時(shí)在數(shù)學(xué)課堂中培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感，提高教學(xué)的有效性.

2020年1月份，筆者參加了上海市金山區(qū)九年級(jí)數(shù)學(xué)一模調(diào)研考試的閱卷工作，負(fù)責(zé)批改試卷的第16題.該題目是由滬教版九年級(jí)下冊(cè)第27.5(3)第30頁(yè)第4題改編而來.閱卷后，筆者從教研室獲取了這道題解答情況的相關(guān)數(shù)據(jù)，這道題得分率為僅為0.23，又在自己所教的班級(jí)進(jìn)行了一節(jié)試卷講評(píng)課，引發(fā)了筆者對(duì)解題教學(xué)的一些思考.

2 習(xí)題呈現(xiàn)

滬教版九年級(jí)下冊(cè)第27.5(3)第30頁(yè)第4題：已知相交兩圓的半徑長(zhǎng)分別為15和20，圓心距為25，求兩圓的公共弦的長(zhǎng).

2.1 解法分析

解法1 直接法

∵O1O2是連心線，AB是公共弦，(如圖1)，

∴O1O2垂直平分AB.

已知O1A=15，O2A=20,O1O2=25，

設(shè)AC=x,則AB=2x,

在Rt△ACO1中，∠1=90°

∵O1C2+AC2=O1A2,

∵O1C+O2C=O1O2=25,

解得x=12，

∴AB=2x=24，即兩圓的公共弦長(zhǎng)為24.

評(píng)析本解法是相交兩圓連心線的性質(zhì)定理的直接運(yùn)用.這是求公共弦常見的一種方法，同學(xué)們也是容易想到的.但是因?yàn)?1)式含有兩項(xiàng)無理式，需要兩次平方才能化成整式，所以計(jì)算量確實(shí)不小.

解法2間接法(先求圓心距其中的一段)

∵O1O2是連心線，AB是公共弦，(如圖1)，

∴O1O2垂直平分AB，

已知O1A=15，O2A=20,O1O2=25，

設(shè)O1C=x,則O2C=25-x,

在Rt△ACO1,中，∠1=90°

∵O1C2+AC2=O1A2,

∵AC=AC

解得x=9，把x=9代入(2)式得AC=12

∴AB=2AC=24，即兩圓的公共弦長(zhǎng)為24.

評(píng)析因?yàn)橄嘟粌蓤A的連心線垂直平分公共弦，所以肯定存在兩個(gè)直角三角形.如果把圓心距的一段設(shè)為x，利用同一個(gè)量的兩種表示相等列出方程，求出對(duì)應(yīng)的x從而即可求出弦長(zhǎng).這種間接設(shè)元的方法在數(shù)學(xué)解題中也是很常見的.

解法3間接法(面積法)

已知O1A=15，O2A=20,O1O2=25

所以，△O1AO2是Rt△(如圖1).

∵O1O2是連心線，AB是公共弦，

∴O1O2垂直平分AB，

∴AB=2AC=24，即兩圓的公共弦長(zhǎng)為24.

評(píng)析該解法敏銳地觀察到了15、20、25是一組勾股數(shù)，得到一個(gè)直角三角形.從計(jì)算上來看，計(jì)算量也不大，很容易求出結(jié)果.這個(gè)解法給我們以后解題提供了一個(gè)很好的思維活動(dòng)經(jīng)驗(yàn),要仔細(xì)琢磨.

2.2 變式題組

變式1 已知半徑長(zhǎng)分別為6和8的圓O1和圓O2相交于A、B兩點(diǎn)，且∠O1AO2=90 °，求圓心距AB的長(zhǎng).

變式2已知圓O1和圓O2相交于A、B兩點(diǎn)，AB=8，O1O2=10，圓O1半徑為5，求圓O2半徑.

變式3已知圓O1和圓O2相交于A、B兩點(diǎn)，公共弦AB=24，大圓O2的半徑為15，O1O2=4，求小圓O1的半徑長(zhǎng).

變式4 已知圓O1和圓O2相交于A、B兩點(diǎn)，公共弦AB=24，小圓O1的半徑為13，大圓O2的半徑為15，求O1O2的長(zhǎng).

本題組的四個(gè)變式訓(xùn)練，問題的大背景沒有變，這樣我們可以通過節(jié)省練習(xí)的時(shí)間，提高課堂學(xué)習(xí)效率.此外，通過學(xué)生對(duì)問題的探究可以幫助他們理解更有難度的問題，用發(fā)散思維思考，看透問題的本質(zhì).變式訓(xùn)練法有利于提高學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，使學(xué)生能夠獨(dú)立解決問題，有利于他們未來的成長(zhǎng).

3 功能分析

3.1 有助于鞏固新知

本習(xí)題是學(xué)生學(xué)習(xí)了相交兩圓連心線的性質(zhì)定理之后設(shè)置的.通過變式題組的練習(xí)訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，讓學(xué)生克服自己原有的思維方式，理解新知識(shí)在題目中的應(yīng)用.對(duì)于大部分學(xué)生來說，如果就一直練基本題目，對(duì)于學(xué)生的思維能力發(fā)展沒有多大的幫助，因此在變式題目中可以適當(dāng)增加逆向思維或者新舊知識(shí)結(jié)合的題目.通過運(yùn)用知識(shí)，加深學(xué)生對(duì)相交兩圓連心線的性質(zhì)定理的理解，鞏固新知.

3.2 有利于歸納數(shù)學(xué)方法

在習(xí)題教學(xué)時(shí)，很多教師采用“就題論題”，只教“是什么”，很少教“為什么”，更少教“怎么想到的”.教師在教學(xué)中要重視解題指導(dǎo)，要能做到三個(gè)“堅(jiān)持”：堅(jiān)持以知識(shí)溯源為思路引領(lǐng)，明確思考方向；堅(jiān)持以教會(huì)學(xué)生怎么想為能力抓手，強(qiáng)化學(xué)法；堅(jiān)持以同一類型還可以怎么做作為拓展方向，力求以一題會(huì)一類.這樣，重點(diǎn)培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，使學(xué)生能夠輕松地處理新問題.

3.3 有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)感

在上述2.2變式題組的訓(xùn)練中，通過解題活動(dòng)會(huì)發(fā)現(xiàn)常見的勾股數(shù)6、8、10；9、12、15；15、20、25；5、12、13等.其實(shí)前三組數(shù)據(jù)和我們熟知的勾股數(shù)3,4,5是對(duì)應(yīng)成比例的.在習(xí)題的多角度探索中，這種數(shù)感是可以通過反復(fù)訓(xùn)練培養(yǎng)出來的.數(shù)感是人們對(duì)數(shù)的直接感知能力,數(shù)感在數(shù)學(xué)教學(xué)和數(shù)學(xué)運(yùn)算中起著重要的作用.培養(yǎng)學(xué)生數(shù)感也是我國(guó)當(dāng)前數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一個(gè)非常重要的任務(wù).

3.4 有利于數(shù)學(xué)思維的發(fā)展

通過這種分層思維訓(xùn)練，有利于培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維品質(zhì)，提高課堂質(zhì)量.首先，例題、練習(xí)教學(xué)要足夠重視發(fā)散性思維訓(xùn)練，而“一題多解、一題多變”有助于學(xué)生形成發(fā)散性思維.所以，在解題后教師嘗試著追問“還有沒有其他解法？”同時(shí)，習(xí)題教學(xué)還要重視多種解題方法的本質(zhì)揭示，只有透徹掌握方法的本質(zhì)，才能實(shí)現(xiàn)“由會(huì)一題到會(huì)一類題” 的方法遷移.例題、習(xí)題教學(xué)要立足其顯性功能的開發(fā).其次，教材上的典型習(xí)題，很多都具備變式或者拓展延伸的空間，因此還要學(xué)會(huì)挖掘其隱性功能.二者兼具才不會(huì)浪費(fèi)例題資源的價(jià)值，也就不會(huì)錯(cuò)過欣賞習(xí)題教學(xué)的美麗風(fēng)景.

4 鏈接一模

(2020年1月長(zhǎng)寧金山一模16題)已知相交兩圓的半徑長(zhǎng)分別為8和15，圓心距為17，則這兩圓的公共弦長(zhǎng)為____.

5 教學(xué)反思

5.1 把教材題目用好些

教材的例題和習(xí)題是經(jīng)過眾多專家精心遴選、反復(fù)斟酌而定的，是教材的一個(gè)有機(jī)組成部分.它在幫助學(xué)生把握雙基，完善知識(shí)結(jié)構(gòu)，培養(yǎng)和提高思維能力等各方面起著重要作用.作為一線教師，更應(yīng)該從課本中挖掘例題習(xí)題的功能，在對(duì)課本習(xí)題多角度探索的過程中，提煉和優(yōu)化解題方法，為學(xué)生遇到類似的考題能夠迅速找到最優(yōu)方法打下基礎(chǔ).

5.2 把思維教得靈活些

課堂教學(xué)中不能貪多，尤其是在解題教學(xué)中更不能貪多.在學(xué)生的難點(diǎn)處，請(qǐng)勿“一帶而過”.在同學(xué)們的思路卡殼時(shí)，教師要給他們多一點(diǎn)的思考空間，用啟發(fā)性問題引導(dǎo)學(xué)生，鼓勵(lì)他們進(jìn)行多樣化的嘗試探索，尋找解決問題的最佳方法.在這樣的教學(xué)過程中，學(xué)生獲得的解題經(jīng)驗(yàn)才深刻.

5.3 把自己教的善思些

通過這一次一個(gè)小題目的得分率反思自己的教學(xué)，我們還有很多需要改進(jìn)的地方.我們要反思自己的教學(xué)，反思自己的課堂，才能常教常新，學(xué)生才能常學(xué)常優(yōu).雖然教學(xué)是有遺憾的藝術(shù)，但我們應(yīng)該努力為學(xué)生走向數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的“詩(shī)和遠(yuǎn)方”鋪設(shè)道路.